Giáo án Hình học 10 nâng cao - Chương 3, Bài 6: Đường Hypebol - Trường THPT Dương Đình Nghệ

1. Lý thuyết đường hypebol.
1.1. Định nghĩa.
Cho hai điểm cố định và có khoảng cách (c>0). Đường hypebol là đường tập hợp những điểm M sao cho , trong đó a là số dương cho trước nhỏ hơn c.
Hai điểm và gọi là các tiêu điểm của hypebol. 
Khoảng cách gọi là tiêu cự của hypebol. 
1.2. Phương trình chính tắc của hypebol. 
.
.
F1
F2
x
y
O
.
M(x,y)
- Chọn hệ trục tọa độ xOy sao cho:
+ Gốc tọa độ O là trung điểm của 
+ Trục Ox trùng với 
+ Trục Oy là trung trực của 
- Tọa độ của hai tiêu điểm F1(-c, 0) và F2(c, 0) 
- Điểm M(x,y) thoả mãn điều kiện thì thoả mãn phương trình
(1)
trong đó 
Phương trình (1) là phương trình chính tắc của đường hypebol.
2. Phương trình hypebol cho hệ thống vân giao thoa sóng cơ học.
2.1. Hình ảnh vân giao thoa.
Trong thí nghiệm hiện tượng giao thoa sóng nước trình bày ở bài 8 “ Giao thoa sóng” (SGK vật lý lớp 12-Nhà xuất bản Giáo dục), khi cho cần rung hoạt động thì hai sóng nước được hình thành tại hai mũi nhọn S1 và S2. Kết quả trên mặt nước xuất hiện một loạt gợn sóng ổn định có hình dạng các đường hypebol nhận S1 và S2 là hai tiêu điểm. Hiện tượng hai sóng gặp nhau tạo nên các gợn sóng ổn định gọi là hiện tượng giao thoa của hai sóng.
Những điểm tại đó dao động có biên độ cực đại là những điểm mà hiệu đường đi của hai sóng từ nguồn truyền tới bằng một số nguyên lần bước sóng ( với ). Quỹ tích những điểm này là những đường hypebol (nét liền) có hai tiêu điểm là S1 và S2, chúng được gọi là những vân giao thoa cực đại.
Những điểm tại đó dao động triệt tiêu là những điểm mà hiệu đường đi của hai sóng từ nguồn truyền tới bằng một số nửa nguyên lần bước sóng ( với ). Quỹ tích những điểm này là những đường hypebol (nét đứt) có hai tiêu điểm là S1 và S2, chúng được gọi là những vân giao thoa cực tiểu.
S1
S2
(Hình ảnh vân giao thoa)
2.2. Phương trình hypebol cho hệ thống vân giao thoa
.
.
S1
S2
x
y
O
.
M(x,y)
Chọn hệ trục tọa độ xOy sao cho:
+ Gốc tọa độ O là trung điểm của S1S2
+ Trục Ox trùng với S1S2 
+ Trục Oy là trung trực của S1S2
a. Đối với vân giao thoa cực đại.
Nếu M(x,y) là điểm cực đại giao thoa, khi đó:
(2)
(3)
Theo định nghĩa đường hypebol 
Kết hợp (2) và (3) ta có:
(4)
 với 
Chú ý : Ta không xét giá trị k=0 vì a>0. Nghĩa là ta không xét đường cực đại trung tâm ( trùng với trung trực của S1S2)
Gọi là khoảng cách giữa hai nguồn sóng , là bước sóng. Khi đó tọa độ của hai tiêu điểm và lần lượt là () và (). Theo định nghĩa đường hypebol , do đó :
(5)
Kết hợp (4) và (5) ta được :
Thay giá trị của a2 và b2 vào phương trình chính tắc (1) của hypebol ta thu được :
Hay :
(6)
Phương trình (6) là phương trình hypebol viết cho vân giao thoa cực đại ứng với các giá trị của 
b. Đối với vân giao thoa cực tiểu.
Nếu M(x,y) là điểm cực tiểu giao thoa, khi đó:
(7)
(8)
Theo định nghĩa đường hypebol 
Kết hợp (7) và (8) ta được:
(9)
 với 
Kết hợp (5) và (9) ta được :
Thay giá trị của a2 và b2 vào phương trình chính tắc (1) của hypebol ta thu được :
Hay :
(10)
Phương trình (10) là phương trình hypebol viết cho vân giao thoa cực tiểu ứng với các giá trị của 
Như vậy, phương trình (6) và (10) là phương trình hypebol viết cho hệ thống vân giao thoa cực đại và cực tiểu trong hiện tượng giao thoa sóng của hai nguồn sóng dao động cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và cùng pha nhau. 
Chú ý : Nếu trường hợp hai nguồn sóng tại và là hai nguồn sóng dao động cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ nhưng ngược pha nhau thì khi đó phương trình (6) là phương trình hypebol viết cho vân giao thoa cực tiểu (không tính vân cực tiểu trung tâm), còn phương trình (10) là phương trình hypebol viết cho vân giao thoa cực đại.
3. Một số bài toán vận dụng.
Việc vận dụng phương trình (6) hoặc (10) để giải một số bài toán giao thoa trong việc tìm khoảng cách sẽ trở nên nhanh chóng và thuận lợi hơn nhiều khi dùng các hệ thức lượng trong tam giác. Dưới đây là một số bài toán cụ thể :
Bài toán 1 : Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp tại và cách nhau khoảng dao động cùng biên độ, cùng pha nhau. Sóng do mỗi nguồn phát ra có bước sóng . M là điểm nằm trên đường cực đại ứng với cách trung trực của đoạn 3,21cm. Xác định khoảng cách từ M đến .
Bài giải :
.
.
S1
S2
x
y
O
.
M(x,y)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ O trùng với trung điểm của S1S2. Tọa độ của điểm M(; y)
Vì M(x ; y) là điểm cực đại, thay giá trị của L, , k, x, y vào phương trình (6) ta được :
Suy ra : 
Vậy : Điểm M cách S1S2 đoạn 1cm.
Bài toán 2 : Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp tại S1 và S2 cách nhau khoảng dao động cùng biên độ, cùng pha nhau. Biết tốc độ truyền sóng là , tần số sóng là . Qua S2 dựng đường thẳng aa’ vuông góc với S1S2.
a) Điểm cực đại trên aa’ cách S1S2 đoạn nhỏ nhất là bao nhiêu ?
b) Điểm cực tiểu trên aa’ cách S1S2 đoạn lớn nhất là bao nhiêu ?
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ O trùng với trung điểm của S1S2. 
a) Giá trị của bước sóng là 
x
.
.
S1
S2
y
O
.
M(x,y)
a
a’
Số đường cực đại trên S1S2 là số giá trị k nguyên thoả mãn
Do đó : 
Điểm cực đại trên aa’ cách S1S2 đoạn nhỏ nhất là điểm M(x , y) nằm trên đường cực đại ngoài cùng ứng với như hình vẽ.
Xét điểm M có tọa độ (,). Áp dụng phương trình (6) ta có :
Vậy : Điểm cực đại M trên aa’ cách S1S2 đoạn nhỏ nhất là MS2=1,125cm.
.
.
S1
S2
y
O
.
M(x, y)
a
a’
x
b) Điểm cực tiểu trên aa’ cách S1S2 đoạn lớn nhất là điểm M nằm trên đường cực tiểu ứng với như hình vẽ.
Thay tọa độ của M(,) vào phương trình (10) ta được :
Vậy : Điểm cực tiểu M trên aa’ cách S1S2 đoạn lớn nhất là MS2=12cm.
Bài toán 3 : Trong hiện tượng giao thoa sóng nước của hai nguồn sóng tại S1 và S2 cách nhau đoạn dao động cùng biên độ, cùng pha nhau. Sóng do mỗi nguồn phát ra có bước sóng . M là điểm cực đại nằm trên đường thẳng aa’ song song với S1S2 cách S1S2 đoạn 1cm. Xác định khoảng cách lớn nhất từ M đến trung trực của S1S2. 
x
.
.
S1
S2
y
O
.
M(x,y)
a
a’
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ O trùng với trung điểm của S1S2
Số đường cực đại trên S1S2 là số giá trị k nguyên thoả mãn điều kiện :
Do đó : 
Điểm cực đại trên aa’ cách trung trực của S1S2 đoạn lớn nhất là điểm M nằm trên đường cực đại ngoài cùng ứng với như hình vẽ.
Xét điểm M có tọa độ (x, y =1cm). Áp dụng phương trình (6) ta có :
Vậy : Điểm cực đại M trên aa’ cách trung trực của S1S2 đoạn lớn nhất là 4,95cm.
Bài toán 4: Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp tại S1 và S2 cách nhau khoảng dao động cùng biên độ, ngược pha nhau. Sóng do mỗi nguồn phát ra có tần số 10Hz, tốc độ truyền sóng 30cm/s. M là điểm nằm trên đường cực đại ứng với sao cho hình chiếu của nó lên S1S2 cách S1 đoạn 0,5cm. Xác định khoảng cách nhỏ nhất từ M đến S2.
Bài giải
.
.
S1
S2
x
y
O
.
M1(x,y)
H1
M2
.
H2
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ O trùng với trung điểm của S1S2.
Gọi M1 và M2 là hai điểm trên đường cực đại ứng với có hình chiếu lần lượt là H1 và H2 cách S1 đoạn 0,5cm như hình vẽ. Ta thấy khoảng cách nhỏ nhất cần tìm là khoảng cách từ M1 đến S2.
Giá trị của bước sóng là 
Xét điểm M1 có tọa độ . Áp dụng phương trình ( 10) ta có :
Khoảng cách từ M1 đến S2 là :
Vậy : Khoảng cách nhỏ nhất cần tìm là 9,75cm.
Bài toán 5 : Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp tại S1 và S2 cách nhau khoảng dao động cùng biên độ, ngược pha nhau. Sóng do mỗi nguồn phát ra có bước sóng . Gọi O là trung điểm của S1S2, M là điểm cực đại nằm trên đường tròn tâm O đường kính S1S2 gần trung trực của S1S2 nhất. Xác định khoảng cách từ M đến S1S2 và trung trực của S1S2.
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ O trùng với trung điểm của S1S2.
Điểm cực đại trên đường tròn tâm O đường kính S1S2 gần trung trực của S1S2 nhất là điểm M nằm trên đường cực đại ứng với như hình vẽ.
Vì M(x, y) thuộc đường tròn tâm O bán kính nên:
.
.
S1
S2
x
y
O
.
M(x,y)
Vì M(x, y) thuộc đường hypebol ứng với nên từ phương trình (10) ta có:
Giải hệ phương trình (*) và (**) ta được :
Vậy : Khoảng cách từ M đến S1S2 và đến trung trực của S1S2 lần lượt là 4,95cm và 0,71cm.
Bài toán 6 : Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp tại S1 và S2 cách nhau khoảng dao động cùng biên độ, ngược pha nhau. Sóng do mỗi nguồn phát ra có bước sóng . Gọi O là trung điểm của S1S2. Điểm cực tiểu thuộc đường tròn đường kính OS2 cách O đoạn lớn nhất bao nhiêu ?
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ O trùng với trung điểm của S1S2.
.
.
S1
S2
O
.
M(x,y)
x
.
I
y
Ta thấy . Do đó điểm cực tiểu thuộc đường tròn đường kính OS2 cách O đoạn lớn nhất là điểm M(x,y) trên đường cực tiểu ngoài cùng ứng với như hình vẽ.
Tọa độ tâm I của đường tròn là:
	Vì M(x,y) thuộc đường tròn tâm I, bán kính nên ta có:
Vì M(x,y) thuộc đường cực tiểu ứng với nên áp dụng phương trình (6) ta có:
Từ (*) và (**) ta được : 
Khoảng cách lớn nhất cần tìm là : 
	Nhận xét: Trên đây là các bài toán áp dụng phương trình hypebol để tìm khoảng cách. Trong đó bài toán 1,2,3 là các bài toán xét cho trường hợp hai nguồn dao động cùng pha, bài toán 4,5,6 là các bài toán xét cho trường hợp hai nguồn dao động ngược pha. Qua đây, tôi xin tổng kết lại các bước chính để giải dạng toán này như sau:
Bước 1: Xác định giá trị k của điểm cực đại hoặc cực tiểu cần khảo sát. 
Bước 2: Vận dụng phương trình (6) hoặc (10) tìm được tọa độ của điểm cực đại hoặc cực tiểu đó, có thể kết hợp thêm với phương trình đường tròn, elípnếu cần thiết.
Bước 3: Xác định khoảng cách cần tìm theo tọa độ x hoặc y mà bài toán yêu cầu.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa ‘HÌNH HỌC 10’ - Tác giả Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khê, Bùi Văn Nghị - Nhà xuất bản Giáo dục.
2. Sách giáo khoa ‘VẬT LÝ 12’- Tác giả Lương Duyên Bình, Vũ Quang, Nguyễn Thượng Chung, Tô Giang, Trần Chí Minh, Ngô Quốc Quýnh - Nhà xuất bản giáo dục.
3. Cẩm nang luyện thi đại học môn vật lý- Tác giả Nguyễn Anh Vinh.
4. Phương pháp giải bài tập cơ học, dao động và sóng điện từ, nhiệt học - Tác giả Phạm Văn Thiều-Đoàn Ngọc Căn.
5. Tuyển tập các đề thi vào ĐH-CĐ của các năm 2007; 2008; 2009; 2010; 2011; 2012.