Toán học - Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

CHUYÊN ĐỀ: 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
TG: TH.S ĐẶNG VĂN THI 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
	1. Tọa độ véc tơ, tọa độ điểm trong không gian
1.1 Định nghĩa
	1.1.1 Hệ trục tọa độ Oxyz
	Hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz từng đôi một vuông góc với nhau. Điểm Olà gốc tọa độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao. Các vectơ đơn vị
 = (1; 0; 0), , .
	1.1.2 Tọa độ vectơ
	. 	Ví dụ : nếu thì .
	1.1.3 Tọa độ điểm 
	Ví dụ : nếu thì .
1.2 Tính chất tọa độ véc tơ, tọa độ điểm
Cho , ; 
· và cùng phương điều kiện là (với quy ước : mẫu bằng 0 thì tử tương ứng cũng bằng 0).
Hoặc : và cùng phương 
Ví dụ : và cùng phương điều kiện là 
· 
· Điều kiện ba véc tơ đồng phẳng là .
 có trung điểm :
 có trọng tâm :
Tứ diện có trọng tâm :
Diện tích tam giác :
Thể tích tứ diện :
Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: 
2. Phương trình mặt cầu, đường thẳng, mặt phẳng
2.1 Mặt cầu
2.1.1 Phương trình mặt cầu (S) có tâm và bán kính R (R>0) là 
2.1.2 Phương trình dạng khác của mặt cầu (S)
Khi đó, (S) có tâm và bán kính .
2.2 Mặt phẳng 
2.2.1 Phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm và có vectơ pháp tuyến có dạng là: 
2.2.2 Dạng khác của phương trình mặt phẳng (S) 
, 
Khi đó, là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
2.2.3 Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm thuộc các trục tọa độ với : 
2.3 Đường thẳng
Đường thẳng đi qua và có VTCP .
Dạng 1. Phương trình tham số của là :
Dạng 2. Phương trình chính tắc của là : 
3. Các vấn đề liên quan
3.1 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho và 
· 
· 
· () cắt () Khi và chỉ khi hai trong ba tỷ số là khác nhau.
· Đặc biệt, (Hai VTPT vuông góc nhau)
3.2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét đường thẳng đi qua và có VTCP , đường thẳng đi qua và có VTCP .
Ta có các trường hợp về vị trí tương đối của và như sau
TH1: .
TH2: .
TH3: .
TH4: và chéo nhau khi và chỉ khi .
TH5: vuông góc khi và chỉ khi .
3.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng (P).
Cho : và Thế các biến số x, y ,z từ (1) vào (2) ta được phương trình 
+ Nếu (3) vô số nghiệm thì .
+ Nếu (3) có 1 nghiệm thì .
+ Nếu (3) vô nghiệm thì .
+ Nếu có tỉ lệ thì vuông góc với (P).
3.4 Vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P).
Giả sử mặt cầu (S) có tâm là I, bán kính R ta xác định vị trí trương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) thông qua khoảng cách từ I đến (P). 
+ Nếu thì mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P).
+ Nếu thì mặt cầu (S) không cắt mặt phẳng (P).
+ Nếu thì mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C).
3.5 Vị trí tương đối của mặt cầu (S) và đường thẳng 
Cho : 
(S): 
Thế các biến số x, y ,z từ (1) vào (2) ta được phương trình 
+ Nếu (3) có 2 nghiệm thì cắt (S) tại 2 điểm.
+ Nếu (3) có 1 nghiệm kép thì tiếp xúc (S) tại 1 điểm.
+ Nếu (3) vô nghiệm thì không cắt (S).
3.6 Khoảng cách
3.2.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 
3.2.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng có VTCP và 
Cách 1(phổ biến): 
Cách 2: Tìm H là hình chiếu vuông góc của M lên khi đó 
3.2.3 Khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng (P).
Cách tìm 
3.2.4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho có và có ta có các cách tìm như sau:
Cách 1: 
Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và song song với . Khi đó,
.
Cách 3: Tìm đoạn vuông góc chung của và . 
Gọi d là đường vuông góc chung của và , A là giao điểm của d với , B là giao điểm của d với . Từ đó, ta có tọa độ của A và B theo tham số tương ứng t và t’. Mặt khác, 
	 giải hệ này ta tìm được t và t’. 
Vậy, .
II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Các dạng toán liên quan đến mặt cầu 
Dạng 1. Mặt cầu (S) có tâm I và đi qua A
Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R = IA, từ đó ta viết được phương trình tổng quát.
Dạng 2. Mặt cầu (S) có đường kính AB.
Mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm của AB và bán kính , từ đó ta viết được phương trình của (S).
Dạng 3. Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
+ Viết phương trình tổng quát của (S) : (1)
+ Tọa độ các điểm A, B, C, D thỏa mãn phương trình (1).
+ Thay tọa độ của 4 điểm này vào phương trình (1) ta được hệ bốn ẩn.
+ Khử D từ hệ đó ta được hệ 3 ẩn. Dùng máy tính ta giải được hệ này.
Dạng 4. Mặt cầu (S) đi qua 2 điểm A, B và có tâm nằm trên đường thẳng ∆:
+ Gọi (S) có tâm I, ta có
(S) : (1)
+ Thay tọa độ của A, B vào (1) ta được hệ 2 ẩn theo và 
Dạng 5. Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R = d(I,(P)), từ đó ta có phương trình (S).
Dạng 6. Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng .
Dựng mp (P) đi qua I và vuông góc với .
Tìm , bán kính R = IH, từ đó ta có phương trình (S).
2. Các dạng toán liên quan đến mặt phẳng
Dạng 1: Mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C.
 (a) đi qua A và có VTPT là .
Dạng 2: Mặt phẳng (a) đi qua 2 điểm A, B và (a) song song với đường thẳng ∆.
(a) đi qua A và có VTPT là , là VTCP của ∆.
Dạng 3: Mặt phẳng (a) đi qua 2 điểm A, B và (a) vuông góc mặt phẳng (b).
(a) đi qua A và có VTPT là , là VTPT của (b).
Dạng 4: Mặt phẳng (a) đi qua điểm A và (a) vuông góc với đường thẳng ∆.
(a) đi qua A và có VTPT là , là VTCP của ∆.
Dạng 5: Mặt phẳng (a) đi qua điểm A và (a) song song với mặt phẳng (b).
(a) đi qua A và có VTPT là , là VTPT của (b).
Dạng 6: Mặt phẳng (a) đi qua điểm A và (a) song song với hai đường thẳng ∆, d.
(a) đi qua A và có VTPT là , là VTCP của ∆ và d. 
Dạng 7: Mặt phẳng (a) chứa hai đường thẳng ∆ và d song song nhau
Chọn điểm A Î ∆ và điểm B Î d, (a) đi qua A và có VTPT là , là VTCP của ∆.
Dạng 8: Mặt phẳng (a) chứa hai đường thẳng ∆ và d cắt nhau .
Chọn điểm A Î ∆, (a) đi qua A và có VTPT là .
Dạng 9: Mặt phẳng (a) chứa đường thẳng ∆ và (a) song song với đường thẳng d (∆ và d chéo nhau).
Chọn điểm A Î ∆, (a) đi qua A và có VTPT là .
3. Các dạng toán liên quan đến đường thẳng
Dạng 1: Đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm A, B
	∆ đi qua điểm A và có VTCP là .
Dạng 2: Đường thẳng ∆ đi qua điểm và ∆ vuông góc với mặt phẳng (a)
	∆ đi qua điểm và có VTCP là .
Dạng 3: Đường thẳng ∆ đi qua điểm và ∆ song song với đường thẳng d
	∆ đi qua điểm và có VTCP là 
Dạng 4: Đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng và ( và cắt hoặc chéo nhau).
 Đường thẳng ∆ đi qua M và có vectơ chỉ phương là , với là vectơ chỉ phương của , là vectơ chỉ phương của .
Dạng 5: Đường thẳng ∆ đi qua điểm M, vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P)
Đường thẳng ∆ đi qua M và có vectơ chỉ phương là , với là vectơ chỉ phương của d, là vectơ pháp tuyến của (P).
Dạng 6: Đường thẳng ∆ đi qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d tại điểm A.
Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số t , điểm A thuộc d nên ta có thể viết tọa độ A theo t , tìm . Vì ∆ song song với mặt phẳng (P) nên , ta tìm được tọa độ A. Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và M.
Dạng 7: Đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d tại điểm A.
Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số t , điểm A thuộc d nên ta có thể viết tọa độ A theo t , tìm . Vì ∆ vuông góc với d nên (là vectơ chỉ phương của d), ta tìm được tọa độ A. Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và M.
Dạng 8: Đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt hai đường thẳng và lần lượt tại hai điểm A, B.
Viết phương trình đường thẳng và dạng tham số t , hai điểm A, B lần lượt thuộc và nên ta có thể viết tọa độ A, B theo t . Vì A, B và M thẳng hàng nên ta tìm được t. Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A (hoặc B) và M.
Dạng 9: Đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng và .
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của ∆ với và . Viết phương trình đường thẳng và dạng tham số t và t’ , hai điểm A, B lần lượt thuộc và nên ta có thể viết tọa độ A, B theo t và t’ . Gọi và lần lượt là vectơ chỉ phương của và . Ta có . Từ đây, ta tìm t và t’, bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng ∆ là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P).
Cho hai điểm A, B thuộc đường thẳng d, viết phương trình đường thẳng và lần lượt đi qua A, B và vuông góc với (P). Gọi A’, B’ lần lượt là giao điểm củavà với (P). Phương trình ∆ chính là phương trình đường thẳng A’B’.
Dạng 11: Viết phương trình đường thẳng ∆ thuộc mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng và .
Tìm giao điểm của và với (P), gọi hai điểm này là A và B. Vậy đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB.
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Bài tập liên quan đến mặt cầu
1.1 Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0), B( 0;2;0) và C(0;-1;3)
Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
Tính chu vi và tính diện tích tam giác.
Tìm toạ độ trọng âm của tam giác.
Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành, tìm tâm hình bình hành đó.
Tìm toạ độ điểm E sao cho .
Tìm toạ độ điểm M thuộc Ox sao cho tam giác MAB vuông tại A.
Tìm toạ độ điểm N thuộc Oy sao cho tam giác NBC cân tại N.
Tính cosA, cosB.
1.2 Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
1) Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm , , , 
2) Mặt cầu (S) có đường kính AB biết , 
3) Mặt cầu (S) đi qua 2 điểm , và có tâm nằm trên đường thẳng 
4) Mặt cầu (S) có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng 
2. Bài tập liên quan đến mặt phẳng
 Trong không gian (Oxyz) viết phương trình mặt phẳng (a) biết:
2.1 (a) đi qua 3 điểm , , 
2.2 (a) đi qua 2 điểm ,và (a) song song với đường thẳng 
2.3 (a) đi qua 2 điểm , và (a) vuông góc mặt phẳng 
2.4 (a) đi qua 1 điểm và (a) vuông góc với đường thẳng 
2.5 (a) đi qua 1 điểm và (a) song song với mặt phẳng 
2.6 (a) đi qua điểm và (a) song song với hai đường thẳng và 
2.7 phẳng (a) chứa hai đường thẳng và d song song nhau
2.8 (a) chứa hai đường thẳng và cắt nhau 
2.9 (a) chứa đường thẳng và (a) song song với đường thẳng (∆ và d chéo nhau)
3. Bài tập liên quan đến đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng ∆ biết:
3.1 Đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm , 
3.2 Đường thẳng ∆ đi qua điểm và ∆ vuông góc với mặt phẳng 
3.3 Đường thẳng ∆ đi qua điểm và ∆ song song với đường thẳng 
3.4 Đường thẳng ∆ đi qua điểm và ∆ vuông góc với hai đường thẳng và với và .
3.5 Đường thẳng ∆ đi qua điểm , ∆ vuông góc và song song với mặt phẳng .
3.6 Đường thẳng ∆ đi qua điểm , song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d với và .
3.7 Đường thẳng ∆ đi qua điểm , cắt và vuông góc với đường thẳng .
3.8 Đường thẳng ∆ đi qua điểm , cắt hai đường thẳng và với và .
3.9 Đường thẳng ∆ thuộc mặt phẳng (P), cắt hai đường thẳng và với , và 
4. Bài tập tổng hợp
4.1 Cho phương trình đường thẳng d: 
a) Hãy tìm 1 vectơ chỉ phương của d ?
b) Xác định các điểm thuộc d ứng với t = 1, t = – 2 ?
c) Điểm nào sau đây thuộc d: A(1;1;2); B(3;0;-4)
d) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(1;0;1) và song song với d
4.2 Trong (Oxyz) cho 
a) Hãy tìm các hình chiếu của M lên các trục tọa độ
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu đó
4.3 Trong Oxyz cho tứ diên ABCD với :A(-3;0;2);B(2;0;0);C(4;-6;4); D(1;-2;0)
a) Viết phương trình chính tắc đường thẳng qua A song song với cạnh BC?
b) Viết phương trình tham số đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh C?
c) Tìm toạ độ hình chiếu H của C lên (ABD)
4.4 Cho 2 đường thẳng d: ; d: 
Viết phương trình chính tắc của d3 đi qua M (0;1;1) và vuông góc với d1 và d2 
4.5 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(0; – 1;0), B(1;0;1), C(– 2;1;2), D(1;4;– 3).
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện.
b) Tính đường cao của tứ diện xuất phát từ C.
c) Tính các góc của các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD. 
d) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.
4.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z – 1 = 0.
a) Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).
4.7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1 ; 2 ; 3) và đường thẳng d có phương trình : .
a) Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên d.
b) Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.
4.8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt phẳng (P) : 
a) Chứng minh rằng d cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A .
b) Viết phương trình đường thẳng () đi qua A, nằm trong (P),vuông góc với d .
4.9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) và hai mặt phẳng 
 (P) : và (Q) : .
 a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) .
 b) Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến d của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (T) : . 
4.10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt phẳng (P) : .
 a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) .
 b. Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng d lên mp(P).
4.11 (Đề thi minh họa 2015) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0) và B(1; 1; 1). Viếtphương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P).
4.12 (Đề thi TN.THPT Quốc gia 2015) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho các điểm A (1;-2;1), B(2;1;3) và  mặt phẳng (P) x−y+2z−3=0. Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng  AB với mặt phẳng (P).