Toán học - Chuyên đề về bất đẳng thức

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT ĐẲNG THỨC
BÀI TẬP LIÊN QUAN
1. Tìm:
a.  Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 − 4x + 24.
b.  Tìm giá trị lớn nhất của : B = − 3x2 − 2x + 1.
Xem lời giải tại:
2. Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện : 3x + y = 1.
a.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = 3x2 + y2.
b.  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = xy.
Xem lời giải tại:
3. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3.
a.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a2 + b2 + c2
b.  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = ab + bc + ca
c.  Tìm giá trị nhỏ nhất của C = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca.
Xem lời giải tại:
4. Tìm:
a.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x(x + 1)(x2 + x − 4).
b.  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = − x2 − y2 + xy + 2x + 2y.
Xem lời giải tại:
5. Tìm giá trị nhỏ nhất:
a.  A ( x , y ) = x
2 − 2x + 4y2 + 4y + 2014.
b.  B ( x , y , z ) = 2x
2 + 2y2 + z2 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x − 4y.
Xem lời giải tại:
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
x2 + x + 1
x2 + 2x + 1
 (x ≠ − 1).
Xem lời giải tại:
7. Tìm giá trị lớn nhất của B =
x2 + 2x + 3
x2 + 2
.
Xem lời giải tại:
8. Cho a, b > 1 và a + b = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của: B =
a
a − 1
.
b
b − 1
.
Xem lời giải tại:
9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = | x − 2035 | + | x − 2036 | .
Xem lời giải tại:
10. Cho a, b, c > 0, tính giá trị nhỏ nhất của:
A =
a
b + c
+
b + c
a
+
b
c + a
+
c + a
b
+
c
a + b
+
a + b
c
.
Xem lời giải tại:
11. Với các số dương a, b, c chứng minh rằng:
a.  (a + b)
1
a
+
1
b
≥ 4.
b.  (a + b + c)
1
a
+
1
b
+
1
c
≥ 9.
Xem lời giải tại:
12. Chứng minh (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz với x, y, z không âm.
Xem lời giải tại:
13. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh rằng: 
abc ≥ (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c).
Xem lời giải tại:
14. Với mọi số thực x, chứng minh rằng:
a.  | x + 1002 | + | x − 1002 | ≥ 2014
b.  | x + 1945 | − | x − 30 | ≤ 1975
Xem lời giải tại:
15. Chứng minh rằng với các số dương a, b, c ta có: 
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥ a + b + c.
Xem lời giải tại:
16. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
a
2a2 + bc
+
b
2b2 + ac
+
c
2c2 + ab
≥ abc.
( )
( )
 Xem lời giải tại:
17. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có:
Sn =
1
n + 1
+
1
n + 2
+
1
n + 3
+ . . . +
1
2n
>
13
24
.
Xem lời giải tại:
18. Cho ba số a, b, c thỏa mãn 0 < a ≤ b ≤ c. Chứng minh rằng: 
a
b
+
c
c
+
c
a
≥
b
a
+
c
b
+
a
c
.
Xem lời giải tại:
19. Cho các số thực a, b, c và x, y, z thỏa mãn a ≥ b ≥ c và x ≥ y ≥ z.
Chứng minh rằng: 3(ax + by + cz) ≥ (a + b + c)(x + y + z).
Xem lời giải tại:
20. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có:
| x + y − z | + | y + z − x | + | z + x − y | + | x + y + z | ≥ 2( | x | + | y | + | z | )
Xem lời giải tại:
21. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a.  |x + 2| + |3 − x| ≥ 5
b.  |x + 2| + |x − 5| ≥ 7
c.  |3x + 8| ≥ 6 − |3x + 2|
d.  |997 − x| + |999 − x| ≥ 2
Xem lời giải tại:
22. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a.  x2 + 4x + 8 > 0
b.  x2 + 3x + 3 > 0
c.  −x2 + 5x − 10 < 0
d.  −4x2 + 8x − 9 < 0
Xem lời giải tại:
23. Chứng minh rằng
a. 
a + b
2
2
≥ ab
b.  a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc
c.  a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2a + 2b + 2c
d. 
a
b
+
b
a
≥ 2 với ab > 0
Xem lời giải tại:
24. Chứng minh bất đẳng thức
a.  (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + xz)
b.  x2 1 + y2 + y2 1 + z2 + z2 1 + x2 ≥ 6xyz
Xem lời giải tại:
25. Cho a; b là hai số dương. Chứng minh
a.  (a + b) a3 + b3 ≤ 2 a4 + b4
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
b.  (a + b) a4 + b4 ≥ a2 + b2 a3 + b3
Xem lời giải tại:
26. Cho a2 + b2 ≤ 2. Chứng minh: a +  b  ≤ 2
Xem lời giải tại:
27. Cho hai số a và b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh:
a.  a2 + b2 ≥
1
2
b.  a4 + b4 ≥
1
8
Xem lời giải tại:
28. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng 1 <
a
a + b
+
b
b + c
+
c
c + a
< 2
Xem lời giải tại:
29. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh
a. 
1
a
+
1
b
+
1
c
≥ 9
b.  a2 + b2 + c2 ≥
1
3
Xem lời giải tại:
30. Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng
a.  (a + b)
1
a
+
1
b
≥ 4
( ) ( )( )
( )
b.  (a + b + c)
1
a
+
1
b
+
1
c
≥ 9
Xem lời giải tại:
31. Chứng minh rằng:
a.  A =
1
5.8
+
1
8.11
+ . . . +
1
(3n + 2)(3n + 5)
<
1
15
 với n ∈ N∗
b.  B =
1
32
+
1
52
+
1
72
+ . . . +
1
(2n + 1)2
<
1
4
Xem lời giải tại:
32. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh 
1
a + b − c
+
1
b + c − a
+
1
c + a − b
≥
1
a
+
1
b
+
1
c
Xem lời giải tại:
33. Cho x > 0; y > 0; z > 0. Chứng minh
a. 
1
x
+
1
y
−
1
z
<
1
xyz
 với x2 + y2 + z2 =
5
3
b. 
x4
y4
+
y4
x4
−
x2
y2
−
y2
x2
+
x
y
+
y
x
≥ 2
Xem lời giải tại:
34. Chứng minh rằng không có ba số dương a, b, c nào thỏa mãn cả ba bất đẳng
thức
a +
1
b
< 2; b +
1
c
< 2; c +
1
a
< 2
Xem lời giải tại:
( )
35. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2
Sn =
1
n + 1
+
1
n + 2
+
1
n + 3
+ . . . +
1
2n
>
13
24
Xem lời giải tại: