Toán học - Chuyên đề: Xác suất - Tổ hợp

CHUYÊN ĐỀ: 
XÁC SUẤT-TỔ HỢP
TG: TRẦN KIM DŨNG
Phần 1: Tổ hợp xác suất trong các đề thi từ năm 2005 đến 2015
Bảng thống kê đề thi ĐH-CĐ về xác suất 
Năm
Khai triển Niuton
Tổ hợp
Xác suất
Ghi chú
2005
Liên quan đạo hàm. Tính biểu thức dựa vào t/c
Tổ hợp
2006
Tìm n dựa vào t/c đối xứng các hệ số
Phương trình tổ hợp
2007
Liên quan tích phân. Tìm hệ số
2008
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển , tìm n dụa vào t/c
2009
Không có
2010
Không có
2011
Không có
2012
Tìm số hạng trong KT
Nam, nữ
2013
2 hộp đựng bi
2014
Kiểm tra sản phẩm sữa
2015
Dịch MERS-COV
Phần 2: các nội dung cần ôn tập về tổ hợp -xác suất 
A. Kiến thức cần nhớ
I. QUI TẮC ĐẾM .
 	1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai hành động. Hành động thứ nhất có thể thực hiện bởi n cách; hành động thứ 2 có thể thực hiện bởi m cách (2 hành động này độc lập nhau ).Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.
 	2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; Ứng với mỗi cách chọn ở công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách.
Chú ý : quy tắc cộng và nhân có thể mở rộng nhiếu hành động.
II. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số mà . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: (sử dụng máy tính nPr)
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số mà . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: 
( sử dụng máy tính nCr)
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
III. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON 
Nhận xét:
- Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
- Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.số mũ của a giảm dần số mũ của b tăng dần từ 0 đến n
- Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
- Số hạng tổng quát (hay thứ k + 1) kí hiệu Tk+1 thì: 
IV. XÁC SUẤT
1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ: 
. Giải sử W là không gian mẫu, A và B là các biến cố. 
W\A = được gọi là biến cố đối của biến cố A.
A È B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra. 
A Ç B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra. A Ç B còn được viết là AB. 
Nếu AB = Æ, ta nói A và B cung khắc. 
2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
*Kí hiệu P(A) là xác suất của biến cố A, ta có: P(A) = 
0 £ P(A) £ 1, P(Æ) = 0, P(W)=1
P(A ÈB) = P(A) + P(B) nếu A Ç B = Æ. 
* Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B. 
* A và B độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B)
A và B độc lập Þ A và độc lập. 
* Công thức cộng mở rộng: 
Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: 
P (A È B) = P(A) + P(B) – P(AB) 
Phương pháp giải
	B1 : Tính số phần tử không gian mẫu
	B2 : Tính số phần tử của biến cố A
	B3 : Áp dụng công thức 
Phần 3: Một số kinh nghiệm khi ôn tập chủ đề tổ hợp -xác suất
* Các dạng toán cần tập trung ôn tập
	D1: Khai triển một nhị thức cụ thể :....
	D2: Bài toán tổng hợp về tổ hợp....
	D3: Bài toán về xác suất, bài toán thực tế
I. Phép đếm:
Bài 1 (B-2002): Cho đa giác đều , (, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm . Tìm n.
Bài 2(B-2004): Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?
Bài 3(B-2005): Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
Bài 4(D-2006): Một đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?
II. Các bài toán liên quan đến công thức , nhị thức niu-tơn:
Bài 1 (A-2002): Cho khai triển nhị thức: 
, (n nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x.
Bài 2 (D-2002): Tìm số nguyên dương n sao cho: 
Bài 3(A-2003): Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của 
 , biết rằng .
Bài 4(B-2003): Cho n là số nguyên dương, tính tổng: 
 S=	(Đs: )
Bài 5(D-2003): Với n nguyên dương, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của . Tìm n để a3n – 3 = 26n	(Đs: n = 5)
Bài 6(A-2004): Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của: 
Bài 7(D-2004): Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của , với x > 0.
Bài 8(A-2005): Tìm số nguyên dương n sao cho:
Bài 9(D-2005): Tính giá trị của biểu thức: , biết rằng:
Bài 10(A-2006): Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết: .
Bài 11(B-2006): Cho tập hợp A gồm n phần tử . Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồn 2 phần tử của A. Tìm sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.
Bài 12(A-2007): CMR , (với )
Bài 13(B-2007): Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết: .
Bài 14(D-2007): Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của: 
Bài 15(A-2008): Cho khai triển: , trong đó và các hệ số thỏa mãn . Tìm số lớn nhất trong các số .
Bài 16(B-2008): CMR 
Bài 17(D-2008): Tìm số nguyên dương n sao cho: 
Bài 18(A-2012): Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: . Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của , với .
Bài 19(D-2014)Cho một đa giác đều n đỉnh, . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo.
III. Xác xuất:
Bài 1(B-2012): Trong một lớp gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng ghi bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.
Bài 2(A-2013): Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
Bài 3(B-2013): Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
Bài 4(A-2014) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác xuất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.
Bài 5(B-2014) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và ba 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại.