Tài liệu tóm tắt Hình học cấp THCS

 hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó. 
Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M, khi đó đoạn thẳng AM là đường phân giác của tam giác ABC(đôi khi ta cũng gọi đường thẳng AM là đường phân giác của tam giác)
ΔABC: 
A1=A2=>AM là đường phân giác BAC
LỚP 7
Tính chất: Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy. 
ΔABC: AB=ACA1=A2=>HB=HC
Tính chất ba đường phân giác của tam giác: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. 
Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân. 
ΔABC: BM=MCA1=A2=>ΔABC cân
Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. 
d⊥BC tại MMB=MC=>d là đường trung trực của BC A ∈d=> AB = AC
Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. 
Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác đó. 
Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này. 
Tính chất ba đường trung trực của tam giác: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. 
O là giao điểm của các đường trung trực của Δ ABC⇔ OA = OB = OC
LỚP 7
Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân. 
HB=HCAH⊥BC=>ΔABC cân tại A
Tính chất ba đường cao của tam giác
Đường cao của tam giác: Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Đôi khi ta cũng gọi đường thẳng AI là một đường cao của tam giác.
Tính chất ba đường cao của tam giác: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này gọi là trực tâm của tam giác. 
Lưu ý: Trực tâm của tam giác nhọn nằm trong tam giác. Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác. 
Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó. 
Nhận xét: 
Trong một tam giác,nếu hai trong bốn loại đường( đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân.
Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
LỚP 8
III. LỚP 8
Tứ giác
Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. 
Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tam giác. (Ngược lại là tứ giác lõm)
Định lí: Tổng các góc trong của một tứ giác bằng 3600
Góc kề bù với một góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác. Tổng các góc ngoài của một tứ giác bằng 3600
Tứ giác lồi là:	
Tứ giác lõm là:	
Tổng các góc:	
Hình thang
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Hai góc kề một cạnh bên của hình thang bằng 1800
Nhận xét: 
Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau. 
Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau. 
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. 
ABCD là hình thang:
AB // CD
A+D=B+C=1800
Nếu AD // BC ⟺AD=BCAB=CD
Nếu AB = CD ⟺AD=BCAD//BC
ABCD là hình thang, A= 900thì ABCD là hình thang vuông 
Hình thang cân
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. 
LỚP 8
Hai góc đối của hình thang cân bằng 1800
Tính chất: 
Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. 
Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau. 
Dấu hiệu nhận xét: 
Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. 
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. 
Tứ giác ABCD: AB//CDD=C⟺ABCD là hình thang cân
Tứ giác ABCD: AB//CDA=B⟺ABCD là hình thang cân
Tứ giác ABCD: AB//CDAC=BD⟺ABCD là hình thang cân
ABCD là hình thang cân ⟹AD=BCAC=BD
Đường trung bình của tam giác, của hình thang
Đường trung bình của tam giác: là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. 
Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. 
ΔABC: AM=MBAN=NC⟺ MN là đường trung bình
MN là đường trung bình của ΔABC⟹MN//BCMN=BC2
MN=MBMN//BC⟹NA=NC
Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. 
Đường trung bình của hình thang:Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai. 
Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. 
ABCD: AM=MDBN=NC⟺ MN là đường trung bình
MN là đường trung bình của hình thang ABCD⟹MN//AB//DCMN=AB+DC2
Đối xứng trục
Hai điểm A, B gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. 
Quy ước: Nếu điểm M nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với M qua đường thẳng d cũng là điểm M. 
LỚP 8
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó 
Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau. 
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H. Ta nói hình H có trục đối xứng 
Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó. 
Hình bình hành
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song 
Hình bình hành là một hình thang đặc biệt (hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song) 
Tính chất: Trong hình bình hành: 
Các cạnh đối bằng nhau 
Các góc đối bằng nhau 
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 
Dấu hiệu nhận biết: 
Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành 
Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. 
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. 
Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành. 
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. 
ABCD là hình bình hành nên:AB=DC;AD=BCAB//DC;AD //BCA=C; B=DOA=OC;OB=OD
Đối xứng tâm
Hai điểm A, B gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó. (Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O cũng là điểm O) 
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với mỗi điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại. Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai hình đó. 
Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau. 
Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H. Ta nói hình H có tâm đối xứng. 
Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó. 
LỚP 8
Hình chữ nhật
Hình chữ nhật là tứ giác có bốngóc vuông.
ABCD là hình chữ nhật ⟹ ABCD là hình bình hànhhình thang cân
Từ định nghĩa hình chữ nhật, ta suy ra: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân. 
Tính chất: 
Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình hành, của hình thang cân. 
Từ tính chất của hình thang cân và hình bình hành: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 
Dấu hiệu nhận biết: 
Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật 
Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật. 
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật 
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. 
Định lí:Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông. 
ΔABC vuông tại AMA=MB⟹AM= 12BC
AM= 12BCMA=MB⟹ΔABC vuông tại A
Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tuỳ ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. 
Tính chất: Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h. 
Nhận xét: Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h. 
Các đường thẳng song song cách đều là các đường thẳng song song với nhau và khoảng cách giữa các đường thẳng bằng nhau. 
Định lí: 
Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau. 
Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng dó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều. 
Hình thoi
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Hình thoi cũng là một hình bình hành. 
Tính chất: Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành 
Định lí: Trong hình thoi: 
+Hai đường chéo vuông góc với nhau. 
LỚP 8
+Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi. 
ABCD là hình thoi ⇒ABCDlà hình bình hànhAB=BC=CD=DAAC ⊥BDAClà phângiácA,C;BDlà phângiácB,D
Dấu hiệu nhận biết: 
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. 
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. 
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.. 
Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi. 
Hình vuông
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau. 
Từ định nghĩa hình vuông, ta suy ra: 
Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
Hình vuông là hình thoi có một góc vuông.
Như vậy: Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi. 
ABCD là hình vuông ⇒ABCDlà hình chữ nhậtABCDlà hình thoi
Tính chất: 
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi. 
Đường chéo của hình vuông vừa bằng nhau vừa vuông góc với nhau 
Dấu hiệu nhận biết: 
Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. 
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông 
Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông 
Hình thoi có một góc vuông là hình vuông 
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông 
Nhận xét: Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông. 
LỚP 8
HÌNH THANG
HÌNH THANG CÂN
HÌNH THANG VUÔNG
HÌNH BÌNH HÀNH
HÌNH CHỮ NHẬT
HÌNH THOI
HÌNH VUÔNG
AB // CD
D=C
AC = BD
D=900
AB // CD, AD//BC
AB=CD, AD=BC
AB//CD, AB=CD
A=C , B=D
AD//BC
AB=AD
AC ⊥BD
AC là phân giác
BD là phân giác
D=900
AD//BC
D=900
AC=BD
AB = AD
AC ⊥BD
AC là phân giác,
BD là phân giác.
A=900
AC=BD
A=B=C=900
AB=BC=CD=DA
TỨ GIÁC
LỚP 8
Đa giác
Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó. 
Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. 
Diện tích
S=a.b
S= a2
S= 12ah
S= 12ah
S= a+b.h2
S= ah
S= 12d1.d2
Đoạn thẳng tỉ lệ: Cặp đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với cặp đoạn thẳng A’B’ và C’D’ 
Một số tính chất của tỉ lệ thức:
;
Định lí TaLet trong tam giác: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ .
LỚP 8
∆ABC:BC// B’C’B’ ABC’ AC
⇒AB’AB=AC’AC; AB’BB'=AC’CC';BB’AB=CC’AC
Định lí đảo của định lí TaLet: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại .
∆ABC:AB’BB'=AC’CC'B’ ABC’ AC⇒ BC// B’C’
∆ABC:BC// B’C’B’ ABC’ AC⇒AB’AB=AC’AC=B’C'BC
Hệ quả của định lí TaLet:Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Tính chất đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề hai đoạn ấy.
∆ABC:A1=A2⇒DBDC=ABAC
∆ABC:A3=A4⇒EBEC=ABAC
LỚP 8
Hai tam giác đồng dạng:
∆ABC∽∆A'B'C'⇔A=A'; B=B';C=C'ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=k (tỉ số đồng dạng)
Tính chất hai tam giác đồng dạng
Gọi h, h’, p, p’, S, S’ lần lượt là chiều cao, chu vi và diện tích của 2 tam giác ABC và A’B’C’ 
;	;	
 Các trường hợp đồng dạng
Xét DABC và DA’B’C’ có: 
	ÞDA’B’C’ ∽DABC (c.c.c)
Xét DABC và DA’B’C’ có: 
	ÞDA’B’C’ ∽DABC (c.g.c)
Xét DABC và DA’B’C’ có: 
	ÞDA’B’C’ ∽DABC (g.g)
Các cách chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng :
Trường hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì chúng đồng dạng.
∆vABC và∆vA'B'C':
ABA'B'=ACA'C'⇒∆vABC ∽∆vA'B'C'
∆vABC và ∆vA'B'C':
C=C'⇒∆vABC ∽∆vA'B'C'
Trường hợp 2: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì chúng đồng dạng.	
LỚP 8
∆vABC và∆vA'B'C':
ABA'B'=BCB'C'⇒∆vABC ∽∆vA'B'C'
Trường hợp S
3: Nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác đồng dạng nhau.
S
Một số công thức tính diện tích, thể tích
Hình hộp chữ nhật là hình có 6 mặt là những hình chữ nhật (có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh)
Diện tích xung quanh: 
Sxq= 2(a+b)c 
Diện tích toàn phần: 
Stp= 2(ab+ac+bc) 
Thể tích: V= abc. Trong đó a, b là hai cạnh đáy, c là chiều cao 
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt là những hình vuông
Diện tích xung quanh: Sxq= 4a2
Diện tích toàn phần: Stp= 6a2
Thể tích: V= a3 . 
Trong đó a là cạnh hình lập phương 
Hình lăng trụ đứng: Hình có các mặt bên là những hình chữ nhật, đáy là một đa giác. 
Diện tích xung quanh: Sxq= 2p.h
(p: nửa chu vi đáy, h: chiều cao) 
Diện tích toàn phần: Stp= Sxq+2Sđ
Thể tích: V= S.h (S là diện tích đáy)
LỚP 9
IV. LỚP 9
Hệ thức lượng trong tam giác vuông 
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
	· Định lí Pi-ta-go:	
	·;	·	
	·
	·
	·
Tỉ số lượng giác của góc nhọn 
a. Định nghĩa: Cho tam giác vuông có góc nhọn a.
	;	
	;	
	;	
	Chú ý:
	· Cho góc nhọn a. Ta có: . 
	· Cho 2 góc nhọn a, b. Nếu (hoặc , hoặc , hoặc 	) thì .
b. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:
	Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
c. Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:
a
Tỉ số LG 
300
450
600
900
1
0
1
kxđ
1
0
d. Một số hệ thức lượng giác
LỚP 9
	;	;	;
	;	;	
Chú ý: Từ nay khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta bỏ kí hiệu “ ^ ” đi. Chẳng hạn, viết sin A thay cho sin Â, ... 
Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: 
Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề 
Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề. 
Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn.
Một đường tròn được xác định khi biết tâm O và bán kính R của đường tròn đó (kí hiệu (O;R)), hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó 
Có vô số đường tròn đi qua hai điểm. Tâm của chúng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. 
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. 
Chú ý: Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng. 
Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, tam giác gọi là tam giác nội tiếp đường tròn. 
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. 
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn 
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền 
Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông. 
∆ ABC vuông tại A ⟺OA=OB=OC
Đường kính và dây của đường tròn
Định lí 1: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. 
Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. 
Định lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. 
AB⊥MN tại I ⟺IA=IB
LỚP 9
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Định lí 1:Trong một đường tròn: 
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm 
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau 
AB=CD ⟺OH=OK
Định lí 2: Trong hai dây của một đường tròn 
Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn 
Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn 
MN>CD ⇔OI<OK
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: d là khoảng cách từ tâmcủa đường tròn đến đường thẳng, R là bán kính
 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 
Số điểm chung 
Hệ thức giữa d và R 
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 
2 
1 
0 
d < R
 d = R
 d > R 
Định lí: Nếu một đường thẳng alà tiếp tuyến của một đường tròn (O) thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. 
Đường thẳng a là tiếp tuyến của O⇔a ⊥OI
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn 
Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. Dấu hiệu này còn được phát biểu thành định lí: 
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. 
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường LỚP 9
tròn cắt nhau tại một điểm thì: 
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm 
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến 
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. 
MA⊥OAMB⊥OB⟺MA=MBM1=M2O1=O2
Đường tròn nội tiếp tam giác: Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn. (Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác) 
Đường tròn bàng tiếp tam giác: Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác góc ngoài tại B(hoặc C) 
Vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho (O ; R) và (O’; r) với R >r
VỊ TRÍ
HÌNH
SỐ ĐIỂM CHUNG
HỆ THỨC
Cắt nhau
2
A, B được gọi là 2 giao điểm
R – r < OO’< R + r
Tiếp xúc ngoài
1
A gọi là tiếp điểm
OO’ = R + r
Tiếp xúc trong
1
A gọi là tiếp điểm
OO’ = R – r > 0
Không giao nhau
((O) và (O’) ở ngoài nhau)
0
OO’ > R + r
Không giao nhau
((O) đựng (O’) )
0
OO’ < R – r
LỚP 9
Tính chất đường nối tâm 
Cho hai đường tròn (O) và (O’) có tâm không trùng nhau. Đường thẳng OO’ gọi là đường nối tâm, đoạn thẳng OO’ gọi là đoạn nối tâm. 
Định lí: 
Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung. 
A;B=O∩O' ⇔OO' là trung trực của AB
Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường