Toán học - Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

. Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.
 Cho họ đường thẳng, phụ thuộc tham số a, . Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ đều tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Cho đường tròn . Viết phương trình đường tròn (C1) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
Cho đường tròn . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : sao cho MI = 2R, trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C).
Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(0; 5), B(2; 3) và có bán kính .
 Cho đường thẳng và điểm A(-1 ; 1). Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A, O và tiếp xúc với d.
 Cho đường tròn . Đường tròn (C') tâm I (2 ; 2) cắt (C) tại các điểm sao cho . Viết phương trình đường thẳng AB.
Cho đường tròn . Viết phương trình đường tròn (C') có tâm M(5; 1) biết (C') cắt đường tròn (C) tại các điểm sao cho .
Cho đường tròn và đường thẳng . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A Î d.
 Cho đường tròn (C): và điểm M(-3;1). Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2.
 Cho đường tròn và đường thẳng Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
 Cho đường tròn và đường thẳng Tìm để trên có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.
 Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(1;-2) và các giao của đường thẳng với đường tròn 
 Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của hai đường tròn và và đi qua M(0; 1)
 Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của hai đường tròn và tiếp xúc với đường thẳng 
 Cho đường tròn và đường thẳng (d): cắt nhau tại A và B. Tìm tọa độ điểm M trên đường tròn (C) sao cho vuông.
Hướng dẫn.
· Giải hệ tìm tọa độ A và B.
· Đường thẳng không qua tâm I của (C) nên chỉ có thể vuông tại A (hoặc B). Suy ra M đối xứng A (hoặc B) qua I.
 Cho đường tròn và đường thẳng cắt nhau tại A, B. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B và K(0; 2).
Hướng dẫn. · Gọi là đường tròn đi qua A, B, K.
· nên .
· Vì A, B là giao điểm của (C) và (C’) nên tọa độ của A, B là nghiệm của hệ là
Vì vậy, .
· Mặt khác, nên . Từ đây ta tìm được hai số 
Cho đường tròn , . Tìm tọa độ điểm M trên (d) sao cho từ M vẽ được hai tiếp tuyến MA, MB với (C) và (A, B là tiếp điểm).
Hướng dẫn. Tâm I(–1; 2), R = . Điểm M thuộc (d) nên M(m; m + 1).
Vậy hoặc 
Viết phương trình tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn
 và 
Cho đường tròn và điểm. Viết phương trình đường thẳng đi qua và cắt tại trong mỗi trường hợp sau:
a) Đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất.
b) Đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất.
c) . 
Hướng dẫn. Ta có tâm I(2;–3) và bán kính R = 5. Dễ thấy điểm M ở trong đường tròn (C).
a. Đoạn AB có độ dài lớn nhất khi AB là đường kính, suy ra (d) đi qua I.
b. Đoạn AB có độ dài nhỏ nhất khi AB vuông góc với IM.
c. Ta có nên nằm trong đường tròn (C). Do đó, từ ta được . Gọi là trung điểm . Xét các tam giác vuông ta được
Vậy đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua và cách một khoảng bằng 
Kết quả : (d): y – 1 = 0 hoặc (d): 8x – 15y + 7 = 0.
Cho hai đường tròn và cắt nhau tại A(2 ; 3). Viết phương trình đường thẳng qua A cắt hai đường tròn hai dây cung có độ dài bằng nhau.
Hướng dẫn. Gọi M là trung điểm đoạn nối hai tâm. Ta có (d) đi qua A và vuông góc với MA.
ELÍP
1. Định nghĩa
Cho hai điểm cố định, với và hằng số (). 
1) là 2 tiêu điểm. 	2) là tiêu cự. 
3) là 4 đỉnh của elip.
2. PT chính tắc : . Trong đó, và.
3. Bán kính qua tiêu điểm
, .
4. Tâm sai : .
5. Hình chữ nhật cơ sở : 
· 4 đỉnh của hình chữ nhật cơ sở .
· PT các cạnh của hình chữ nhật cơ sở : .
· Chiều dài hình chữ nhật cơ sở là , chiều rộng là .
BÀI TẬP THỰC HÀNH CƠ BẢN
Cho.
	1) Tìm toạ độ các đỉnh, các tiêu điểm ; tính tâm sai, độ dài các trục.
	2) Tìm sao cho 
	3) Viết phương trình đường thẳng qua M(1 ; 1) và cắt (E) tại 2 điểm A, B sao cho MA = MB.
	4) Gọi A, B là 2 điểm thuộc (E) sao cho OA ^ OB. Chứng minh rằng : có giá trị không đổi.
Cho .
	1) Xác định tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E).
	2) Chứng minh là một số không đổi, với là tiêu điểm của (E) và MÎ(E).
	3) Tìm các điểm M Î (E) nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông.
	4) Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc (E) ta đều có 2 £ OM £ 3.
	5) Tìm các điểm M thuộc (E) nhìn đoạn dưới một góc 
Viết phương trình CT của các elíp sau :
	1) (E) có trục lớn có độ dài bằng 6, trục nhỏ có độ dài bằng 4.
	2) (E) có trục lớn có độ dài bằng 6 và tiêu cự bằng 4.
	3) (E) có độ dài trục lớn bằng 16, tâm sai e = .
	4) (E) đi qua M và N.
	5) (E) có tâm sai bằng 0,6 và có điểm M trên (E) mà các bán kính qua tiêu của M là 14 và 6.
	7) (E) đi qua M (3 ; 1) và đỉnh trên trục nhỏ nhìn trục lớn một góc 10.
	9) (DB2, D-06) (E) có độ dài trục lớn bằng và các đỉnh trên trục nhỏ với các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên 1 đường tròn.
	8) (E) có tâm sai bằng và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20 (Khối A-08).
Viết phương trình CT của các elip sau :
	1) (E) có tiêu cự bằng 16 và tâm sai bằng.
	2) (E) có tiêu cự bằng 6 và có M Î (E) sao cho bán kính qua các tiêu điểm của M lần lượt là 2 với 8.
	3) (E) đi qua M(3 ;1) và có đỉnh trên trục nhỏ nhìn trục lớn một góc 
	4) (E) đi qua và có đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm một góc 
	5) (E) đi qua và tam giác với 3 đỉnh gồm 1 đỉnh trên trục nhỏ và 2 tiêu điểm của (E) là tam giác đều.
	6) (E) có tiêu cự bằng 16 và đường thẳng có duy nhất một điểm chung với (E).
Cho và Chứng minh rằng hai elíp này cắt nhau tại bốn điểm phân biệt. Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm chúng.
Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của 2 elip và 
Cho elip (E) : và đường thẳng Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt (E) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm tập hợp các trung điểm I của AB, khi m thay đổi.
Cho , 
1) Tính 
2) Tìm m để có điểm chung với (E).
3) Viết phương trình đường thẳng song song và cắt (E) tại sao cho 
4) Tìm các điểm trên (E) mà mỗi điểm đó nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc vuông.
5) Gọi K, L là 2 điểm thuộc (E) sao cho CMR có giá trị không đổi.
Cho 
1) Viết phương trình đường thẳng đi qua và có một điểm chung duy nhất với (E). Tìm điểm chung đó.
2) Tìm các điểm trên (E) mà mỗi điểm đó nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc vuông.
 Viết phương trình CT của elip (E) biết rằng (E) đi qua Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (d) : y = x và có duy nhất một điểm chung với (E).
Cho A(4cost ; 0), B(0 ; 4sint), với t là tham số. Hãy tìm tập hợp những điểm M sao cho 
 Cho đường tròn. Với A thuộc (C) ta gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên Ox, Oy. Hãy tìm tập hợp những điểm M chia đoạn EF theo tỷ số k = 2, khi A thay đổi trên (C).
 Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của với là tọa độ của điểm thuộc (E).
Hướng dẫn. PT tham số của Do đó
 Vì vậy Mặt khác, các PT có nghiệm theo t nên tồn tại sao cho Vậy và.
Cho Tìm các điểm trên (E) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến là
	a) lớn nhất ;
	b) nhỏ nhất.
 (D -05) Cho và C(2 ; 0). Tìm trên (E) hai điểm A, B đối xứng nhau qua trục Ox sao cho DABC đều.
 Cho Elíp (E) :. Xác định toạ độ 4 đỉnh của hình vuông ABCD biết 4 đỉnh này nằm trên (E).
 Cho điểm A chạy trên Ox, điểm B chạy trên Oy và AB = a, a không đổi. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = 2MB là một Elip. Viết phương trình Elip đó.
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Cho DABC. A(4; 3) B(2; 7) C(-3; -8)
a) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp DABC.
b) CMR I, G, H thẳng hàng.
Cho DABC có M(-2 ; 2) là trung điểm BC, các đường thẳng AB, AC lần lượt có PT : . Hãy xác định toạ độ các đỉnh DABC.
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G, BC : , BG : .Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Trong mp với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x – 4y – 2 = 0, cạnh BC song song với d. PT đường cao BH : x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Cho tam giác ABC cân tại B, với A(1 ; -1) ; C(3 ; 5). Điểm B nằm trên đường thẳng d : 2x – y = 0. Viết phương trình các đường thẳng AB, BC.
Cho tam giác ABC có đỉnh A(2 ; 1), đường cao qua đỉnh B có PT là x – 3y – 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có PT là x + y + 1 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2 ; 0) biết PT các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0; . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Cho điểm A(2 ; 1). Lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ x ³ 0 và điểm C thuộc trục Oy có trung độ y ³ 0 sao cho DABC vuông tại A. Tìm B, C sao cho diện tích DABC lớn nhất.
Cho hai điểm A(0; 2) và B(). Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngọai tiếp của tam giác OAB.
Cho tam giác ABC có A(0 ; 2), B(-2 ; -2) và C(4; -2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
Cho điểm A(2 ; 2) và các đường thẳng Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc và sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
 Cho 2 đường thẳng (d1) và (d2) có PT (d1): 2x + y + 1 = 0; (d2): x + 2y - 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ sao cho đường thẳng (d) tạo với (d1) và (d2) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2). Tính diện tích tam giác cân đó.
 Cho DABC, các cạnh có PT: x + 2y - 5 = 0; 2x + y + 5 = 0; 2x - y - 5 = 0.
	1) Tính các góc của DABC.
	2) Viết PT đường phân giác trong của các góc A và B.
	3) Tìm toạ độ tâm, bán kính các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp DABC.
Cho DABC với trực tâm H. Biết AB : x + y - 9 = 0, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là (d1): x + 2y - 13 = 0 và (d2): 7x + 5y - 49 = 0. Xác định toạ độ trực tâm H và viết phương trình đường thẳng BC.
Viết phương trình các cạnh của DABC. Biết đỉnh C(3; 5) đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có PT là: (d1): 5x + 4y - 1 = 0	 (d2): 8x + y - 7 = 0.
 Cho DABC có AB : x + y - 9 = 0 đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là (d1): x + 2y - 13 = 0 và (d2): 7x + 5y - 49 = 0. Viết phương trình AC, BC và đường cao thứ ba.
 Phương trình hai cạnh của một tam giác là: 3x - y + 24 = 0 ; 3x + 4y - 96 = 0. Viết phương trình cạnh thứ 3 của tam giác biết trực tâm H.
Cho hai điểm A(2; 0) và B(2; ). Viết phương trình đường phân giác trong OD của .
Hướng dẫn.
Cách 1.· Ta có , . Do đó PT các đường phân giác trong/ngoài đỉnh O là .
· Mặt khác, nên là phân giác trong đỉnh O của 
Cách 2. Gọi là điểm thuộc đoạn mà Ta có
. Vì là hình thoi nên 
 là VTCP của phân giác góc .
 đi qua và có VTCP nên .
Lưu ý : và là VTCP của phân giác ngoài.
Cách 3. (Tìm chân đường phân giác)
Gọi là chân đường phân giác trong, ta có .
Từ đó ta tìm được . Suy ra .
Cho điểm A(1;0). Tìm tọa độ điểm B trên trục hoành và điểm C trên đường thẳng sao cho đều.
Hướng dẫn. Vẽ đường cao CH suy ra H là trung điểm AB.
 nên . Do đó H(2c – 2; 0). Vì vậy, 
Giải PT một ẩn AB=AC ta được kết quả.
Lưu ý : Nếu giải hệ AB = AC = BC thì sẽ gặp khó khăn.
Cho tam giác ABC, trực tâm H có pt cạnh BC là : 2x+y-4=0 và PT đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là: . Tìm toạ độ điểm A
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC
Cho A(3; 1).
	1) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B thuộc góc phần tư thứ nhất.
	2) Viết phương trình 2 đường chéo và tâm của hình vuông.
	3) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OBAC là hình vuông.
 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm , PT đường thẳng AB là và . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh B có hoành độ âm.
Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD với . Điểm M, N lần lượt di động trên cạnh AD, CD sao cho và .
a) CMR 
b) CMR đường thẳng MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định. Viết phương trình đường tròn đó.
Hướng dẫn. Ta có.
a. Vì nên .
b. Ta có . Dùng ta chứng minh được . Do đó luôn tiếp xúc đường tròn tâm , bán kính bằng 1.
MỘT SỐ BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC 
 (A-02) Cho tam giác ABC vuông tại A, PT đường thẳng (BC) là các đỉnh A, B thuộc Ox và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Hướng dẫn. * Ta có nên .
* nên . Vì nên . Và nên .
* là tâm đường tròn nội tiếp khi và chỉ khi
 (B-02) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm, và . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D, biết rằng A có hoành độ âm.
Hướng dẫn. Nhận xét : (AD) và (BC) cùng vuông góc với (AB) và cách I một khoảng bằng. Gọi là đường thẳng có 2 tính chất này. Vì nên . Mặt khác, từ ta được hoặc .
· thì cắt (AB) tại điểm có tọa độ (2 ; 2).
· thì cắt (AB) tại điểm có tọa độ (-2 ; 0).
Vì nên và . Hơn nữa, A(-2 ; 0) và B(2 ; 2).
Dùng tính chất I là trung điểm của AC với BD ta tìm được C, D.
 (B-03) Cho DABC có Biết M(1 ; -1) là trung điểm BC và là trọng tâm của DABC. Tìm tọa độ A, B, C.
Hướng dẫn. · ta tìm được .
· Vì ∆ABC cân tại A nên (BC) đi qua M và có VTPT là .
· Vì ∆ABC vuông tại A nên B và C thuộc đường tròn (T) có tâm M, bán kính AM.
· Giải hệ gồm PT của (BC) và PT của đường tròn (T) ta được tọa độ của B, C.
 (D-03) Cho và (d) : x -y - 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với (C) qua (d). Tìm giao điểm của (C) với (C').
(B-05) Cho A(2; 0) và B(6; 4). Viết phương trình đường tròn (C) tíêp xúc với trục hòanh tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
(D-06) Cho đường tròn và đường thẳng d: x - y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với (C).
(D-07) Cho đường tròn và đường thẳng d: 3x - 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.
 (A-08) Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
 (B-08) Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1 ; -1), đường phân giác trong của góc A có PT x - y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có PT 4x + 3y -1 = 0.
 (A-09, CB) Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng AB.
 (A-09, NC) Cho đường tròn và đường thẳng . Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
 (B-09, CB) Cho đường tròn và hai đường thẳng D1 : x- y =0, D2 : x- 7y =0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng D1, D2 và tâm K thuộc đường tròn (C).
 (B-09, NC) Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng D : x - y - 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. 
 (D-09, CB) Cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có PT là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.
 (D-09, NC) Cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho = 300.
 (A-10, CB) Cho hai đường thẳng d1: và d2: . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương.
Hướng dẫn. nên là đường kính của (T). Và là tiếp tuyến của (T) nên . Ta có
 nên .
Ta có và . Do đó, .
 nên . nên . Vì vậy, .
 (A-10, NC) Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6) ; đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có PT . Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết điểm E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Hướng dẫn. * và đi qua A nên . K là giao điểm của với nên . K là trung điểm AH nên 
* BC đi qua H và song song nên .
* nên , H là trung điểm BC nên .
* Dùng ĐK ta tìm được .
 (B-10, CB) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4; 1), phân giác trong góc A có PT x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và .
Hướng dẫn. * Ta có là đường thẳng đi qua và tạo với một góc .
* Làm bài toán Viết phương trình đường thẳng đi qua và tạo với một góc ta được 2 kết quả. Dựa vào (ta loại một kết quả) ta được PT của AC.
* Tìm A là giao điểm của AC và 
* AB đi qua A và vuông góc với AC nên ta viết được PT của đường thẳng AB.
* Tính . Kết hợp với ta tìm được B.
* Viết phương trình đường thẳng đi qua B với C.
 (B-10, NC) Cho điểm A(2; ) và elip (E): . Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm của (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2.
Hướng dẫn. * , , , .
* . Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn tâm , bán kính .
 (D-10, CB) Cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết .
Hướng dẫn. * đối xứng với qua . Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó và . Vậy là hình bình hành. Vì vậy trung điểm của cũng là trung điểm của BC. Từ đây ta có là đường thẳng đi qua và nhận làm VTPT.
* Viết phương trình đường tròn (T) có tâm đi qua .
* Tìm giao điểm, có hoành độ dương, của (T) và BC ta được C.
 (D-10, NC) Cho điểm A(0;2) và D là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên D. Viết phương trình đường thẳng D, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
 (A-11, CB) Cho đường thẳng và đường tròn . Gọi I là tâm (C) và M thuộc đường thẳng . Qua M kẻ tiếp tuyến MA,MB đến (C). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
Hướng dẫn. Đường tròn (C) có tâm . Ta có .
Gọi , ta có: 
Do đó AB : .
Gọi ta có .
Suy ra 
.
 (A-11, NC) Cho elip . Tìm các điểm A và B nằm trên elip, có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn. , trong đó .
Ta có , . Đẳng thức xảy ra khi .
 (B-11, CB) Cho hai đường thẳng và . Tìm thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm thỏa mãn .
Hướng dẫn. * nên , . Giao điểm của và là .
* Vì cùng phương nên hoặc .
* Dùng giả thiết ta được hoặc .
Lưu ý : Nếu ta dùng trực tiếp giả thiết mà không chuyển qua véc tơ ta sẽ gặp PT phức tạp.
 (B-11, NC) Cho tam giác có . Đường tròn nội tiếp ∆ tiếp xúc với các cạnh tương ứng tại . Cho và : . Tìm , biết .
Hướng dẫn. * Ta có và nên ta ta tìm được hoặc .
* Vì nên thẳng hàng và 
* A là giao điểm của và . 
 (D-11, CB) Cho tam giác ABC có đỉnh , trọng tâm và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có PT . Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
Hướng dẫn. * nên , G là trọng tâm ∆ABC nên .
* Gọi là điểm đối xứng của B qua ta tìm được .
* Vì là phân giác nên thuộc đường thẳng .
* cùng phương với khi và chỉ khi . Suy ra .
 (D-11, NC) Cho điểm và đường tròn . Viết phương trình đường thẳng D cắt (C) tại điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.
Hướng dẫn. Cách 1. (C) có tâm và bán kính . Vì và nên là đường trung trực của . Do đó đường thẳng MN có một VTPT là . Suy ra và .
Ta có . Tam giác AMN vuông tại A khi và chỉ khi .
Cách 2. . Ta có .
Vì và nên . Mặt khác, nên .
· . Vì nên
Giải hệ (1) và (2) ta được tọa độ của M, N. Từ đó viết được PT đường thẳng MN.
· . Tương tự.
 (A-12, CB) Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN=2ND. Giả sử và đường thẳng . Tìm tọa độ điểm A.
Hướng dẫn. Xét các tam giác vuông ABM, MCN và NDA ta tính được . Áp dụng định lý cos cho tam giác AMN ta được .
Ta viết được PT đường thẳng AM nhờ tính chất : AM đi qua M và tạo với AN một góc . Sau đó giao với AN ta được tọa độ điểm A.
 (A-12, NC) Cho đường tròn . Viết phương trình chính tắc elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.
Hướng dẫn. · Nửa trục lớn của (E) bằng 4 nên .
· Tọa độ giao điểm của (C) và (E) là nghiệm của Hệ này có 4 nghiệm khi và chỉ khi Khi đó 4 giao điểm là , , và . Rõ ràng MNPQ là hình chữ nhật. Do đó MNPQ là