Toán bồi dưỡng kiến thức về chứng minh chia hết

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
a.  A = 236 − 136 chia hết cho 360
b.  B = 512 + 56 chia hết cho 650
a.  29 − 1 ⋮ 73 b.  56 − 104 ⋮ 9
CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
CHỨNG MINH
BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Chứng minh rằng biểu thức (n − 1)(3 − 2n) − n(n + 5) ⋮ 3 ∀n
Xem lời giải tại:
2. Chứng minh rằng:
a.  n2(n + 1) + 2n(n + 1) ⋮ 6 ∀n ∈ Z.
b.  55n+1 − 55n ⋮ 54 ∀n ∈ N.
Xem lời giải tại:
3. Chứng tỏ rằng
Xem lời giải tại:
4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì
a.  (n + 3)2 − (n − 1)2 chia hết cho 8
b.  (n + 6)2 − (n − 6)2 chia hết cho 24.
Xem lời giải tại:
5. Chứng minh rằng:
( ) ( )
a.  251 − 1 ⋮ 7 b.  270 + 370 ⋮ 13
a.  1719 + 1917 ⋮ 18 b.  24n − 1 ⋮ 15 , n ∈ N
Xem lời giải tại:
6. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì A = (2n − 1)3 − (2n − 1) luôn chia
hết cho 24.
Xem lời giải tại:
7. Cho đa thức f(x) = 3x3 − 7x2 + 4x − 4
a. Chứng minh rằng f(x) ⋮ x − 2
b. Tìm thương trong phép chia đa thức f(x) cho x − 2 từ đó phân tích f(x)ra thừa
số.
Xem lời giải tại:
8. Chứng minh rằng 1993 − 199 chia hết cho 200
Xem lời giải tại:
9. Chứng minh rằng
Xem lời giải tại:
10. Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
11. Chứng minh rằng:
a.  Tích của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
b.  Tích ba số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 48.
a.  a3 − a ⋮ 3 b.  a7 − a ⋮ 7
a.  A = 5x3 + 15x2 + 10x ⋮ 30
b.  B = x2 − x − 2 ⋮ 2
Xem lời giải tại:
12. Chứng minh rằng với a ∈ Z
Xem lời giải tại:
13. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 
A = (2n + 1) n2 − 3n − 1 − 2n3 + 1 chia hết cho 5.
Xem lời giải tại:
14. Chứng minh rằng:
a.  A = 1382 + 124.138 + 622 ⋮ 400
b.  B =
8202 − 1802
2252 − 50.225 + 252
⋮ 16
Xem lời giải tại:
15. Chứng minh rằng với x nguyên thì:
Xem lời giải tại:
16. Chứng minh rằng 10n + 18n − 28 ⋮ 27 (n ∈ N)
Xem lời giải tại:
17. Tìm số nguyên n sao cho n2 + 2n − 4 ⋮ 11
( ) ( )
( )
a.  x50 + x10 + 1 ⋮ x20 + x10 + 1
b.  x10 − 10x + 9 ⋮ (x − 1)2
Xem lời giải tại:
18. Tìm n  ∈  N sao cho 2n − 1 chia hết cho 7
Xem lời giải tại:
19. Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
20. Chứng minh rằng f(x) ⋮ g(x)
f(x) = x99 + x88 + x77 + . . . + x11 + 1
g(x) = x9 + x8 + x7 + . . . + x + 1
Xem lời giải tại:
21. Chứng minh rằng: (x + y)6 + (x − y)6 ⋮ x2 + y2
Xem lời giải tại:
BÀI TẬP NÂNG CAO
22. Chứng minh rằng biểu thức n(2n − 3) − 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với 
n ∈ Z . 
Xem lời giải tại:
23. Cho a, b là các số nguyên. CMR
a.  Nếu 2a + b ⋮ 13 ; 5a − 4b ⋮ 13 thì a − 6b ⋮ 13
b.  Nếu 100a + 4b ⋮ 7 thì 4a + b ⋮ 7 
Xem lời giải tại:
24. Chứng minh rằng:
a.  Nếu x; y ∈ N thì: A = (2x2 + x)(2y2 − y) − xy(4xy − 1) ⋮ 2
b.  Nếu x; y ∈ N và x + y ⋮ 13 thì: B = xn(x + 1) + xn(y − 1) ⋮ 13
Xem lời giải tại:
25. Chứng minh rằng nếu x; y ∈ Z thì:
M = (xy − 1)(x2015 + y2015) − (xy + 1)(x2015 − y2015) ⋮ 2
Xem lời giải tại:
26. Chứng minh rằng:
a. 719 + 720 + 721 ⋮ 57
b. 210
2
.850 − 327
7
⋮ 31
Xem lời giải tại:
27. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì: A = n3 + 3n2 − n − 3 ⋮ 8
Xem lời giải tại:
28. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m thì
a.  m3 − m ⋮ 6
b.  m3 + 5m và m3 − 19m cũng luôn chia hết cho 6.
Xem lời giải tại:
29. Chứng minh đa thức f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 chia hết cho đa
( )
thức g(x) = x2 + 8x + 10
Xem lời giải tại:
30. Cho x; y; z ∈ Z∗ , biết a = x2 − xy; b = y2 − xz; c = z2 − xy. 
Chứng minh rằng: ax + by + cz ⋮ a + b + c
Xem lời giải tại:
31. Chứng minh rằng 111......111

81 số 1
⋮ 81
Xem lời giải tại:
32. Chứng minh A = 13 + 23 + 33 + ⋯ + 993 + 1003 chia hết cho 
B = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100 . 
Xem lời giải tại:
33. Chứng minh rằng ∀m; n ∈ N thì:
x6m+4 + x6n+2 + 1 ⋮ x4 + x2 + 1
Xem lời giải tại:
34. Tìm n ∈ N sao cho: x2n + xn + 1 ⋮ x2 + x + 1
Xem lời giải tại:
35. Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên và a; b ∈ Z; a ≠ b
a.  Chứng minh rằng: f(a) − f(b) ⋮ a − b
b.  Có thể đồng thời xảy ra f(5) = 7; f(19) = 15 không?
Xem lời giải tại:
36. Chứng minh rằng n6 + n4 − 2n2 chia hết cho 72.
Xem lời giải tại: