Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

A. ®Æt vÊn ®Ò 
 Trong ch−¬ng tr×nh to¸n bËc trung häc c¬ së, d¹ng to¸n “ T×m gi¸ trÞ nhá 
nhÊt hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc ” lµ mét d¹ng to¸n th−êng ®−îc ®−a 
ra trong c¸c ®Ò thi häc kú, kiÓm tra cuèi ch−¬ng, nh»m dµnh cho c¸c häc sinh 
phÊn ®Êu ®¹t ®iÓm giái. Tuy nhiªn, s¸ch gi¸o khoa kh«ng dµnh tiÕt häc nµo cho 
riªng d¹ng bµi nµy mµ ®−a ra nh− nh÷ng bµi tËp n©ng cao yªu cÇu häc sinh tù 
t×m tßi gi¶i quyÕt theo gîi ý cña gi¸o viªn. ChÝnh v× vËy häc sinh th−êng gÆp 
khã kh¨n khi gi¶i c¸c bµi tËp d¹ng nµy nªn kh¶ n¨ng gi¶i quyÕt vµ tr×nh bµy 
kh«ng ®−îc tèt. 
 §Ó gióp c¸c em häc sinh kh¸ to¸n trong líp cã thÓ lµm tèt d¹ng to¸n nµy, 
t«i ®· dµnh thêi gian nghiªn cøu tµi liÖu vµ biªn so¹n hÖ thèng ph−¬ng ph¸p 
cïng bµi tËp ®Ó ®−a ra ®Ò tµi “ Ph−¬ng ph¸p t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc gi¸ trÞ lín 
nhÊt cña mét biÓu thøc ” víi môc ®Ých gióp häc sinh tiÕp thu ®−îc dÔ dµng h¬n 
mét d¹ng to¸n khã, ®ång thêi cã dÞp rÌn luyÖn t− duy vµ ph¸t huy ®−îc tÝnh tÝch 
cùc trong häc tËp cho häc sinh. Khi häc sinh cã kiÕn thøc tèt vÒ d¹ng to¸n nµy, 
c¸c em sÏ ®−îc cñng cè tèt h¬n c¶ c¸c bµi to¸n n©ng cao kh¸c trong ch−¬ng 
tr×nh to¸n THCS nh− “ Chøng minh mét biÓu thøc lu«n nhËn gi¸ trÞ d−¬ng hoÆc 
©m ”, “ Chøng minh bÊt ®¼ng thøc “,  
 V× hiÓu ®−îc vai trß quan träng cña d¹ng to¸n nµy vµ còng thÊy râ c¸c 
khã kh¨n cña häc sinh häc tËp còng nh− gi¸o viªn gi¶ng d¹y, t«i ®· m¹nh d¹n 
viÕt tµi liÖu “ Ph−¬ng ph¸p t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu 
thøc ” ®Ó tr−íc hÕt phôc vô cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y cña chÝnh m×nh, sau ®ã t¹o 
®iÒu kiÖn ®Ó b¶n th©n cã dÞp trao ®æi chuyªn m«n víi c¸c ®ång nghiÖp, n©ng cao 
nghiÖp vô s− ph¹m vµ n¨ng lùc nghiªn cøu khoa häc cña c¸ nh©n. 
B. Néi dung ®Ò tµi 
I. Lý thuyÕt chung 
 XÐt biÓu thøc A(x) x¸c ®Þnh ∀x∈(a, b). 
1. Bµi to¸n 1: §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A(x) trªn (a, b), ta cÇn tiÕn 
hµnh c¸c b−íc: 
a) B−íc 1: Chøng tá r»ng A(x) ≥ k (k lµ mét h»ng sè) ∀x∈(a, b). 
b) B−íc 2: T×m gi¸ trÞ x = a ®Ó A(x) = k, tøc lµ chØ ra tr−êng hîp ®Ó x¶y ra dÊu 
®¼ng thøc. 
c) KÕt luËn: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A(x) = k khi x = a. 
Ta th−êng dïng kÝ hiÖu: min A(x) = k ⇔ x = a. 
2. Bµi to¸n 2: §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A(x) trªn (a, b), ta cÇn tiÕn 
hµnh c¸c b−íc: 
a) B−íc 1: Chøng tá r»ng A(x) ≤ k (k lµ mét h»ng sè) ∀x∈(a, b). 
b) B−íc 2: T×m gi¸ trÞ x = a ®Ó A(x) = k, tøc lµ chØ ra tr−êng hîp ®Ó x¶y ra dÊu 
®¼ng thøc. 
c) KÕt luËn: Gi¸ trÞ lín nhÊt cña A(x) = k khi x = a. 
Ta th−êng dïng kÝ hiÖu: max A(x) = k ⇔ x = a. 
3. Chó ý. 
a) Víi biÓu thøc chøa nhiÒu biÕn sè còng gi¶i t−¬ng tù nh− trªn. 
b) Häc sinh hay m¾c ph¶i sai lÇm khi chØ thùc hiÖn b−íc 1 ®· kÕt luËn bµi to¸n, 
dÉn ®Õn kÕt qu¶ sai. V× vËy cÇn yªu cÇu häc sinh tr×nh bµy ®Çy ®ñ c¶ hai b−íc 
hÕt søc cÈn thËn, kh«ng ®−îc thiÕu bÊt cø b−íc nµo. 
VÝ dô 1. Cho biÓu thøc: A = x2 + (x – 2)2. 
Mét häc sinh ®· t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A nh− sau: 
“Ta cã: ∀x∈R, x2 0 vµ (x – 2)≥ 2 ≥ 0 nªn A 0. ≥
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0.” 
Lêi gi¶i trªn cã ®óng kh«ng ? 
Gi¶i. Lêi gi¶i trªn kh«ng ®óng. Häc sinh trªn ®· m¾c ph¶i sai lÇm lµ míi chøng 
tá r»ng A 0 nh−ng ch−a chØ ra ®−îc tr−êng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. DÊu 
®¼ng thøc kh«ng x¶y ra v× kh«ng thÓ cã ®ång thêi : 
≥
x2 = 0 vµ (x – 2)2 = 0. 
Lêi gi¶i ®óng nh− sau: 
+) Ta cã: A = x2 + (x – 2)2 = x2 + x2 – 4x + 4 = 2x2 – 4x + 4 
 = 2(x2 – 2x + 1) + 2 = 2(x – 1)2 + 2 2 , ≥ ∀x∈R. 
+) Mµ: A = 2 ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1. 
+) VËy: min A = 2 x = 1. ⇔
c) Khi gi¶i c¸c bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc, 
ta cÇn nhí c¸c h»ng bÊt ®¼ng thøc sau: 
1) a2 0 (Tæng qu¸t: a≥ 2k ≥ 0 víi k nguyªn d−¬ng). 
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = 0. 
2) -a2 ≤ 0 (Tæng qu¸t: -a2k 0 víi k nguyªn d−¬ng). ≤
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = 0. 
3) a 0. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = 0. ≥
4) a a. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a 0. ≥ ≥
5) - a a ≤ ≤ a . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = 0. 
6) ba + ≤ a + b . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi ab 0. ≥
7) a2 + b2 2ab. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = b. ≥
8) ab
2
ba ≥+ víi a, b 0 (BÊt ®¼ng thøc C«si). ≥
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = b. 
9) a ≥ b, ab > 0 ⇒
b
1
a
1 ≤ . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = b. 
10) 2
a
b
b
a ≥+ víi ab > 0. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = b. 
d) Khi t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc, nhiÒu khi ta 
cÇn ph¶i ®æi biÕn. 
e) Khi t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc A víi A > 0, 
trong nhiÒu tr−êng hîp ta l¹i ®i xÐt c¸c biÓu thøc 
A
1
 hoÆc A2. 
 Bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc lµ bµi to¸n 
kh«ng ®¬n gi¶n, v× vËy ë ®©y ta chØ xÐt mét sè d¹ng biÓu thøc ®Æc biÖt cã c«ng 
thøc gi¶i c¬ b¶n, phï hîp víi kh¶ n¨ng tiÕp thu cña sè ®«ng häc sinh líp 8. 
II. Mét sè d¹ng biÓu thøc cÇn t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ 
lín nhÊt th−êng gÆp trong ch−¬ng tr×nh to¸n líp 8 
D¹ng 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc cã d¹ng tam 
thøc bËc hai. 
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: XÐt tam thøc bËc hai cbxaxP 2 ++= . 
 * NÕu a > 0 th× P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. Ta biÕn ®æi biÓu thøc P vÒ d¹ng kaX2 + 
vµ cã kÕt qu¶: min P = k X = 0. ⇔
* NÕu a < 0 th× P cã gi¸ trÞ lín nhÊt. Ta còng biÕn ®æi biÓu thøc P vÒ d¹ng 
kaX2 + vµ cã kÕt qu¶: max P = k ⇔X = 0. 
VÝ dô 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc: 
a) 1x4xA 2 +−= ; 
b) ; 1x8x2B 2 +−=
c) . 1x6x3C 2 +−=
Gi¶i. 
a) . 33)2x(3)4x4x(1x4xA 222 −≥−−=−+−=+−=
 A = -3 x - 2 = 0 x = 2 . ⇔ ⇔
VËy: min A = -3 x = 2. ⇔
b) . 77)2x(27)4x4x(21x8x2B 222 −≥−−=−+−=+−=
 B = -7 x - 2 = 0 x = 2 . ⇔ ⇔
VËy: min B = -7 x = 2. ⇔
c) . 22)1x(32)1x2x(31x6x3C 222 −≥−−=−+−=+−=
 C = -2 x - 1 = 0 x = 1 . ⇔ ⇔
VËy: min C = -2 x = 1. ⇔
VÝ dô 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc: 
a) ; 1x4xA 2 +−−=
b) ; 1x8x2B 2 −+−=
c) . 5x6x3C 2 +−−=
Gi¶i. 
a) . 55)2x(5)4x4x(1x4xA 222 ≤++−=+++−=+−−=
 A = 5 x + 2 = 0 x = -2 . ⇔ ⇔
VËy: max A = 5 x = -2. ⇔
b) . 77)2x(27)4x4x(21x8x2B 222 ≤+−−=++−−=−+−=
 B = 7 x - 2 = 0 x = 2 . ⇔ ⇔
VËy: max B = 7 ⇔ x = 2. 
c) . 88)1x(38)1x2x(35x6x3C 222 ≤++−=+++−=+−−=
 C = 8 x + 1 = 0 x = -1 . ⇔ ⇔
VËy: max C = 8 x = -1. ⇔
* Bµi tËp tù gi¶i. 
Bµi tËp 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc: 
a) ; 1xxA 2 ++=
b) ; 1xxB 2 +−=
c) ; 53x20x2C 2 +−=
d) . 1x3x2D 2 ++=
Bµi tËp 2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc: 
a) 1xxA 2 ++−= ; 
b) 1xxB 2 +−−= ; 
c) ; 53x20x2C 2 +−−=
d) ; 1x3x2D 2 ++−=
e) . 1x4x5B 2 +−−=
D¹ng 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc cã d¹ng ®a thøc 
bËc cao. 
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: Ta th−êng t×m c¸ch biÕn ®æi biÓu thøc ®· cho vÒ d¹ng 1 
b»ng c¸ch ®Æt Èn phô thÝch hîp. 
VÝ dô 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc: 
a) ; 22 )1xx(A ++=
b) 4x4x5x4xB 234 +−+−= ; 
c) )6x)(3x)(2x)(1x(C +++−= . 
Gi¶i. 
a) MÆc dï A 0 nh−ng gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A kh«ng ph¶i b»ng 0 v× 
. 
≥
Rx,01xx2 ∈∀≠++
Ta cã: 
4
3
4
3)
2
1x(
4
3)
4
1xx(1xx 222 ≥++=+++=++ . 
Do ®ã: . min
2
min )1xx(A ++⇔
VËy: 
2
1x
16
9)
4
3(Amin 2 −=⇔== . 
b) Ta cã: 4x4x5x4xB 234 +−+−= 
 = )4x4x()4x4x(x 222 +−++−
 = . 0)2x()2x(x 222 ≥−+−
Mµ: x = 2. 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎢⎣
⎡
=
=
⇔=
2x
2x
0x
0B ⇔
Do ®ã: min B = 0 x = 2. ⇔
c) )6x)(3x)(2x)(1x(C +++−= 
 = )]3x)(2x)].[(6x)(1x[( +++− 
 = . 3636)]5x(x[36)x5x()6x5x)(6x5x( 22222 −≥−+=−+=++−+
⎢⎣
⎡
−=
=⇔=+⇔−=
5x
0x
0)5x(x36C . 
VËy: . ⎢⎣
⎡
−=
=⇔−=
5x
0x
36Cmin
* Bµi tËp tù gi¶i – Bµi tËp 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc: 
a) 9x6x10x6xM 234 +−+−= ; 
b) ; )4x)(1x)(3x(xN ++−=
c) 1x2x3x2xP 234 +−+−= ; 
d) . )2x3x)(xx(Q 22 ++−=
D¹ng 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc cã d¹ng ®a thøc 
cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. 
Ph−¬ng ph¸p gi¶i. 
Dïng mét trong c¸c tÝnh chÊt sau: 
3) a 0. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = 0. ≥
4) a a. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a 0. ≥ ≥
5) - a a ≤ ≤ a . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = 0. 
6) ba + ≤ a + b . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi ab 0. ≥
VÝ dô 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc: 
a) 5x2x2A −+= ; 
b) 3x1xB −+−= ; 
c) 3x2x1xC −+−+−= . 
Gi¶i. 
a) ¸p dông tÝnh chÊt 4, ta cã: 
 5x25x2x25x25x2x2A =−+≥−+=−+= . 
 A = 5 ⇔ 0x25 ≥− ⇔
2
5x ≤ . 
VËy: min A = 5 ⇔ 
2
5x ≤ . 
b) ¸p dông tÝnh chÊt 6, ta cã: 
 3x1xB −+−= 2x31xx31x =−+−≥−+−= . 
 3x10)x3)(1x(2B ≤≤⇔≥−−⇔= . 
VËy: min B = 2 . ⇔ 3x1 ≤≤
c) ¸p dông tÝnh chÊt 6 vµ tÝnh chÊt 3, ta cã: 
 +) 3x1x −+− 2x31xx31x =−+−≥−+−= . 
DÊu b»ng x¶y ra khi 3x10)x3)(1x( ≤≤⇔≥−− . 
 +) 02x ≥− vµ dÊu b»ng x¶y ra khi x – 2 = 0 ⇔ x = 2. 
Do ®ã: 2023x2x1xC =+≥−+−+−= . DÊu b»ng x¶y ra khi x = 2. 
VËy: min C = 2 ⇔ x = 2. 
* Bµi tËp tù gi¶i – Bµi tËp 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc: 
a) 1xxA −+= ; 
b) 61x26x4x4B 2 ++−+= ; 
c) 5x2xC −+−= . 
D¹ng4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc d¹ng ph©n thøc 
cã tö lµ h»ng sè vµ mÉu lµ tam thøc bËc hai . 
Ph−¬ng ph¸p gi¶i. Sö dông tÝnh chÊt 9: 
b
1
a
1 ≤a b, ab > 0 ⇒ ≥ . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi a = b. 
VÝ dô 6. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 
5x4x4
3M 2 +−= . 
Gi¶i. 
+) Ta cã: 
4)1x2(
3
5x4x4
3M 22 +−=+−= . 
Mµ: ⇒ ⇒ 0)1x2( 2 ≥− 44)1x2( 2 ≥+−
4
3
4)1x2(
3M 2 ≤+−= . 
+) 
2
1x
4
3M =⇔= . 
VËy: max 
2
1x
4
3M =⇔= . 
* Chó ý. Víi biÓu thøc d¹ng nµy, cÇn l−u ý häc sinh tr¸nh sai lÇm sau: LËp luËn 
r»ng M cã tö lµ h»ng sè nªn M lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt. Ta sÏ thÊy râ sai lÇm 
®ã qua bµi gi¶i sau. 
§Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña ph©n thøc 
3x
1A 2 −= , ta lËp luËn: 
+) 
3
1
3x
133x0x 2
22 −≤−⇒−≥−⇒≥ . 
+) 0x
3
1A =⇔−= . 
VËy: max 0x
3
1A =⇔−= . 
Nh−ng ta dÔ dµng nhËn thÊykÕt qu¶ nµy sai, v× víi x = 2 th× A = 1 > 
3
1−
. 
Sai lÇm ë chç: Tõ -3 < 1, kh«ng thÓ suy ra 
1
1
3
1 >− , v× -3 vµ 1 kh«ng cïng dÊu. 
Tæng qu¸t: Tõ a < b, chØ suy ra ®−îc 
b
1
a
1 > khi a vµ b lµ hai sè cïng dÊu. 
* Bµi tËp tù gi¶i – Bµi tËp 5. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña c¸c biÓu 
thøc: 
a) 
7x6x9
1A 2 +−= ; 
b) 
6xx4
6B 2 −−= ; 
c) 
4xx2
1C 2 −−= ; 
d) 
3x2x
10x6x3D 2
2
++
++= ; 
e) 
1x
1xE 2
2
+
−= . 
D¹ng 5. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc d¹ng ph©n thøc 
cã mÉu lµ b×nh ph−¬ng cña mét nhÞ thøc bËc nhÊt. 
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A 
cã d¹ng 2)bax(
)x(M
+ , ta viÕt tö thøc M(x) d−íi d¹ng luü thõa cña ax + b, sau ®ã 
chia tö thøc cho mÉu thøc ®Ó viÕt A d−íi d¹ng tæng c¸c ph©n thøc míi cã tö 
thøc lµ h»ng sè cßn mÉu thøc lµ luü thõa cña nhÞ thøc ax + b: 
 2)bax(
p
bax
n)x(mA ++++= . 
Dïng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn, ®Æt 
bax
1y += , ta ®−a ®−îc A vÒ d¹ng 1 hoÆc d¹ng 
2, tõ ®ã gi¶i quyÕt ®−îc bµi to¸n. 
VÝ dô 7. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 2
2
)1x(
1xxA +
++= . 
Gi¶i. 
ViÕt tö thøc d−íi d¹ng luü thõa cña x + 1, råi ®æi biÕn, ®Æt 
1x
1y += ta cã: 
 2
2
)1x(
1)1x()1x2x(A +
++−++= = 2)1x(
1
1x
11 +++− 
 = 
4
3
4
3)
2
1y(yy1 22 ≥+−=+− . 
 Min 1x
2
1y
4
3A =⇔=⇔= . 
* Bµi tËp tù gi¶i. 
 Bµi tËp 6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc: 
a) 2x
1x2A += ; 
b) 2
2
x
1x2x4B +−= ; 
c) 
1x2x
3x3xC 2
2
+−
+−= ; 
d) 
1x2x
5x6x2D 2
2
+−
+−= . 
Bµi tËp 7: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 2)1x(
xA += . 
D¹ng 6. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c ph©n thøc kh¸c. 
VÝ dô 8. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 
2x
1x2A 2 +
+= . 
Gi¶i. 
+) §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A, ta viÕt A d−íi d¹ng: 
)2x(2
)2x()4x4x(
)2x(2
2x4
2x
1x2A 2
22
22 +
+−++=+
+=+
+= 
 = 
2
1
2
1
)2x(2
)2x(
2
2
≥−+
+
. 
VËy: 2x
2
1Amin −=⇔−= 
+) §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A, ta viÕt A d−íi d¹ng: 
2x
1x2x2x
2x
1x2A 2
22
2 +
−+−+=+
+= = 
2x
)1x()2x(
2
22
+
−−+
 = 1
2x
)1x(1 2
2
≤+
−− . 
VËy: 1x1Amax =⇔= . 
VÝ dô 9. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 
1x
3x4B 2 +
+= . 
Gi¶i. 
+) §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B, ta viÕt B d−íi d¹ng: 
1x
)1x()4x4x(
1x
3x4B 2
22
2 +
+−++=+
+= 
 = 11
1x
)2x(
2
2
−≥−+
+
. 
VËy: 2x1Bmin −=⇔−=
+) §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B, ta viÕt B d−íi d¹ng: 
1x
1x4x44x4
1x
3x4B 2
22
2 +
−+−+=+
+= = 
1x
)1x2()1x(4
2
22
+
−−+
 = 4
1x
)1x2(4 2
2
≤+
−− . 
VËy: 
2
1x4Bmax =⇔= . 
* Bµi tËp tù gi¶i. 
 Bµi tËp 8. 
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 2x1
x43M +
−= . 
Bµi tËp 9. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 
2x
14x3N 2
2
+
+= . 
D¹ng 7. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc cã chøa hai 
(hoÆc nhiÒu) biÕn. 
VÝ dô 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x2 + y2 - 2(x – y). 
Gi¶i. 
Ta cã: A = x2 + y2 - 2x + 2y 
 = (x2 - 2x +1) + (y2 + 2y + 1) – 2 
 = (x – 1)2 + (y + 1)2 – 2 ≥ 2. 
VËy: min A = 2 . 
⎩⎨
⎧
−=
=⇔
1y
1x
VÝ dô 11: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 
x
y
y
xB += víi x > 0, y > 0. 
Gi¶i. 
Ta cã: 
x
y
y
xB += = 
xy
yx 22 +
 = 22
xy
yx 22 +−+ 
 = 2
xy
xy2yx 22 +−+ = 22
xy
)yx( 2 ≥+− (v× x > 0, y > 0). 
VËy: min B = 2 ⇔ x = y. 
VÝ dô 12: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 
 biÕt . 66 yxC += 1yx 22 =+
Gi¶i. 
Ta cã: = . 323266 )y()x(yxC +=+= )yyxx)(yx( 422422 +−+
V× nªn = 1yx 22 =+ 4224 yyxxC +−= 22222 yx3)yx( −+
 = . 1yx31 22 ≤−
DÊu b»ng x¶y ra khi x2y2 = 0 ⇔ x = 0 hoÆc y = 0. 
VËy: max C = 1 . ⇔
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
±=
=
⎩⎨
⎧
±=
=
1x
0y
1y
0x
* Bµi tËp tù gi¶i. 
 Bµi tËp 10. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc: 
a) A = x2 - 2x + y2 + 4y + 5 ; 
b) B = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36 ; 
c) C = (x – ay)2 + 6(x – ay) + x2 + 16y2 – 8xy + 2x – 8y + 10. 
Bµi tËp 11. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 
 A = 4x + 6y - x2 - y2 + 2 . 
Bµi tËp 12. 
a) Cho x – y = 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 33 yxA +=
b) Cho x – y = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 22 yx2B +=
Bµi tËp 13. 
 Chøng minh r»ng nÕu hai sè cã tæng kh«ng ®æi th× tÝch cña chóng lín 
nhÊt khi vµ chØ khi hai sè ®ã b»ng nhau. 
 ¸p dông mÖnh ®Ò trªn t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: 
a) ; )x8(xA 22 −=
b) ; )x16(xB 33 −=
c) víi )x2)(x1(C −−= 1x
2
1 << . 
Bµi tËp 14. 
 Chøng minh r»ng nÕu hai sè d−¬ng cã tÝch kh«ng ®æi th× tæng cña chóng 
nhá nhÊt khi vµ chØ khi hai sè ®ã b»ng nhau. 
 ¸p dông mÖnh ®Ò trªn t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau (víi 
x > 0) : 
a) 
x
1x2A
2 += ; 
b) 
x
1x4B
2 += ; 
c) 
x2
64x8xC
2 ++= ; 
d) 
x3
16x15xD
2 ++= ; 
e) 
x
)1x(E
2+= ; 
f) 
1x
1xF −+= . 
C. KÕt luËn 
 Trªn ®©y lµ nh÷ng néi dung t«i ®· nghiªn cøu vµ biªn so¹n tr−íc hÕt 
nh»m cñng cè vµ s¾p xÕp cã hÖ thèng c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ d¹ng to¸n “ T×m 
gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc ” víi mét sè d¹ng biÓu 
thøc th−êng gÆp trong ch−¬ng tr×nh ®¹i sè líp 8 cho chÝnh b¶n th©n, sau ®ã t«i 
®· dïng lµm tµi liÖu ®Ó gi¶ng d¹y cho c¸c em häc sinh líp 8 víi môc ®Ých båi 
d−ìng thªm kiÕn thøc cho c¸c em häc sinh kh¸ giái vÒ mét d¹ng to¸n n©ng cao 
th−êng gÆp trong c¸c ®Ò thi vµ kiÓm tra. T«i rÊt mõng v× nhê sù s¾p xÕp râ rµng, 
®−a kiÕn thøc tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p dÇn trong tµi liÖu nªn c¸c em häc sinh tõ 
lóc c¶m gi¸c sî vµ nghÜ ®©y lµ d¹ng to¸n khã, ®Õn khi tham gia häc l¹i ®Òu c¶m 
thÊy hµo høng vµ lµm bµi tËp rÊt tèt. T«i m¹nh d¹n tr×nh bµy tµi liÖu nµy nh− 
mét s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nhá nh−ng rÊt cÇn cho c¸c gi¸o viªn trùc tiÕp gi¶ng 
d¹y to¸n THCS nh− chóng t«i vµ rÊt mong ®−îc sù gióp ®ì, ®ãng gãp ý kiÕn cña 
c¸c ThÇy C« gi¸o giµu kinh nghiÖm, chuyªn m«n giái trong Tæ Tù nhiªn I 
Tr−êng THCS NguyÔn Tr−êng Té ®Ó t«i cã ®iÒu kiÖn häc tËp n©ng cao n¨ng lùc 
s− ph¹m vµ tr×nh ®é chuyªn m«n gióp cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y ®−îc ngµy cµng 
tèt h¬n. T«i xin tr©n träng c¸m ¬n! 
 Hµ Néi, th¸ng 4 n¨m 2009 
 Ng−êi viÕt 
 NguyÔn Thuý H»ng 
D. Tµi liÖu tham kh¶o 
1) Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn §¹i sè 8, Vò H÷u B×nh, Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc. 
2) ¤n luyÖn to¸n trung häc c¬ së, Vò H÷u B×nh, Nhµ xuÊt b¶n Hµ Néi. 
3) S¸ch bµi tËp to¸n 8, T«n Th©n (chñ biªn), Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc. 
4) S¸ch gi¸o khoa to¸n 8, T«n Th©n (chñ biªn), Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc. 
5) To¸n båi d−ìng häc sinh líp 8, Vò H÷u B×nh – T«n Th©n - ®ç Quang ThiÒu, 
Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc. 
6) To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò D¹i sè 8, NguyÔn Ngäc §¹m – NguyÔn 
ViÖt H¶i – Vò D−¬ng Thôy, Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc. 
Môc lôc 
Néi dung Trang
A. §Æt vÊn ®Ò 
B. Néi dung ®Ò tµi 
I. Lý thuyÕt chung 
II. Mét sè d¹ng biÓu thøc cÇn t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, 
gi¸ trÞ lín nhÊt th−êng gÆp trong ch−¬ng tr×nh 
to¸n líp 8 
D¹ng 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc cã d¹ng 
tam thøc bËc hai. 
D¹ng 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc cã d¹ng 
®a thøc bËc cao. 
D¹ng 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc cã d¹ng 
®a thøc cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. 
D¹ng4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc d¹ng 
ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè vµ mÉu lµ tam thøc bËc hai . 
D¹ng 5. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc d¹ng 
ph©n thøc cã mÉu lµ b×nh ph−¬ng cña mét nhÞ thøc bËc nhÊt. 
D¹ng 6. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c ph©n thøc 
kh¸c. 
D¹ng 7. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc cã chøa 
hai (hoÆc nhiÒu) biÕn. 
C. KÕt luËn 
D. Tµi liÖu tham kh¶o 
1 
2 
2 
3 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
10 
12 
13 
ý kiÕn nhËn xÐt 
cña tæ tr−ëng chuyªn m«n vµ ban gi¸m hiÖu
Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o quËn ®èng ®a 
Tr−êng trung häc c¬ së nguyÔn tr−êng té 
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 
 Tªn ®Ò tµi: 
Ph−¬ng ph¸p t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, 
 gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc 
 Hä vµ tªn: NguyÔn Thuý H»ng 
 Chøc vô : Gi¸o viªn 
 Tæ : Tù nhiªn I 
 Tr−êng : THCS NguyÔn Tr−êng Té 
Hµ Néi, th¸ng 4 - 2009