Đề thi học sinh giỏi thị xã môn Toán Lớp 9 - Đề 01+02 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Hồng Lĩnh (Có đáp án)

PHÒNG GD-ĐT HỒNG LĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang. Đề số: 01
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9
NĂM HỌC: 2017 - 2018
PHẦN THI CÁ NHÂN 
Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút

I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) (Mỗi câu đúng 0,5 điểm)
Câu 1: Tính giá trị biểu thức 
Câu 2: Tìm a, b biết: 
Câu 3. Có 6 đôi giày màu trắng và 13 đôi giày màu đen bỏ chung trong một cái hộp. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà không nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đôi cùng màu và đi được.
Câu 4. Cho a là số nguyên, biết a chi hết cho 2 nhưng không chia hết cho 3. Tìm dạng chung của a. 
Câu 5. Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 2017 với S(n) là tổng các chữ số của n.
Câu 6. Giải phương trình , biết rằng căn bậc 3 của một số a là số x sao cho 
Câu 7. Tìm x và y biết: và 
Câu 8. Tìm các số tự nhiên x, y biết 
Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC. Biết AB = 4cm; AC = 5cm và AM = cm. Tính diện tích . 
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH = 4cm; AC = 6cm. Tính BC.
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11. (7, 0 điểm)
a) Cho P = với . Rút gọn biểu thức P và tìm x để là số nguyên
b) Biết là một nghiệm của đa thức P(x) =. Tìm nghiệm còn lại của P(x), biết b và c là các số hữu tỷ.
c) Cho x, y là các số thực dương 0 thỏa mãn . Chứng minh 
Câu 12. (4,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại, đường cao AH, trung tuyến AD.
a) Tính AC, HB, HC, AH, biết BC = 25cm, AB = 15cm.
b) Quan H kẻ đường thẳng song song với AD đường thẳng này cắt AC tại I và cắt đường thẳng AB tại K. Chứng AK.AC = AB.AI và HI + HK = 2.AD.
c) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh 
Câu 13. (4,0 điểm).
Tìm x, y biết: . 
Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 
--------- HẾT---------
Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......................................................................... Số báo danh:.............................
Hướng dẫn chấm (Đề: 01)

Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải.
 - Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.
Câu 
Đáp án
Điểm
Câu 1
Đáp số: = 665
0.5
Câu 2
Đáp số: (a;b) = ( ), (2;3) 
0.5
Câu 3
Đáp số: 20.
0.5
Câu 4
Đáp số: a = 6k+2 hoặc 6k+4 (k là số nguyên)
0.5
Câu 5
Đáp số: 1994; 2012
0.5
Câu 6
Đáp số: 
Cách giải: Đặt ẩn phụ
0.5
Câu 7
Đáp số: (x,y)=(3;1);(1;3);(-1,-3);(-3,-1)
0.5
Câu 8
Đáp số: (x,y)=(5,0);(1,3).
0.5
Câu 9
Đáp số: . 
0.5
Câu 10
Đáp số: BC = (cm)
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
0.5
Câu 11
a)Ta có: P = 
Khi đó . Để Q là số nguyên khi và chỉ khi là số nguyên là số nguyên 
Vậy để Q là số nguyên thì với n là số nguyên dương tùy ý.

2,0
0,5
0,5

b) Vì là một nghiệm của đa thức P(x) = nên 
. 
Nếu 
Do b, c là các số hữu tỷ nên là số hữu tỷ, do đó cũng là số hữu tỷ, điều này mâu thuẫn vì là số vô tỷ. Vậy 
Khi đó phương trình đã cho trở thành 
Vậy nghiệm còn lại của P(x) là 

0,5
0,5
0,5
0,5
c) Từ . Ta có 

0,5
1,5
Câu 12

a) Theo hệ thức lượng ta suy ra: 
+ 
+ ; 
+ 

1,0
b) Vì tam giác ABC vuông tại A, AD là trung tuyến nên
 CD = DB = AD, suy ra và .
Vì KH//AD nên , do đó , từ đây suy ra tam giác vuông ABC đồng dạng với tam giác vuông AKI (g-g)
Vì tam giác ABC vuông tại A, AD là trung tuyến nên 2AD = BC
Vì nên tam giác HBK cân tại H 
Do HI//AD .
Do đó 
0,50
0,50
0,50
0,50

c) Ta có 
Ta sẽ chứng minh .
Thật vậy: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
;
Chứng minh tương tự ta cũng có: 
Do đó (đpcm)

0,50
0,50
Câu 13
a) Ta có: điều kiện . Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
Dấu “=” xảy ra: 
0,25
1,50
0,25
b) Ta có: điều kiện , từ 
suy ra 
Do đó nếu thì , tương tự nếu , do đó x = y.
Vì x = y nên S = = .
Vậy GTNN của S = 3 khi x = y = 1
0,25
0,25
0,50
0,50
0,25
0,25

--------- HẾT ---------
PHÒNG GD-ĐT HỒNG LĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang. Đề số: 02
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9
NĂM HỌC: 2017 - 2018
PHẦN THI CÁ NHÂN 
Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút

I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) (Mỗi câu đúng 0,5 điểm)
Câu 1: Tính giá trị biểu thức 
Câu 2: Tìm a, b biết: 
Câu 3. Có 7 đôi giày màu trắng và 14 đôi giày màu đen bỏ chung trong một cái hộp. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà không nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đôi cùng màu và đi được.
Câu 4. Cho a là số nguyên, biết a chi hết cho 4 nhưng không chia hết cho 3. Tìm dạng chung của a.
Câu 5. Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 2019 với S(n) là tổng các chữ số của n.
Câu 6. Giải phương trình , biết rằng căn bậc 3 của một số a là số x sao cho 
Câu 7. Tìm x và y biết: và 
Câu 8. Tìm các số tự nhiên x, y biết 
Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC. Biết AB = 5cm; AC = 6cm và AM = cm. Tính diện tích . 
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH =6cm; AC = 7cm. Tính BC.
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11. (7, 0 điểm)
a) Cho P = với . Rút gọn biểu thức P và tìm x để là số nguyên
b) Biết là một nghiệm của đa thức P(x) =. Tìm nghiệm còn lại của P(x), biết b và c là các số hữu tỷ.
c) Cho x, y là các số thực dương 0 thỏa mãn . Chứng minh 
Câu 12. (4,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại, đường cao AH, trung tuyến AD.
a) Tính AC, HB, HC, AH, biết BC = 25cm, AB = 15cm.
b) Quan H kẻ đường thẳng song song với AD đường thẳng này cắt AC tại I và cắt đường thẳng AB tại K . Chứng AK.AC = AB.AI và HI + HK = 2.AD.
c) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh 
Câu 13. (4,0 điểm).
a)	Tìm x, y biết: . 
Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 
--------- HẾT---------
Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......................................................................... Số báo danh:.............................
Hướng dẫn chấm (Đề: 02)
Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải.
 - Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
Đáp số: 

Câu 2
Đáp số: (a;b) = ( ), (2; ) 

Câu 3
Đáp số: 22.

Câu 4
Đáp số: a = 12k+4 hoặc 12k+8 (k là số nguyên)

Câu 5
Đáp số: 1995; 2013

Câu 6
Đáp số: 
Cách giải: Đặt ẩn phụ

Câu 7
Đáp số: (x,y)=(2;1);(1;2);(-1,-2);(-2,-1)

Câu 8
Đáp số: (x,y)=(0,5);(3,1).

Câu 9
Đáp số: . 

Câu 10
Đáp số: BC = (cm)
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Câu 11
a)Ta có:
P = 
Khi đó . Để Q là số nguyên khi và chỉ khi là số nguyên là số nguyên 
Vậy để Q là số nguyên thì với n là số nguyên dương tùy ý.

2,0
0,5
0,5
b) Vì là một nghiệm của đa thức P(x) = nên 
. 
Nếu 
Do b, c là các số hữu tỷ nên là số hữu tỷ, do đó cũng là số hữu tỷ, điều này mâu thuẫn vì là số vô tỷ. Vậy 
Khi đó phương trình đã cho trở thành 
Vậy nghiệm còn lại của P(x) là 

0,5
0,5
0,5
0,5
c) Từ . Ta có 

0,5
1,5
Câu 12

a) Theo hệ thức lượng ta suy ra: 
+ 
+ ; 
+ 

1,0
b) Vì tam giác ABC vuông tại A, AD là trung tuyến nên
 CD = DB = AD, suy ra và .
Vì KH//AD nên , do đó , từ đây suy ra tam giác vuông ABC đồng dạng với tam giác vuông AKI (g-g)
Vì tam giác ABC vuông tại A, AD là trung tuyến nên 2AD = BC
Vì nên tam giác HBK cân tại H 
Do HI//AD .
Do đó 
0,50
0,50
0,50
0,50

c) Ta có 
Ta sẽ chứng minh .
Thật vậy: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
;
Chứng minh tương tự ta cũng có: 
Do đó (đpcm)

0,50
0,50
Câu 13
a) Ta có: điều kiện . Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
Dấu “=” xảy ra: 
0,25
1,50
0,25
b) Ta có: điều kiện , từ 
suy ra 
Do đó nếu thì , tương tự nếu , do đó x = y.
Vì x = y nên S = = .
Vậy GTNN của S = 3 khi x = y = 4
0,25
0,25
0,50
0,50
0,25
0,25

--------- HẾT ---------