Đề ôn luyện thi học sinh giỏi môn Toán 8 - Đề số 01 (Có đáp án)

ĐỀ ÔN LUYỆN SỐ 01 
MÔN TOÁN LỚP 8 
Thời gian làm bài: 150 phút 
Bài 1: (4 điểm) 
a/ Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 
b/ Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n thì : A = 5
n+2
 + 26.5
n
 + 8
2n+1
 59 
Bài 2: (4 điểm) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a/ x
3
 + y
3
 + z
3
 – 3xyz 
b/ x
4
 + 2011x
2
 + 2010x + 2011 
Bài 3: (4 điểm) 
a/ Cho a + b = 2 và a
2
 + b
2
 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3 
b/ Cho a + b + c = 0 và a
2
 + b
2
 + c
2
 = 14. Tính giá trị của biểu thức N = a4 + b4 + c4 
Bài 4: (4 điểm) 
Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 60
0, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G 
theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao? 
Bài 5: (4 điểm) 
Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD. 
a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy. 
b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng EMFN là hình 
bình hành. 
---HẾT--- 
ĐỀ ÔN LUYỆN SỐ 01 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8 
(THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012) 
---------------------- 
Bài 1: (4 điểm) 
a/ 
Ta phải chứng minh: A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 9 với n  Z 
A = n
3
 + n
3
 + 3n
2
 + 3n + 1 + n
3
 + 6n
2
 + 12n + 8 
 = 3n
3
 + 9n
2
 + 15n + 9 (0,5đ) 
 = 3n
3
 – 3n + 9n2 + 18n + 9 (0,5đ) 
 = 3n(n – 1)(n + 1) + 9n2 + 18n + 9 (0,5đ) 
Nhận thấy n(n – 1)(n + 1) 3 nên 3n(n – 1)(n + 1) 9 Và 9n2 + 18n + 9 9 
Vậy A 9 (0,5đ) 
b/ 5
n+2
 + 26.5
n
 + 8
2n+1
 = 25.5
n
 + 26.5
n
 + 8.8
2n 
= (0,5ñ) 
 = 5
n
(59 – 8) + 8.64n (0,5ñ) 
 = 59.5
n
 + 8(64
n
 – 5n) (0,5ñ) 
 59.5
n
 59 vaø 8(64
n
 – 5n) (64 – 5) = 59 
 vaäy 5
n+2
 + 26.5
n
 + 8
2n+1
 59 (0,5ñ) 
Bài 2: (4 điểm) 
a/ x
3
 + y
3
 + z
3
 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz = 
= (x + y + z)
3
 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) (0,5ñ) 
= (x + y + z)[(x + y + z)
2
 – 3z(x + y) – 3xy] (0,5ñ) 
= (x + y + z)[x
2
 + y
2
 + z
2
 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] (0,5ñ) 
= (x + y + z)(x
2
 + y
2
 + z
2
 – xy – yz – zx) (0,5ñ) 
b/ x
4
 + 2011x
2
 + 2010x + 2011 = 
= x
4
 + x
3
 + x
2
 + 2010x
2
 + 2010x + 2010 – x3 + 1 (0,5ñ) 
= x
2
(x
2
 + x + 1) + 2010(x
2
 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) (0,5ñ) 
= (x
2
 + x + 1)(x
4
 + 2010 – x + 1) (0,5ñ) 
= (x
2
 + x + 1)(x
4– x + 2011) (0,5ñ) 
Bài 3: (4 điểm) 
a/ Cho a + b = 2 và a
2
 + b
2
 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3 
Từ a2 + b2 = 20  (a + b)
2
 – 2ab = 20  ab = -8(0,5ñ) 
M = a
3
 + b
3
 = (a + b)
3
 – 3ab(a + b) 
 = 2
3
 – 3.(-8).2 = 56 (0,5ñ) 
b/ Cho a + b + c = 0 và a
2
 + b
2
 + c
2
 = 14. Tính giá trị của biểu thức N = a4 + b4 + c4 
Từ a2 + b2 + c2 = 14 
 (a
2
 + b
2
 + c
2
)
2
 = 196 
 a
4
 + b
4
 + c
4
 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (0,5ñ) 
Ta lại có: a + b + c = 0  (a + b + c)
2
 = 0 
ĐỀ ÔN LUYỆN SỐ 01 
 a
2
 + b
2
 + c
2
 + 2(ab + bc + ca) = 0 (0,5ñ) 
 (ab + bc + ca) = -7 (0,5ñ) 
 (ab + bc + ca)
2
 = 49 
 a
2
b
2
 + b
2
c
2
 + c
2
a
2
 + 2abc(a + b + c) = 49 (0,5ñ) 
 a
2
b
2
 + b
2
c
2
 + c
2
a
2
 = 49 (0,5ñ) 
Do đó N = a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 196 – 2.49 = 98 (0,5ñ) 
Bài 4: (4 điểm) 
- Hình vẽ (0,5ñ) 
- Do ABCD là hình thang cân và 06 0A C D  
Suy ra O A B và O C D là các tam giác đều. (0,5ñ) 
- Chứng minh B F C vuông tại F (0,5ñ) 
- Xét B F C vuông tại F có: 
1
2
F G B C (0,5ñ) 
- Chứng minh B E C vuông tại E (0,5ñ) 
- Xét B E C vuông tại E có: 
1
2
E G B C (0,5ñ) 
- Xét B E C có: 
1
2
E F B C (0,5ñ) 
- Suy ra EF = EG = FG nên E F G đều (0,5ñ) 
Bài 5: (4 điểm) 
a/ 
- Hình vẽ: (0,25ñ) 
- Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình 
hành ABCD, ta có O là trung điểm của BD. (0,25ñ) 
- Chứng minh BEDF là hình bình hành (0,5ñ) 
- Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm 
của EF (0,5ñ) 
- Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O. (0,5ñ) 
b/ 
- Xét  ABD có M là trọng tâm, nên 
1
3
O M O A (0,5ñ) 
- Xét  BCD có N là trọng tâm, nên 
1
3
O N O C (0,5ñ) 
- Mà OA = OC nên OM = ON (0,5ñ) 
- Tứ giác EMFN có OM = ON và OE = OF nên là hình bình hành. (0,5ñ) 
=
=
X
X
//
//
G
F
E
O
A B
D C
////
////
O
N
M
F
E
D C
A B