Toán học - Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm

CHUYÊN ĐỀ: 
 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 
 TG: HỒ TUẤN THOẠI 
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
§1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một khoảng, đoạn
R Hàm số đồng biến (tăng) trên K nếu 
R Hàm số nghịch biến (giảm) trên K nếu 
R Cho hàm số có đạo hàm trên K đồng thời phương trình vô nghiệm trên K
	hoặc có nghiệm rời rạc trên K. Khi đó 
	s Hàm số đồng biến trên K 
	s Hàm số nghịch biến trên K 
II. Giải bất phương trình bằng cách sử dụng đạo hàm (phương pháp hàm số)
R Nếu hàm số tăng liên tục trên K (với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) thì
	Q 	Q 
R Nếu hàm số giảm liên tục trên K (với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) thì
	Q 	Q 
III. Giải phương trình bằng cách sử dụng đạo hàm (phương pháp hàm số)
R Nếu phương trình (k là hằng số) thoả mãn các điều kiện sau đây
	Q Có thể đoán được là một nghiệm của phương trình ()
	Q Có thể chứng minh được tăng liên tục hoặc giảm liên tục trên K
	Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất trên K
R Nếu phương trình thoả mãn các điều kiện sau đây
	Q Có thể đoán được là một nghiệm của phương trình ()
	Q Có thể chứng minh được tăng liên tục còn giảm liên tục trên K
	Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất trên K
R Nếu gặp phương trình có thể đưa được về dạng trong đó
	Q Hàm đặc trưng tăng liên tục hoặc giảm liên tục trên một khoảng K
	Q Khoảng K được xét chứa cả hai tập điều kiện và của các biến số u và v
trong đó và 
	Khi đó, ta có biến đổi tương đương như sau
Ví dụ 1.1 Giải các phương trình và bất phương trình sau đây
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài giải
Câu a:	 (1)	– Điều kiện: 
– Xét hàm số liên tục trên nửa khoảng 
Do nên hàm số đồng biến trên 
– Ngoài ra do nên bất phương trình (1) 
– Kết hợp điều kiện ta nhận các nghiệm 
Câu b:	 (2)	– Điều kiện: 
– Xét hàm số liên tục trên nửa khoảng 
Do nên đồng biến trên 
– Ngoài ra do nên bất phương trình (2) 
– Kết hợp với điều kiện của bất phương trình ta nhận 
Câu c:	 (3)	– Điều kiện: 
– Nhận xét: là một nghiệm của phương trình (3)
– Xét hàm số liên tục trên đoạn 
– Do 
 đồng biến liên tục trên đoạn 
– Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất 
Câu d:	 (4) 
–	Việc tính đạo hàm của hàm số chắc chắn là không hề đơn giản hơn nữa chưa chắc tính ra được có dấu không đổi trên tập xác định D của hàm số. Vì vậy việc giải câu d với phương án tương tự như câu a khó mà thực hiện được 
–	Quan sát lại vế trái của (4) ta lại dễ dàng nhận thấy là hàm số đồng biến và có thể cũng có đạo hàm dương! Nếu điều đó xảy ra, có khả năng việc xét tích của hai hàm số có thể là phương án giải được cho câu d
Cách 1: (4)	– Điều kiện: 
– Nhận xét: x = 2 là một nghiệm của phương trình (4)
– Xét và cùng liên tục trên đoạn . 
	Ta có và 
	Do đó và đều đồng biến trên đoạn 	(chưa chắc cũng đồng biến)
– Quay về xét (4) ta nhận thấy không thỏa phương trình (4) nên , thế là
 nên 
	Lại kết hợp với (4) ta suy ra 
– Như vậy và khi đó nên đồng biến trên nửa khoảng 
	Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Cách 2: (4)	– Điều kiện: 
– Nhận xét: x = 2 là một nghiệm của phương trình (4) nhưng
	 không thoả phương trình (4) nên . Từ đó
(4) 
– Xét và liên tục trên nửa khoảng 
– Ta có và 
Do đó tăng liên tục còn giảm lên tục khi cùng xét trên nửa khoảng 
– Vậy phương trình (4) có một nghiệm duy nhất x = 2.
Nhận xét: Sẽ khó phát hiện cách giải hơn nếu phương trình (4) được biến đổi thêm một ít như sau
 (4’)
Bài tập tương tự
1) 	5) 
2) 	6) 
3) 	7) 
4) 	8) 
Ví dụ 1.2 Giải các phương trình và bất phương trình sau đây:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài giải
Câu a:	 (5) 
– Đặt , khi đó phương trình trở thành 
	 (5’)
– Xét hàm số liên tục trên có 
Suy ra tăng liên tục trên 
– Do đó (5’) 
– Vậy phương trình đã cho có các nghiệm 
Câu b:	 (6)	– Điều kiện: 
– Ta có (6) 	 (6’) 
– Đặt khi đó
	(6’)	(6’’)
– Xét hàm số liên tục trên có 
Suy ra tăng liên tục trên 
– Do đó (6’’) 
– Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
Câu c:	 (7)	– Điều kiện: 
– Ta có (7) (7’)
– Xét hàm số liên tục trên có 
Suy ra tăng liên tục trên , từ đó
 (7’) 
– Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Câu d:	 (8)	– Điều kiện: 
– Ta có (8) 
 (8’)
– Đặt thì , khi đó (8’) (8’’)
– Xét hàm số có (có lúc âm, lúc dương với )
– Trở lại kết hợp và ta suy ra được
– Như vậy với t là biến đặc trưng cho x > 2 và , ta có thể xét , khi ấy
– Từ đó (8’’) 
Bài tập tương tự
1) 	2) 
3) 	4) 
5) 	6) 
Ví dụ 1.3 Giải các hệ phương trình sau đây:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài giải
Câu a: 	– Điều kiện: 
– Biến đổi (1) ta được: 
– Xét hàm số liên tục trên đoạn [0;1]
	Do nên tăng liên tục trên đoạn [0;1], từ đó
– Thay x = y vào phương trình (2) ta được 
– Xét hàm số liên tục trên 
	Do nên tăng liên tục trên ,từ đó
– Giải phương trình trên ta được các nghiệm 
– So với điều kiện ta chỉ nhận 
– Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
Câu b: 	– Điều kiện: 
– Ta có 
– Do nên 
– Xét hàm số liên tục trên đoạn [–1; 1]
	Do nên giảm liên tục trên đoạn [–1; 1], từ đó
– Thay y = 2x + 2 vào phương trình (2) ta được
 (thoả điều kiện)
– Vậy hệ phương trình có hai nghiệm
 và 
Câu c: 
– Biến đổi (1) ta được: 
 hoặc y = x – 1
– Với , thay vào (2) ta đều được phương trình vô nghiệm theo y
– Với y = x – 1, thay vào (2) ta được 
– Xét hàm số liên tục trên 
	Do nên tăng liên tục trên , từ đó
– Vậy hệ có nghiệm duy nhất 
Câu d:	 	– Điều kiện: 
– Trước tiên ta biến đổi phương trình (1) về phương trình đồng dạng
– Xét hàm số liên tục trên 
	Do nên tăng liên tục trên , từ đó
– Kết hợp với (2) ta được: 
– Xét hàm số liên tục trên đoạn 
	Do nên
 giảm liên tục trên đoạn , từ đó 
– Với . Hệ có nghiệm duy nhất 
Bài tập tương tự
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f ) 
§2. ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
I. Điều kiện có nghiệm của phương trình, bất phương trình chứa tham số
Cho hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định D. Khi đó,
R Phương trình có nghiệm trên D 
R Bất phương trình đúng 
R Bất phương trình đúng 
R Hai trường sau đây ít gặp trong các bài toán bất phương trình chứa tham số
	s Bất phương trình có nghiệm trên D 
	s Bất phương trình có nghiệm trên D 
II. Một số lưu ý khi giải bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số
Œ	Bài toán hệ phương trình chứa tham số chủ yếu được giải bằng cách chuyển về phương trình 
	chứa tham số bằng các phương pháp thế, đặt ẩn phụ hoặc phương pháp hàm số
	Nếu hàm số không đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên D tuy nhiên khi vẽ bảng 
	biến thiên của trên D ta lại thấy có và tương ứng là số lớn nhất và số nhỏ nhất 
	ở dòng thứ 3 trong bảng biến thiên (dòng thể hiện sự đồng biến và nghịch biến của )
	Khi đó, ta cũng có thể sử dụng kết quả tương tự như trên, cụ thể như sau
	Ä Phương trình có nghiệm trên D 
	Ä Bất phương trình đúng 
	Ä Bất phương trình đúng 
	Ä Bất phương trình có nghiệm trên D 
	Ä Bất phương trình có nghiệm trên D 
Ž	Đối với bài toán tham số giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ ( chẳng hạn), sau khi xác 
	định và đặt đúng ẩn phụ để phương trình, bất phương trình đã cho trông có vẻ đơn giản hơn, 
	cần phải xác định điều kiện chính xác cho ẩn phụ đó bằng cách sử dụng các phương pháp 
	đánh giá thường gặp (so sánh, dùng bất đẳng thức hoặc dùng phương pháp hàm số,)
	Đối với bài toán đếm số nghiệm của phương trình, bất phương trình có dùng phương pháp 
	đặt ẩn phụ, cần phải xem xét xem mỗi ẩn phụ thoả điều kiện có nghiệm sẽ cho ta giải được 
	bao nhiêu nghiệm x
Ví dụ 2.1 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nghiệm thực
Bài giải
	– Ta có (1) : 	– Điều kiện: 
– Xét hàm số liên tục trên đoạn 
Trên đoạn [–1;1], 
– Phương trình (1) có nghiệm 
Bài tập tương tự
1) 	2) 
Ví dụ 2.2 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nghiệm thực
Bài giải
– Do nên , từ đó
– Xét hàm số liên tục trên đoạn 
– và 
– Bảng biến thiên của hàm số như sau:
– Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm
 có nghiệm 
	+	0	–	
	1
Bài tập tương tự
1) 	2) 
Ví dụ 2.3 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nghiệm thực
Bài giải
	– Xét phương trình (1)	– Điều kiện: 
– Do nên . Chia 2 vế của phương trình (1) cho ta được
 (2)
– Đặt 
– Phương trình (2) trở thành với 
– Xét hàm số liên tục trên nửa khoảng [0;1) có 
– Bảng biến thiên:
	[0	1)	 
 	+	0	–	
0	
	– 1
– Vậy (1) có nghiệm phương trình có nghiệm 
Bài tập tương tự
1) 	2) 
Ví dụ 2.4 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có 2 nghiệm thực phân biệt
Bài giải
	– Ta có 
– Do x = 0 không thoả (*) nên , từ đó phương trình (*) tương đương với
 với và 
– Xét hàm số liên tục trên tập hợp có
– Giới hạn : 
– Bảng biến thiên:
	0	 
	+	+
– Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc tập hợp 
Bài tập tương tự
1) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
2) Tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm.
Ví dụ 2.5 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có 2 nghiệm thực phân biệt
Bài giải
	– (1)	Điều kiện: 
– Đặt (*) với , khi đó
– Bảng biến thiên:
	3	
	+	0	–
	5	
– Như vậy, . Hơn thế nữa, dựa vào bảng biến thiên ta có nhận xét:
	Với mỗi phương trình (*) cho ta một nghiệm 
	Nhưng với mỗi thì phương trình (*) lại cho ta hai nghiệm 
– Từ (*) ta suy ra 
– Thay vào (1) ta được 
– Xét hàm số trên đoạn có
 (do đang xét )
– Bảng biến thiên:
	3	 	5	
	–	0	+	|	+
	6
– Như vậy, phương trình (1) có 2 nghiệm khi và chỉ khi một trong hai trường hợp sau xảy ra
	TH1: phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc nửa khoảng 
 TH2: phương trình có 2 nghiệm phân biệt và chúng cùng thuộc 
– Tóm lại, hoặc là các giá trị m cần tìm.
Bài tập tương tự
Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm.
Ví dụ 2.6 Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau đây nghiệm đúng với mọi 
Bài giải
– Đặt với 
– Do nên 
– Với ẩn phụ t như trên bất phương trình trở thành
– Xét hàm số liên tục trên đoạn [1;2] có 
 đồng biến trên đoạn [1;2]
– Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi
Bài tập tương tự
1)	Tìm các giá trị của m để nghiệm đúng với mọi 
2)	Tìm các giá trị của m để nghiệm đúng với mọi 
Ví dụ 2.7 Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau đây có nghiệm 
Bài giải
– Điều kiện của bất phương trình 
– Do x = 0 không thoả bất phương trình nên . Khi đó
– Xét hàm số liên tục trên nửa khoảng (0;4] có
 giảm liên tục trên nửa khoảng (0;4] 
– Bất phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm trên nửa khoảng (0;4]
Bài tập tương tự
1)	Tìm các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm?
2)	Tìm các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm?