Đề thi olympic lớp 8 năm học 2014 - 2015 môn: Toán

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC
ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có: 01 trang
Câu I (6 điểm ) 
 1. Giải phương trình :
 a) (x+2)(x+4) (x+6)(x+12) =165x2
 b) + + = 
 2 .Giải bất phương trình :
Câu II ( 5 điểm ) 
Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 24, f(x) chia cho được thương là và còn dư. 
Tìm x,y nguyên thỏa mãn: 
 2xy + x +y = 83
 Câu III ( 2 điểm ) 
 Cho x = 11115 ; y = 11119 
 n chữ số 1 n chữ số 1 
Chứng minh rằng xy +4 là số chính phương .
 Câu IV ( 7 điểm ) 
 Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng .
c, Biết SAOB= 20142 (đơn vị diện tích); SCOD= 20152 (đơn vị diện tích). 
 Tính SABCD.
 ********************* - Hết -*****************************
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC 
HD CHẤM THI OLYMPIC LỚP 8
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN 8
 Thời gian làm bài:120 phút
Câu
Nội dung
Điểm
 Câu I
 (6điểm ) 
1. Giải phương trình :
a) (x+2)(x+4) (x+6)(x+12) =165x2 (1)
 ó (x+2)(x+12) (x+ 4) (x+6)=165x2
(x2+14x+24)(x2+10x+24) -165x2 = 0 
Đặt x2+10x+24 = a (2) ta có : 
 Phương trình (1) trở thành :
 (a +4x).a - 165x2 = 0 
 ó ( a2+ 4ax + 4x2 )- 169x2 = 0 
 ó ( a + 2x)2 - (13x)2 = 0 
 ó ( a - 11x) (a+ 15x) = 0
 ó a -11x = 0 ó a = 11x
 a+ 15x = 0 a = -15x
+ Với a =11x thay vào (2) ta có :
 x2+10x+24 = a =11x óx2 +10x+24 -11x = 0 
 ó x2 - x+24 = 0
 Ta có : x2 - x+ 24 = (x2 - x + )+23 = ( x - )2 +23 
Vì ( x - )2 ³ 0 " x =>( x - )2 +23 ³ 23 > 0 " x 
 Vậy phương trình x2 - x+24 = 0 vô nghiệm .
 + Với a = -15x thay vào (2) ta có :
 x2+10x+24 = a = - 15x óx2 +10x +24 +15x = 0 
 ó x2 +25 x+24 = 0
 ó( x +1) (x +24) = 0 ó x = -1 hoặc x = -24 
 Vậy phương trình có tập nghiệm là : S = { -1 ; -24}
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b) x2+3x+2 =(x+1)(x+2) ;
 x2+5x+6 =(x+2)(x+3) ;
 x2+7x+12 =(x+3)(x+4) ;	 0,5
 §KX§ : 	 0,5
 + + = 
Ph­¬ng tr×nh trë thµnh : 
 ó
ó 
= 3.36 = 108
 ó x2+5x-104 = 0 
 ó (x+13)(x-8)= 0
Từ đó ta tìm được tập nghiệm của phương trình là : 
S = { -13 ;8} 
 0,25đ
 0,5đ
0,25đ
0,75đ
0,25đ
 2 .Giải bất phương trình :
ó
ó
ó( x +2954)
Vì => x +2954 > 0 => x > -2954
Tập nghiệm của bất phương trình là : { x/ x > -2954} 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu II 
(5 điểm ) 
1 .Giả sử f(x) chia cho được thương là và còn dư là .
Khi đó: 
Xét các giá trị riêng của x sao cho x2 – 4 = 0 
(x – 2 )( x + 2) = 0
 x = 2 hoặc x = - 2
 Với x =2 f(2) = 2a +b 
 Với x = - 2 f(- 2) = - 2a + b
Theo đề bài, ta có:
Do đó: 
Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 
2.Tìm x,y nguyên thỏa mãn: 
 2xy + x +y = 83
Do x,y nguyên Ư(167)
Lập bảng tìm được các cặp giá trị của (x;y)
Kết luận (x,y)=(0;83);(-1;-84);(83;0);(-84;-1)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25 đ
0,5đ
 0,5đ
 0,5đ
 0,75đ 
 0,25 đ
Câu III 
(2 điểm )
Ta có : y = 11119 = 11115 + 4 = x + 4
 n chữ số 1 n chữ số 1 
Do đó : xy + 4 = x (x +4) +4 = x2 + 4x + 4 =(x +2 )2
 = (11115 +2)2 = 111172
 n chữ số 1 
Vậy với giá trị của x;y đã cho thì xy+4 là số chính
phương 
 0,5đ
0,5đ
0,5đ
 0,5đ
Câu IV 
(7 điểm )
0,5đ
a/ Lập luận để có , 
1đ
 Lập luận để có 
0,5đ
 OM = ON
0,5đ
b/ Xét để có (1), 
xét để có (2)
Cộng hai vế của (1) và (2) OM.()
 0,25đ
 0,25đ
 0,5đ
Chứng minh tương tự ON. 
0,75đ
Từ đó có (OM + ON). 
0,5đ
c/ , 
0,75đ
Chứng minh được 
0,5đ
Thay số để có 20142.20152 = (SAOD)2 SAOD = 2014.2015
0,5đ
Do đó SABCD= 20142 + 2.2014.2015 + 20152 
 = (2014 + 2015)2 = 40192 (đơn vị DT)
0,5đ
 Tân Ước, ngày 10 tháng 01 năm 2015
Xác nhận của tổ KHTN	 Người thực hiện
	 Vũ Thị Liêm
Xác nhận của Ban giám hiệu