Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 8 Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN 
 Môn thi: TOÁN 
 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) 
 (Đề thi gồm có 01 trang) 
ĐỀ BÀI 
Câu 1 (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) 62  xx 
b) 241423  xxx 
Câu 2 (3 điểm): Cho biểu thức A = 
933193
363143
23
23


xxx
xxx
 a) Tìm giá trị của x để biểu thức A xác định. 
 b) Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị bằng 0. 
 c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. 
Câu 3 (5 điểm): Giải phương trình: 
 a) 12)(4)( 222  xxxx 
 b) 
2003
6
2004
5
2005
4
2006
3
2007
2
2008
1 









 xxxxxx
 c) 0653856 234  xxxx (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4) 
Câu 4 (4 điểm): 
 a) Tìm GTNN: 20158425yx 22  yxxy 
 b) Tìm GTLN: 
1
)1(3
23


xxx
x
Câu 5 (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là 
trực tâm. 
 a) Tính tổng 
'CC
'HC
'BB
'HB
'AA
'HA
 
 b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc 
AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. 
 c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm 
M di động trên đoạn thẳng AB. 
___*HẾT*___ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN 
Câu 1 (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử 
 a) 62  xx (1 điểm) 
 = 6322  xxx 
 = )2(3)2(  xxx 
 = )2)(3(  xx 
 b) 241423  xxx (1 điểm) 
 = 241222 223  xxxxx 
 = )2(12)2()2(2  xxxxxx 
 = )12)(2( 2  xxx 
 = )1234)(2( 2  xxxx 
 = )3)(4)(2(  xxx 
Câu 2 (3 điểm): Cho biểu thức A = 
933193
363143
23
23


xxx
xxx
 a) ĐKXĐ: 0933193 23  xxx (1 điểm) 
  
3
1
x và 3x 
 b) 
933193
363143
23
23


xxx
xxx
 (1 điểm) 
 = 
2
2
)3)(13(
)43()3(


xx
xx
 = 
13
43


x
x
 A = 0  3x + 4 = 0 
  x = 
3
4
 ( thỏa mãn ĐKXĐ) 
 Vậy với x = 
3
4
 thì A = 0. 
c) A = 
13
43


x
x
= 
13
513


x
x
= 1 + 
13
5
x
 (1 điểm) 
Vì Zx   ZA   Z
x

 13
5
  3x – 1  Ư(5) 
 mà Ư(5) = {-5;-1;1;5} 
 Vậy tại x  {0;2} thì A  Z. 
Câu 3 (5 điểm): Giải phương trình: 
 a) 12)(4)(
222
 xxxx (1 điểm) 
 Giải phương trình ta được tập nghiệm S = {-2;1} 
3x – 1 -5 -1 1 5 
 x -4/3 (loại) 0 (nhận) 2/3 (loại) 2 (nhận) 
 b) 
2003
6
2004
5
2005
4
2006
3
2007
2
2008
1 









 xxxxxx
 (2 điểm) 
  1
2003
6
1
2004
5
1
2005
4
1
2006
3
1
2007
2
1
2008
1











 xxxxxx
  
2003
2009
2004
2009
2005
2009
2006
2009
2007
2009
2008
2009 









 xxxxxx
  0
2003
2009
2004
2009
2005
2009
2006
2009
2007
2009
2008
2009











 xxxxxx
  0)
2003
1
2004
1
2005
1
2006
1
2007
1
2008
1
)(2009( x 
  02009 x vì ( 0
2003
1
2004
1
2005
1
2006
1
2007
1
2008
1
 ) 
  x = -2009 
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2009} 
 c) 0653856 234  xxxx (2 điểm) 
  Chia cả 2 vế cho 2x , ta được: 
 0
65
3856
2
2

xx
xx 
  038)
1
(5)
1
(6
2
2

x
x
x
x (*) 
  Đặt 
x
x
1
 = y => 
2
2 1
x
x  = 2y 
 Thay vào phương trình (*) rồi giải phương trình, ta được 
Tập nghiệm của phương trình là: {-2;
2
1
;0;
3
1
} 
Câu 4 (4 điểm): 
 a) Tìm GTNN: P= 20158425yx
22
 yxxy 
 b) Tìm GTLN: Q= 
1
)1(3
23


xxx
x
 a) P = 20158425yx 22  yxxy (2 điểm) 
 P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 
 P = (x
2
 + y
2
 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010 
 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010  2010 
 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi 
3 1
;
2 2
x y  
 b) Q = 
1
)1(3
23


xxx
x
 (2 điểm) 
 = 
)1()1(
)1(3
2


xxx
x
 = 
)1)(1(
)1(3
2


xx
x
 = 
1
3
2
x
 Q đạt GTLN  12 x đạt GTNN 
 Mà 12 x 1 
 => 12 x đạt GTNN là 1 khi x = 0. 
 => GTLN của C là 3 khi x = 0. 
Câu 5 (6 điểm): Vẽ hình đúng (0,5điểm) 
B
A
C
I
B’
H
N
x
A’
C’
M
D 
a) 
'AA
'HA
BC'.AA.
2
1
BC'.HA.
2
1
S
S
ABC
HBC
 ; (0,5điểm) 
Tương tự: 
'CC
'HC
S
S
ABC
HAB
 ; 
'BB
'HB
S
S
ABC
HAC
 (0,5điểm) 
 1
S
S
S
S
S
S
'CC
'HC
'BB
'HB
'AA
'HA
ABC
HAC
ABC
HAB
ABC
HBC
 (0,5điểm) 
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: 
AI
IC
MA
CM
;
BI
AI
NB
AN
;
AC
AB
IC
BI
 (0,5điểm ) 
AM.IC.BNCM.AN.BI
1
BI
IC
.
AC
AB
AI
IC
.
BI
AI
.
AC
AB
MA
CM
.
NB
AN
.
IC
BI


 (0,5điểm ) 
c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,5điểm) 
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm) 
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD (0,5điểm) 
-  BAD vuông tại A nên: AB
2
+AD
2
 = BD
2
  AB
2 
+ AD
2
  (BC+CD)
2
 (0,5điểm) 
 AB
2 + 4CC’2  (BC+AC)
2
 4CC’2  (BC+AC)
2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)
2 – BC2 
 4BB’2  (AB+BC)
2 – AC2 (0,5điểm) 
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)
2 
 4
'CC'BB'AA
)CABCAB(
222
2



 (0,5điểm) 
(Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC 
   ABC đều) 
