Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Đề 13 (Có hướng dẫn chấm)

NỘI DUNG CẤU TRÚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN : Toán - LỚP 9
CÂU
NỘI DUNG KIẾN THỨC
ĐIỂM 
Câu 1
Biến đổi đồng nhất:
Các bài toán biến đổi căn thức và các câu hỏi khai thác biểu thức rút gọn
2 điểm
Câu 2
Phương trình đại số: phương trình bậc cao, pt vô tỉ : 1 điểm
Hàm số đồ thị: 1 điểm
2 điểm
Câu 3
Số học:
Số nguyên tố, hợp số, số chính phương, phương trình nghiệm nguyên
2 điểm
Câu 4
Hình học: 
Hệ thức trong tam giác vuông, tam giác đồng dạng, định lý Ta lét....: 1 điểm
Đường tròn: Giới hạn đến bài dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến.
 2 điểm
3 điểm
Câu 5
Bài toán phát hiện học sinh xuất sắc
Cực trị đại số, hình học, biến đổi đồng nhất...
1 điểm
Cộng
10,0 điểm
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
------------o0o--------------
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2015 – 2016
Môn thi: Toán học – Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm) 
Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức A.
Tìm các giá trị của x sao cho .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B biết rằng .
Câu 2 (2 điểm)
Giải phương trình: 
Cho các đường thẳng ; và . Chứng minh rằng các đường thẳng trên cùng đi qua 1 điểm cố định?
Câu 3 (2 điểm)
Cho p và là các số nguyên tố. Chứng mình rằng số cũng là số nguyên tố?
Giải phương trình nghiệm nguyên: .
Câu 4 (3 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi A là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC, D là điểm đối xứng với B qua A, I là trung điểm AH, J là trung điểm của DH.
Chứng minh rằng đồng dạng với .
Gọi E là giao điểm của HD và CI. Chứng minh : 2AE < AB?
Khi A di động , xác định vị trí điểm A trên nửa đường tròn sao cho tam giác ABC có chu vi lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn : . Chứng minh rằng:
--------------------------------Hết---------------------------------
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
------------o0o--------------
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2015 – 2016
Môn thi: Toán học – Lớp 9
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
Rút gọn 
Điều kiện xác định: . Khi đó:
0.5
0.5
b
Tìm x để A < 2.
Để 
0,25
TH1: Khi 
TH2: Khi 
Đối chiếu với điều kiện xác định ban đầu ta được giá trị cần tìm của x là: hoặc 
0,25
c
Tìm giá trị nhỏ nhất của B
Ta có: B xác định khi 
0,25
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2 số và , ta được
Dấu “=” xảy ra khi: (t/m)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là: khi .
0,25
2
a
Giải phương trình 
Điều kiện xác định của phương trình: 
PT 
0,5
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là: x = 3.
0,5
b
Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua 1 điểm cố định
Gọi là điểm cố định của đường thẳng 
Khi đó ta có: 
Do đó, đường thẳng luôn đi qua điểm cố định 
0,5
Với thay vào đường thẳng ta được: đúng với 
 Đường thẳng luôn đi qua 
0,25
Với thay vào đường thẳng ta được:
 đúng với 
 Đường thẳng luôn đi qua 
Vậy 3 đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm cố định .
0,25
3
a
Chứng mình rằng số cũng là số nguyên tố
Do p là số nguyên tố nên:
Khi là hợp số Mâu thuẫn với giả thiết là số nguyên tố không thỏa mãn đề.
Khi là số nguyên tố (tm) là số nguyên tố (đpcm).
0,5
Khi là hợp số
 Mâu thuẫn với giả thiết là số nguyên tố không thỏa mãn đề.
Vậy khi p và là các số nguyên tố thì cũng là số nguyên tố
0,5
b
Giải phương trình nghiệm nguyên: .
Ta có 
0,5
Vì nên là ước của 5:
TH1. 
TH2. (Không thỏa mãn)
TH3. (Không thỏa mãn)
TH4. (Không thỏa mãn)
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm: 
0,5
4
a
Ta thấy ngoại tiếp đường tròn đường kính BC nên 
Từ giả thiết 
 (cùng phụ với góc ) (1)
+) Trong tam giác vuông ACH ta có: (2)
+) Trong tam giác vuông AIJ ta có 
 (3)
Từ (1), (2), (3) (4)
1
Từ giả thiết vuông tại A
Do đó từ (4) ta có: 
b
Chứng minh 
Theo câu a ta có 
Ta lại có: 
Từ đó vuông tại E thuộc đường tròn đường kính IJ
Tương tự vuông tại A thuộc đường tròn đường kính IJ
 cùng thuộc đường tròn đường kính IJ
0,5
Theo tính chất liên hệ giữa đường kính và dây trong đường tròn đường kính IJ ta có: 
Mà ta lại có (D đối xứng với B qua A)
Dấu “=” xảy ra khi tứ giáclà hình chữ nhật 
(mâu thuẫn) 
0,5
c
Xác định vị trí điểm A
Khi A di động trên nửa đường tròn (O).
Ta có chu vi tam giác ABC là: 
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 
0,5
Do đó, (BC không đổi)
Nên chu vi tam giác ABC lớn nhất là khi AB = AC 
 thuộc trung trực của BC là giao điểm của trung trực BC với đường tròn (sau này A là điểm chính giữa cung BC)
0,5
5
Chứng minh 
Từ giả thiết nên ta có:
0,5
Ta có với các số dương x, y thì nên:
Cộng các vế lại ta được: đpcm
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 
0,5
Chú ý: Các cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng phần.