Toán học - Chuyên đề: Phương trình - Bất phương trình hệ phương trình

CHUYÊN ĐỀ: 
 PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH
 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 TG: HỒ TUẤN THOẠI 
A. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương pháp biến đổi tương đương
Dạng 1: Phương trình 
Lưu ý: Điều kiện (*) được tùy chọn vào độ phức tạp của hay 
Dạng 2: Phương trình 
Dạng 3: Phương trình 
	(chuyển về dạng 2)
	 và ta sử dụng phép thế: ta được phương trình: 
1.1. Bình phương hai vế của phương trình
1.1.1. Phương pháp
	Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng: , ta thường bình phương hai vế, điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau
1.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1 Giải phương trình: 
+, ĐK: 
+, Bình phương hai vế không âm của phương trình ta được: 
 để giải phương trình tất nhiên không khó nhưng hơi phức tạp một chút.
+, Phương trình sẽ giải rất đơn giản nếu ta chuyển về phương trình:
+, Bình phương hai vế ta có: 
Nhận xét: Nếu phương trình: 
Mà có: thì ta biến đổi về dạng: sau đó bình phương, giải phương trình hệ quả.
Ví dụ 2 Giải phương trình: 
+, ĐK: 
Bình phương hai vế phương trình?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
+, Ta có nhận xét: , từ nhận xét ta có lời giải sau:
+, Bình phương hai vế ta được: 
+, Thử lại: là nghiệm
+, Qua lời giải trên ta có nhận xét: Nếu phương trình: mà có thì ta biến đổi: .
1.2. Trục căn thưc
1.2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
1.2.1.1. Phương pháp
	Một số phương trình vô tỷ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chưng minh vô nghiệm, chú ý điều kiện của phương trình để ta có thể đánh giá vô nghiệm.
1.2.1.2. Ví dụ: Trình bày các ví dụ nhân liên hợp
Trong tập tin “Liên hợp ngược trong PT, BPT, HPT”
1.2.2. Đưa về hệ tạm
1.2.2.1. Phương pháp
	Nếu phương trình vô tỷ có dạng: , mà: ở đây C có thể là hằng số, có thể là biểu thức của x. Ta có thể giải như sau:
	. Khi đó ta có hệ: 
1.2.2.2. Ví dụ
Ví dụ 1 Giải phương trình sau: 
Ta thấy: . 
+, Trục căn thức ta có: 
+, Vậy ta có hệ: 
Ví dụ 2 Giải phương trình sau: 
Ta thấy: . 
+, không phải là nghiệm.
+, Xét 
Trục căn thức ta có: 
+, Vậy ta có hệ: 
+, Thử lại thỏa. Vậy phương trình có 2 nghiệm: và 
Ví dụ 3 Giải phương trình: 
+, Ta thấy: , như vậy không thỏa điều kiện trên. 
+, Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt . Ta được: 
+, Làm tiếp tương tự Ví dụ 1
Bài tập đề nghị
1) 
5) 
2) 
6) 
3) 
7) 
4) 
8) 
1.3. Phương trình biến đổi về tích
Ví dụ 1 Giải phương trình: 
+, ĐK: 
+, Khi đó: 
Ví dụ 2 Giải phương trình: 
+, ĐK: 
+, Khi đó: 
Ví dụ 3 Giải phương trình: 
+, ĐK: . Phương trình tương đương:
+, Khi đó: 
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
2.1. Đặt ẩn phụ thông thường
Dạng 1 , đặt (lưu ý nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t ³ 0).
Ví dụ 1 Giải các phương trình:	
a) 
d) 
b) 
e) 
c) 
f) 
Dạng 2 , đặt , bình phương hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t.
Ví dụ 2
a) 
d) 
b) 
e) 
c) 
f) 
Ví dụ 3 Giải bất phương trình .
HD: Đặt Þ  .
Dạng 3 , trong đó F(t) là một phương trình đẳng cấp bậc k.
TH1: Kiểm tra nghiệm với .
TH2: Giả sử chia hai vế phương trình cho và đặt .
Ví dụ 4 Giải phương trình .
+, ĐK: . 
+, Đặt . Phương trình trở thành .
Với t=2: Phương trình đã cho vô nghiệm.
Với : Phương trình đã cho có nghiệm .
Ví dụ 5 Giải phương trình: 
+, ĐK: 
+, Nhận xét: Ta viết: 
+, Đồng nhất thức ta được: 
2.2. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Ví dụ 1 Giải phương trình: 
+, Đặt , ta có: 
Ví dụ 2 Giải phương trình: 
+, Đặt . Ta được: 
+, Bây giờ ta thêm bớt để được phương trình bậc hai theo t có chẵn:
Ví dụ 3 Giải Bất phương trình 
+, Điều kiện: :
+, Đặt 
 Ta được: 
Ví dụ 4 Giải phương trình 
+, Đặt 
+, Ta có . Ta được: 
+, Với t = 1
Ví dụ 5 Giải phương trình 
+, Đặt 
+, Ta được: có 
+, Với 
+, Với 
Ví dụ 6 Giải phương trình 
Cách 1: Đặt 
Cách 2: Bình phương hai vế:
3. Phương pháp biến đổi theo phương trình hệ quả
Ví dụ Giải phương trình 
+, Thay x=0 vào (1) ta có: ( đúng) 
+, Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x= 0.
4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 
Trong Tập tin “Ứng dụng đạo hàm vào Đại số”
B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
1. Phương pháp thế 
Kỹ thuật 1 Rút một biến để thế.
Cụ thể: Rút một ẩn từ phương trình này, thay vào phương trình kia để được một phương trình môt ẩn giải được.
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 
+, Ta sẽ rút x từ (2): 
+, Sẽ chia hai vế của (2’) cho y? – Cần thận trọng! (vì nếu y có thể nhận giá trị y=0 thì sẽ mất nghiệm).
+, Do không thoả hệ nên: 
+, Tiếp tục giải này ta được nghiệm của hệ phương trình là và 
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 
+, Hệ phương trình 
+, Thế (1) vào (2) ta được 
+, Kết luận: Hệ có 1 nghiệm là 
Kỹ thuật 2 Rút một biểu thức để thế
Cụ thể: Rút một biểu thức từ phương trình này thay vào phương trình kia để được phương trình một ẩn giải được.
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình 
+, Dễ thấy không thỏa mãn (2). Dó đó: thay vào (1) ta được
+, Kết luận: Hệ đã cho có 2 nghiệm là và 
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình 
+, Hệ phương trình 
 x =0 không thõa mãn hệ phương trình.
+, Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là 
Kỹ thuật 3 Thế hằng số bởi biểu thức
Ví dụ 5 Giải hệ phương trình 
Ta có: .
+, TH1: hệ phương trình vô nghiệm.
+, TH2: , chia 2 vế cho 
+, Khi đó: HPT 
+, Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là và 
Ví dụ 6 Giải hệ phương trình 
+, Thế ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được:
+, Trường hợp 1: vô nghiệm
+, Trường hợp 2: hoặc 
+, Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là và 
Ví dụ 7 Giải hệ phương trình 
+, 
+, Thay vào (1), thu gọn ta được 
Với x=y vào pt thứ (2) ta được (vô nghiệm)
Với x=3 thay vào pt thứ 2 ta được 
Với x= -5 thay vào pt thứ 2 ta được (vô nghiệm)
+, Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là và 
2. Phương pháp cộng: Hệ số bất định trong giải hệ phương trình
Dạng 1. Trong hệ có bậc 3
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau
a) 
b) 
Hướng dẫn 
+, Đồng nhất hệ số, ta có: 
+, Như vậy, PT(1) – 3.PT(2) ta được: 
+, Đồng nhất hệ số, ta có: 
+, Như vậy, PT(1) – 6 .PT(2) ta được: 
Dạng 2. 
Cách tìm hệ số k: 
Với 
Khi tìm được k, ta thực hiện: ta tìm mối liên hệ bậc nhất giữa x và y
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
a) 
b) 
Hướng dẫn: 
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau
a) 
b) 
c) 
d) 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ
Kỹ thuật: Biến đổi mỗi hệ sao cho có hai biểu thức giống nhau
Chú ý: Các phép biến đổi tương đương một phương trình: chuyển vế, nhân chia hai số, thay thế biểu thức, 
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 
+, Đặt ; 
+, Ta được: 
+, Tiếp tục giải, ta tìm được các nghiệm của hệ là 
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 
+, Dễ thấy y=0 không thõa mãn hệ phương trình, ta viết lai hệ dưới dạng
 Đặt 
+, Ta được hệ 
+, Từ đó ta tìm được nghiệm 
4. Phương pháp đưa về tích
Trong tập tin “Đưa về tích trong HPT dùng Casio”
Bài tập thêm Giải hệ phương trình 
a) 
b) 
c) 
5. Phương pháp hàm số
Lý thuyết trong tập tin “Ứng dụng đạo hàm vào Đại số”
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 
+, ĐK: 
+, Khi đó: 
+, Xét hàm đặc trưng: với 
+, Ta có và f liên tục trên đoạn [0;1]
+, Suy ra: f(t) đồng biến trên đoạn [0;1]
+, Do đó: 
+, Thay vào phương trình (2) ta được phương trình
+, Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là 
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 
+, ĐK: 
+, Khi đó: 
+, Ta thấy không thỏa mãn hệ, nên 
+, Xét hàm số: có đồng biến 
+, Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm: và 
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình 
+, ĐK: 
+, Ta thấy: 
+, Xét hàm số Ta có suy ra f đồng biến trên R.
+, Do đó: 
+, Thế vào (2), ta được: 
+, Nhận thấy và không phải là nghiệm của (3).
Xét hàm trên khoảng 
Suy ra hàm g(x) nghịch biến.
Mặt khác , do đó (3) có nghiệm duy nhất suy ra y=2
+, Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm: 
Ví dụ 4 (Ví dụ 1.3 trong tập tin “Ứng dụng đạo hàm vào đại số”)