Luyện tập Hình học 8 - Bài 5: Dựng hình bằng thước và compa

Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
BÀI 5: DỰNG HèNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA 
1. Các bài toán dựng hình đã biết 
 Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước. 
 Dựng một góc bằng một góc cho trước. 
 Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước, dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho 
trước. 
 Dựng tia phân giác của một góc cho trước. 
 Qua một điểm cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước. 
 Dựng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề. 
2. Bài toán dựng hình tổng quát 
Bài toán dựng hình gồm đầy đủ 4 bước: 
Bước 1: Phân tích 
 Giả sử đã có hình thỏa mãn các điều kiện của bài toán. 
 Có thể vẽ thêm các điểm, các đường mới nhằm làm xuất hiện những yếu tố nêu trong đề bài hoặc 
làm xuất hiện những hình có thể dựng được ngay. 
 Đưa việc dựng các yếu tố còn lại của hình phải dựng về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán 
dựng hình cơ bản. 
Bước 2: Cách dựng 
 Thực hiện phép dựng hình dựa trên bước phân tích. 
Bước 3: Chứng minh 
 Đi chứng minh hình nhận được trong bước cách dựng thỏa mãn điều kiện đầu bài. 
Bước 4: Biện luận 
 Chỉ rõ trong trường hợp nào thì bài toán có nghiệm hình và có bao nhiêu nghiệm hình. 
3. Bài tập 
Bài 1: Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 5cm và 035B  . 
Giải 
Dựng hình: 
Bước 1: Dựng đoạn thẳng BC = 5cm. 
Bước 2: Dựng góc  035CBx  . 
Bước 3: Dựng đường thẳng đi qua C và vuông góc với Bx tại A. 
Chứng minh:  0 0 có: 90 , 5 , 35ABC A BC cm B    thỏa mãn đề bài. 
Bài 2: Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh BC = 4,5cm và cạnh góc vuông AC = 2cm. 
Giải 
Dựng hình: 
Bước 1: Dựng đoạn thẳng AC = 2cm. 
Bước 2: Dựng  090CAx  
Bước 3: Dựng cung tròn tâm C có bán kinh bằng 4,5cm cắt Ax tại B. 
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Bước 4: Dựng đoạn thẳng BC. 
Chứng minh:  0 có: 90 , 2 , 4,5 thỏa mãn đề bàiABC A AC cm BC cm    
Bài 3: Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết CD = 3cm, AC = 4cm,  070D  . 
Giải 
Dựng hình: 
Bước 1: Dựng đoạn thẳng CD = 3cm. 
Bước 2: Dựng góc  070CDx  
Bước 3: Dựng cung tròn tâm C bán kính bằng 4cm cắt Dx tại A. 
Bước 4: Dựng tia Ay // CD (Ay và C nằm về cùng một phía của mặt phẳng có bờ là AD) 
Bước 5: Dựng đường tròn tâm D bán kính bằng 4cm cắt Ay tại B. 
Bước 6: Dựng đoạn thẳng BC. 
Chứng minh: 
Tứ giác ABCD có: AB // CD là hình thangABCD . Lại có 4 là hình thang cânAC BD cm ABCD   
Và  070D  thỏa mãn đề bài. 
Bài 4: Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết  090D  , AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm. 
Giải 
Cách dựng: 
Bước 1: Dựng tam giác ACD có  02 , 90 , 4AD cm D CD cm   . 
Bước 2: Dựng tia Ax // CD (Ax và C cùng nằm trong một nửa mặt phẳng bờ là AD) 
Bước 3: Dựng cung tròn tâm C bán kính bằng 3cm cắt Ax tại B. 
Bước 4: Dựng đoạn thẳng BC. 
Chứng minh: 
Tứ giác ABCD có AB // CD ABCD là hình thang.  090D  , AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm thỏa mãn 
đề bài. 
Biện luận: Vì cung tròn tâm C bán kính bằng 3cm cắt Ax tại hai điểm nên ta dựng được hai hình thang 
thỏa mãn yêu cầu đề bài. 
Bài 5: Dựng tam giác ABC cân tại A, biết BC = 3cm, đường cao BH = 2,5cm. 
Giải 
Cách dựng: 
Bước 1: Dựng đoạn thẳng BH = 2,5cm. 
Bước 2: Dựng  090BHx  
Bước 3: Dựng cung tròn tâm B bán kính bằng 3cm cắt Hx tại C. 
Bước 4: Dựng đường trung trực của BC, cắt CH tại A. 
Bước 5: Dựng đoạn thẳng AB. 
Chứng minh: 
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Xét ABC có AB = AC cân tại AABC  , BH = 2,5cm, AB = 3cm, BH AC tại H nên BH là đường 
cao thảo mãn yêu cầu đề bài. 
Bài 6: Dựng tam giác ABC biết  040B  , BC = 4cm, AC = 3cm. 
Giải 
Dựng hình: 
Bước 1: Dựng đoạn thẳng BC = 4cm. 
Bước 2: Dựng góc  040 .CBx  
Bước 3: Dựng cung tròn tâm C bán kính bằng 3cm cắt Bx tại A. 
Bước 4: Dựng đoạn thẳng AC. 
Chứng minh: 
Tam giác ABC có  040B  , BC = 4cm, AC = 3cm thỏa mãn điều kiện đề bài. 
Biện luận: Vì cung tròn tâm C bán kính bằng 3cm cắt Bx tại hai điểm nên có hai tam giác thỏa mãn yêu 
cầu đề bài. 
Bài 7: Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 2,5cm, AC = 3,5cm. 
Giải 
Dựng hình: 
Bước 1: Dựng tam giác ACD khi biết ba cạnh AD = 2cm, CD = 4cm và AC = 3,5cm. 
Bước 2: Dựng tia Ax // CD (Ax và C cùng nằm trong một nửa mặt phẳng bờ là AD) 
Bước 3: Dựng cung tròn tâm C bán kính bằng 2,5cm cắt Ax tại B. 
Bước 4: Dựng đoạn thẳng BC. 
Chứng minh: Tam giác giác ABCD có AB // CD nên ABCD là hình thang. Lại có: AD = 2cm, CD = 4cm, 
BC = 2,5cm, AC = 3,5cm thỏa mãn yêu cầu đề bài. 
Biện luận: Vì cung tròn tâm C bán kính bằng 2,5cm cắt Ax tại hai điểm nên ta dựng được 2 hình thang 
thỏa mãn đề bài. 
Bài 8: Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm. 
Giải 
Dựng hình: 
Bước 1: Dựng tam giác ACD có AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm. 
Bước 2: Dựng tia Ax // CD (Ax và C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AD) 
Bước 3: Dựng cung tròn tâm D bán kính bằng 3,5cm cắt Ax tại B. 
Bước 4: Dựng đoạn thẳng BC. 
Chứng minh: 
Tứ giác ABCD có AB // CD và AC = BD = 3,5cm nên ABCD là hình thang cân. Lại có: AD = 2cm, CD = 
4cm thỏa mãn yêu cầu của đề bài. 
Bài 9: Dựng hình thang cân ABCD biết (AB // CD), biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, đường cao AH = 
2cm. 
Giải 
Phân tích: 
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Giả sử dụng được hình thang theo yêu cầu của đề bài: 
4 2
1
2 2
CD AB
DH cm
 
   . Ta có thể dựng được 
tam giác ADH biết hai cạnh và góc sen giữa. Sau đó dựng điểm C và điểm B. 
Dựng hình: 
Bước 1: Dựng tam giác ADH biết DH = 1cm,  090AHD  , AH = 2cm. 
Bước 2: Trên tia DH dựng điểm C sao cho CD = 4cm. 
Bước 3: Dựng tia Ax // CD (Ax và C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là AD) 
Bước 4: Dựng cung tròn tâm A bán kính bằng 2cm cắt Ax tại B. 
Bước 5: Dựng đoạn thẳng BC. 
Chứng minh: 
Kẻ   tại K BK // AH vì cùng vuông góc vơi CDBK CD  
AB // CD nên ABKH là hình thang. Lại có hai cạnh bên AH // BK 2 và 2AB HK cm AH BK cm     
1DH CK cm   . Xét và có:AHD CKB    02 , 90 , 1AH BK cm AHD BKC DH CK cm      
    và AHD BKC c g c D C      
Tứ giác ABCD có: AB // CD và   là hình thang cânC D ABCD  . AB = 2cm, CD = 4cm, AH = 2cm thỏa 
mãn yêu cầu của đề bài. 
Bài 10: Dựng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm,  050C  ,  070D  . 
Giải 
Phân tích: Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thỏa mãn đề bài. Qua B kẻ đường thẳng song song với 
AD cắt CD ở E. Hình thang ABED có hai cạnh bên AD // BE nên AB = DE = 2cm 2CE cm  . 
  070BEC D  (hai góc đồng vị). Dựng được tam giác BCE vì biết một cạnh và hai góc kề. Từ đó ta dựng 
được điểm D và A. 
Cách dựng: 
Bước 1: Dựng tam giác BCD biết  050C  , CE = 2cm,  070E  . 
Bước 2: Dựng điểm D trên tia CE sao cho CD = 4cm. 
Bước 3: Dựng tia Bx // CD (Bx và D cùng nằm về một phía của mặt phẳng có bờ là BE) 
Bước 4: Qua D dượng đường thẳng song song với BE cắt Bx tại A. 
Chứng minh: 
Tứ giác ABCD có AB // CD nên ABCD là hình thang.   0 050 , 70C D E   , 2AB DE cm  thỏa mãn 
yêu cầu của đề bài. 
Biện luận: Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn yêu cầu của đề bài. 
Bài 11: Dựng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 1cm, CD = 4cm, hai cạnh bên AD = 2cm, BC = 3cm. 
Giải 
Phân tích: 
Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu bài toán. Qua A kẻ AE // BC, hình thang ABCE 
có hai cạnh bên AE // BC nên AB = CE = 1cm, AE = BC = 3cm, 4 1 3DE CD CE cm     . 
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Ta có thể dựng được tam giác ADE biết ba cạnh của tam giác. Từ đó dựng được điểm B và C. 
Cách dựng: 
Bước 1: Dựng tam giác ADE biết AD = 2cm, AE = 3cm, DE = 3cm. 
Bước 2: Dựng đoạn DC trên tia DE sao cho DC = 4cm. 
Bước 3: Dựng tia Ax // DC (Ax và C cùng nằm về một phía của mặt phẳng có bờ là AD) 
Bước 4: Từ C dựng đường thẳng song song với AE cắt Ax tại B. 
Chứng minh: Tứ giác ABCD có AB // CD nên ABCD là hình thang. 
Hình thang ABCE có hai cạnh bên AE // BC nên AE = BC = 3cm. 
Hình thang ABCD có AB = 1cm, BC = 3cm, CD = 4cm, AD = 2cm thỏa mãn yêu cầu của đề bài. 
Biện luận: Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 
Bài 12: Dựng hình thang cân ABCD, biết hai đáy AB = 1cm, CD = 3cm, đường chéo BD = 3cm. 
Giải 
Phân tích: Giả sử đã dựng được hình thang cân ABCD thỏa mãn yêu cầu đề bài. Qua B kẻ đường thẳng 
song song với AC cắt DC tại E. Hình thang ABEC có hai cạnh bên AC // BE nên BE = AC = BD = 3cm. 
AB = CE = 1cm, 3 1 4DE DC CE cm     . Ta có thể dựng được tam giác BDE khi biết ba cạnh của 
tam giác. Từ đó ta có thể dựng được điểm A và C. 
Cách dựng: 
Bước 1: Dựng tam giác BDE biết BD = 3cm, BE = 3cm, DE = 4cm. 
Bước 2: Trên cạnh DE lấy điểm C sao cho DC = 3cm. 
Bước 3: Dựng tia Bx // CD (Bx và D cùng nằm về một phía mặt phẳng bờ là BC) 
Bước 4: Qua C dựng đường thẳng song song với BE cắt Bx tại A. 
Bước 5: Dựng đoạn thẳng AD và BC. 
Chứng minh: 
Tứ giác ABCD có AB // CD và AC = BD = 3cm nên ABCD là hình thang cân. 
Hình thang ABEC có hai cạnh bên AC // BE nên AB = CE =1cm. 
Hình thang cân ABCD (AB // CD) có AB = 1cm, BD = 3cm, CD = 3cm thỏa mãn yêu cầu của đề bài. 
Biện luận: Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 
Bài 13: Dựng tứ giác ABCD, biết AB = 2cm, AD = 3cm,  080A  ,  0120B  ,  0100C  . 
Giải 
Cách dựng: 
Bước 1: Dựng tam giác ABD có AD = 3cm,  080A  , AB = 2cm. 
Bước 2: Dựng  0120ABx  .(Bx và D nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB) 
Bước 3: Trên tia Bx lấy điểm C’ bất kì dựng  0' ' 100BC D  (C’D’ và D nằm trong cùng một nửa mặt phẳng 
bờ là BC) 
Bước 4: Từ D dựng đường thẳng song song với C’D’ cắt Bx tại C. 
Chứng minh: 
C’D’ // CD nên   0' ' 120BCD BC D  (hai góc đồng vị) 
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Tứ giác ABCD có AB = 2cm, AD = 3cm,  080A  ,  0120B  ,  0100C  
Bài 14: Dựng tam giác ABC biết  080B  , BC = 3cm, 5 .AB AC cm  
Giải 
Phân tích: Giả sử dựng được tam giác ABC thỏa mãn đề bài. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho 
AD = AB 5AB AC AB AD BD cm      . Dựng được tam giác BCD khi biết hai cạnh và góc xen 
giữa. Tam giác ACD cân tại A là giao điểm của đường trung trục CD và BDA . 
Cách dựng: 
Bước 1: Dựng tam giác BCD biết BC = 3cm,  050B  , BD = 5cm. 
Bước 2: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng CD cắt BD ở A. 
Bước 3: Dựng đoạn thẳng AC. 
Chứng minh: 
A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD nên AD = AC 5AB AC AB AD BD cm      . 
Tam giác ABC có BC = 3cm,  050B  , AB + AC = 5cm thỏa mãn yêu cầu đề bài. 
Biện luận: Ta luôn dựng được một tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài.