Toán học - Chuyên đề: Nguyên hàm – tích phân – ứng dụng

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM–TÍCH PHÂN–ỨNG DỤNG
TG: LÂM THỊ THANH TUYỀN 
PHẦN 1: NGUYÊN HÀM
A. Các nguyên hàm thường gặp: 
, 
, 
MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. cos2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2 sin2x = cos2x – sin2x	 2. sin2x = 2sinxcosx
3. sin2x = 	 4. cos2x = 
5. cosa.cosb = 6. sina.sinb = 
7. sina.cosb = 	8. cosa + cosb = 2.cos
 9. cosa – cosb = – 2.sin	10. sina + sinb = 2.sin
11. sina – sinb = 2.cos
B. Các phương pháp tính nguyên hàm : 
Dùng tính chất và bảng nguyên hàm: 
Ví dụ : 
a.
c.
d.
e.
2) Phương pháp đổi biến số: 
Để tính ta thực hiện các bước sau: 
Bước 1 : Đặt . Ta có 
Bước 2 : 
Bước 3 : Tìm nguyên hàm hàm số theo biến t
Bước 4 : Thế vào nguyên hàm của hàm số.
Ví dụ: Dùng phương pháp đổi biến số hãy tính : 
a) I = ( đặt u = x2 + 1)
+ Đặt u = x2 + 1 
+ Khi đó : I = 
b) I = (đặt u = cosx)
+ Đặt u = cosx 
+ Khi đó: I = 
c) I = ( đặt u = )
+ Đặt u = 
+ Khi đó: I=
d) I = .dx ( đặt u = )
+ Đặt u = 
Mà u2 =1 –x2 Þ x2 = 1 – u2
+ Khi đó: I = =
e) I = 
Ta có I = 
+ Đặt t = sinx dt = cosx. dx 
+ Khi đó: I = 
Chú ý 1: Các dạng bài tập sau thường dùng phương pháp đổi biến số 
DẠNG
CÁCH ĐẶT
Đặt u = u(x) ( hay )
Đặt u = u(x)
Đặt u = u(x) ( hay )
Chú ý 2: Nếu sinx (hoặc cosx) bậc lẻ ta tách thành một sinx (hoặc cosx) nhân phần mũ chẵn, và áp dụng sin2x + cos2x = 1
3) Phương pháp nguyên hàm từng phần: 
+ Các dạng bài tập sau sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm,
Dạng
Cách đặt
u
P(x)
P(x)
P(x)
lnx
dv
exdx
cosxdx
sinxdx
P(x)dx
+ Công thức nguyên hàm từng phần: 
Ví dụ : 
a) Tính A= 
+ Đặt: 
+ Khi đó: A=
b) Tính B=
+ Đặt: 
+ B=
c) Tính C =
+ Đặt: 
+ C=
d) Tính D=
+ Đặt: 
+ D=
Tìm một nguyên hàm của hàm số thỏa điều kiện cho trước: 
* Phương pháp giải: 
+ Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho.
+ Dựa vào điều kiện đã cho tìm C
+ Thay C vào họ nguyên hàm một nguyên hàm cần tìm.
* Vận dụng: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 1 + sin3x khi biết F()= 0
+ Gọi F(x) = 
+ Do F()= 0 
+ Vậy F(x) = thỏa F()= 0
C. BÀI TẬP: 
BÀI TẬP TRÊN LỚP
Bài tập 1: Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau: 
a. f(x) = x2 – 3x + ;	b. f(x) = ;	c. f(x) = 	d. f(x) = 2ax + 3x 
Bài tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số: 
a., biết F(1) = 0	b., biết F(0) = 1
Bài tập 3: Tìm nguyên hàm sau: 
a. b. c. d. e. f. 
 g. h. 
m. n. 
 Bài tập 4: tìm các nguyên hàm sau: 
a. b. c. d. e. f.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài tập 1: Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau: 
a. f(x) = b. f(x) = c. f(x) = ex(2 + d. f(x) = 4x + 3x 
Bài tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số: 
a. , biết F(2) = 3	b. , biết F(0) = -1
Bài tập 3: tìm các nguyên hàm sau 
a. b. c. d. e. f. 
g. h. m. n. o. p. q. 
 Bài tập 4: tìm các nguyên hàm sau 
a. b. c. d. e. 
PHẦN 2: TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM: 
 I. Định nghĩa và tính chất của tích phân: 
 * ĐN: 
 * Tính chất: 
+ + + 
+ 
+ 	 
 II. Các phương pháp tính tích phân: 
1) Phương pháp đổi biến số: 
 * Đổi biến số dạng 1: 
 + Đặt: 
 + Đổi cận: 
 + Khi đó: 
 * Đổi biến số dạng 2: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa: 
 + Đặt: 
 + Đặt: 
 + Đặt: 
 + Đặt: 
2) Phương pháp tính tích phân từng phần: * Công thức: 
 * Các dạng tích phân từng phần thường gặp: 
 Dạng 1: Ta đặt: ( : là đa thức )
Dạng 2: Ta đặt: ( : là đa thức )
B. BÀI TẬP: 
BÀI TẬP TRÊN LỚP
Bài tập 1: Tính các tich phân sau: 
a. Tính b. Tính c. Tính 
d. Tính e. Tính f. Tính 
Bài tập 2: Tính 
a. 	b. 	c. 	d. 
e. 	f. 	g. 	h. 
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
a. 	b. 	c. 	d. 	e. 
f. g. 	g. 	h. 
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài tập 1Tính các tích phân sau: 
 a.Tính 	b. Tính 	c. Tính 
d. Tính 	e. Tính 	f. Tính 
Bài tập 2: tính 
a. 	b. 	c. 	d. 
e. 	f. 	g. 	h. 
Bài 3: Tính các tích phân sau : 
a. 	b. 	c. 	d. 
e. 	f. 	g. 	h. 
i. 	j. 
PHẦN 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM: 
Diện tích hình phẳng: 
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành: 
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, hai đường thẳng được tính theo công thức: 
 b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: 
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng được tính bởi công thức: 
 * Chú ý: Để tính diện tích trên ta làm như sau: 
 + Giải PT : trên đoạn 
 + Giả sử PT có nghiệm đúng hai nghiệm là 
 + Khi đó: 
2. Thể tích khối tròn xoay: 
Thể tích khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường: , trục hoành, quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: 
3) Ví dụ cụ thể: 
Ví dụ 1: 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x2 –2 x, (P2) : y= x2 + 1 và các đường thẳng x = 0 ; x=2 .
Giải
+ Tính f(x) - g(x) = x2 –2 x – (x2 + 1) = -2x -1
+ Giải phương trình: x2 –2 x = x2 + 1Û –2 x -1 = 0 Û x = -1/2 (loại)
+ Vậy S = 
Ví dụ 2: 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + 1 và các đường thẳng x = -1 ; x=2 .
Giải
+ Tính f(x) - g(x) = x2 –2 x – (x2 + 1) = -2x -1
+ Giải phương trình: x2 –2 x = x2 + 1Û –2 x -1 = 0 Û x = -1/2 (nhận)
Ví dụ 3: 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x3 – x và (P2) y= x - x2
Giải
+ Tính f(x) - g(x) = x3 – x – (x - x2) = x3 + x2 -2x
+ Giải phương trình: x3 + x2 -2x = 0 
+ 
Ví dụ 4: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x
Giải: Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là : 
== (đvtt) 
Ví dụ 5: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x =0 ; ; y = 0 ; y = sinx
Đs: (đvtt)
B. BÀI TẬP: 
BÀI TẬP TRÊN LỚP
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng : 
a.
b.,và trục Ox
c. và trục Ox
d.trục Ox, x=1
e.
f.
g. và 	 	
h. và tiếp tuyến với tại điểm 
Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H) khi nó quay quanh trục Ox 
a. 
b.
c.
d. y = x(4 – x), y = 0
e. y = cosx, y = 0, x = 0, x = 
f. y = , y = 0, x = 1, x = 2
g. 
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng 
a. và trục Ox
b.
c. và trục Ox 
c.
d. 
e. 
f. và tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ bằng 1
Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H) khi nó quay quanh trục Ox 
a.trục Ox, x=1
b.
c. y = x3 – x2, y = 0, x = 0, x = 3
d. 
e. 
f.
g. y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 
PHẦN 4: MỘT SỐ ĐỀ THI TN ( TỪ NĂM 2010 ĐẾN 2015 )
TNTHPT năm 2010: Tính tích phân sau: 
TNTHPT năm 2011: Tính tích phân sau: 
TNTHPT năm 2012: Tính tích phân sau: 
TNTHPT năm 2013: Tính tích phân sau: 
TNTHPT năm 2014: Tính tích phân sau: 
TNTHPT-QG năm 2015: Tính tích phân sau: