Đề cương ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán

ại F.
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O), chứng minh DM AC.
c) Chứng minh: CE . CF + AD . AE = AC2.
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = , với 0 < x < 1
ĐỀ SỐ 37
Câu 1: Cho biểu thức: M = 
Rút gọn biểu thức M với 
Câu 2: a) Giải hệ phương trình: 
 b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị nào của a, b thì đường thẳng (d): y = ax + 2 - b và đường thẳng (d’): y = (3 - a)x + b song song với nhau.
Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = - 3.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: = 1.
Câu 4: ChoABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AK.
a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình hình hành.
b) Vẽ OM BC (M BC). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và AH = 2.OM.
c) Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao thuộc các cạnh BC, CA, AB củaABC. Khi BC cố định hãy xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’ + C’A’ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = .
ĐỀ SỐ 38 
Câu 1: Cho biểu thức: P = với x > 0.
 a) Rút gọi biểu thức P.
 b) Tìm x để P = 0.
Câu 2: a) Giải phương trình:	 x + 
 b) Giải hệ phương trình: 
Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m + 1= 0.	(1)
 a) Giải phương trình khi m = - 1.
 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn .
Câu 4: ABC cân tại A. Vẽ đường tròn (O; R) tiếp xúc với AB, AC tại B, C. Đường thẳng qua điểm M trên BC vuông góc với OM cắt tia AB, AC tại D, E.
 a) Chứng minh 4 điểm O, B, D, M cùng thuộc một đường tròn.
 b) MD = ME.
Câu 5: Giải phương trình: x2 + 3x + 1 = (x + 3)
ĐỀ SỐ 39 
Câu 1: 
1) Tính: 
2) Rút gọn biểu thức: P= với x1 và x >0
Câu 2: 1) Trên hệ trục tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm M (3; 2) và N (4; -1). 
 Tìm hệ số a và b.
 2) Giải hệ phương trình: 
Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1)
 	1). Giải phương trình (1) khi m = 2
 	2) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.
Câu 4: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
1) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
2) Chứng minh hệ thức: AM2 = AE.AC.
3) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Câu 5: Cho x và y là hai số thỏa mãn đồng thời : x , y 0, 2x + 3y 6 và 2x + y 4.
 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K = x- 2x – y.
ĐỀ SỐ 40 
Câu 1. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 4y = 2.
 a) Tìm hệ số góc của đường thẳng d.
 b) Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng d1: y = (m2 -1)x + m song song với đường thẳng d.
Câu 2. Tìm a, b biết hệ phương trình có nghiệm . 
Câu 3. Cho phương trình: (1)
 a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
 b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là . Lập một phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là và .
Câu 4. Bên trong hình vuông ABCD vẽ tam giác đều ABE . Vẽ tia Bx thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm E, có bờ là đường thẳng AB sao cho Bx vuông góc với BE. Trên tia Bx lấy điểm F sao cho BF = BE.
 a) Tính số đo các góc của tam giác ADE.
 b) Chứng minh 3 điểm: D, E, F thẳng hàng.
 c) Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác AEB cắt AD tại M. Chứng minh ME // BF.
Câu 5. Hai số thực x, y thoả mãn hệ điều kiện : .
Tính giá trị biểu thức P = .
II - ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
ĐỀ SỐ 1 
Câu 1: Giải các phương trình: 
 a) 
 b) 
Câu 2:
 a) Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abc = 1 và 
 . 
Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c luôn tồn tại một số là lập phương của một trong hai số còn lại.
 b) Cho x = . Chứng minh x có giá trị là một số nguyên.
Câu 3: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 A = .
Câu 4: Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R.
 a) Chứng minh tứ giác ABOC là hình vuông.
 b) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
 c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆ADE.
Câu 5: Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 50 điểm.
ĐỀ SỐ 2
Câu 1: a) Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức: 
x (
 b) Tìm tất cả các số nguyên x > y > z > 0 thoả mãn: 
xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 2011.
Câu 2: a) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5.
 b) Cho a, b, c [0; 2] và a + b + c = 3. Chứng minh a2 + b2 + c2 < 5.
Câu 3: Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức x2 + x + 6 là một số chính phương.
Câu 4: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp ABC có H là trực tâm. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M. 
Gọi N, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Chứng minh:
a) Ba điểm K, N, I thẳng hàng.
b) .
c) NK đi qua trung điểm của HM.
Câu 5: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = 2x2 - xy - y2 với x, y thoả mãn điều kiện sau:
 x2 + 2xy + 3y2 = 4.
ĐỀ SỐ 3 
Câu 1: a) Cho a, b, c là 3 số từng đôi một khác nhau và thoả mãn: 
 Chứng minh rằng: 
 b) Tính giá trị của biểu thức:
	A = 
Câu 2: a) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác, chứng minh:
	 .
	b) Cho biểu thức: A = x - 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Câu 3: a) Giải phương trình: .
b) Cho hàm số y = f(x) với f(x) là một biểu thức đại số xác định với mọi số thực x khác 
không. Biết rằng: f(x) + 3f= x2 x ≠ 0. Tính giá trị của f(2).
Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M là trung điểm của EF, K là trung điểm của BD. Chứng minh tam giác AMK là tam giác đều.
Câu 5: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S và điểm O nằm trong tứ giác sao cho:OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S. Chứng minh ABCD là hình vuông có tâm là điểm O.
ĐÈ SỐ 4
Câu 1: a) Cho x và y là 2 số thực thoả mãn x2 + y2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 	 A = .
 b) Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = 2. Chứng minh: 
 .
Câu 2: a) Giải phương trình: x2 + 9x + 20 = 2.
 b) Tìm x, y thoả mãn: .
Câu 3: a) Chứng minh rằng nếu: thì .
 b) Chứng minh rằng nếu phương trình x4 + ax3 + bx2 + ax +1 = 0 có nghiệm thì 5(a2 + b2) ≥ 4.
Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R và bán kính OC vuông góc với AB. Tìm điểm M trên nửa đường tròn sao cho 2MA2 = 15MK2, trong đó K là chân đường vuông góc hạ từ M xuống OC.
Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BD và AC. Gọi G là giao điểm của đường thẳng đi qua F vuông góc với AD với đường thẳng đi qua E vuông góc với BC. So sánh GD và GC.
ĐỀ SỐ 5 
Câu 1: 1) Giải phương trình: x2 + .
	2) Giải phương trình: 
 x2 - 2x + 3(x - 3) = 7.
Câu 2: 1) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: A = .
 2) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh:
Câu 3: Giải hệ phương trình: 
Câu 4: Cho hình thang ABCD có 2 đáy BC và AD (BC AD). Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên 2 cạnh AB và DC sao cho . Đường thẳng MN cắt AC và BD tương ứng với E và F. Chứng minh EM = FN.
Câu 5: Cho đường tròn tâm (O) và dây AB, điểm M chuyển động trên đường tròn. Từ M kẻ MH vuông góc với AB (H AB). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA, MB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt AB tại D.
 1) Chứng minh đường thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn.
 2) Chứng minh: .
ĐỀ SỐ 6
Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A = 
 .
Câu 2: a) Cho các số khác không a, b, c. Tính giá trị của biểu thức: 
 M = x2011 + y2011 + z2011
Biết x, y, z thoả mãn điều kiện: 
	b) Chứng minh rằng với a > thì số sau đây là một số nguyên dương.
 x = 
Câu 3: a) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a.b.c.
	b) Giả sử a, b, c, d, A, B, C, D là những số dương và
 . Chứng minh rằng:
Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi M, N, P, Q là bốn đỉnh của một hình chữ nhật (M và N nằm trên cạnh BC, P nằm trên cạnh AC và Q nằm trên cạnh AB).
a) Chứng minh rằng: Diện tích hình chữ nhật MNPQ có giá trị lớn nhất khi PQ đi qua trung điểm của đường cao AH.
b) Giả sử AH = BC. Chứng minh rằng, mọi hình chữ nhật MNPQ đều có chu vi bằng nhau.
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân ở A, đường trung tuyến BM. Gọi D là hình chiếu của C trên tia BM, H là hình chiếu của D trên AC. Chứng minh rằng AH = 3HD.
B - PHẦN LỜI GIẢI
 I - LỚP 10 THPT
ĐỀ SỐ 1 
Câu 1: a) Ta có: a + b = () + () = 4
 a.b = ()( = 1. Suy ra P = 3.
.
Câu 2: 
b) Với x > 0, x 1 thì . 
Vậy với x > 2 thì P > .
Câu 3: a) Với m = 6, ta có phương trình: x2 – 5x + 6 = 0
 ∆ = 25 – 4.6 = 1 . Suy ra phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = 2.
 b) Ta có: ∆ = 25 – 4.m
 Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ 0 (*)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = 5 (1); x1x2 = m (2).
Mặt khác theo bài ra thì (3). Từ (1) và (3) suy ra x1 = 4; x2 = 1 hoặc x1 = 1; x2 = 4 (4) 
Từ (2) và (4) suy ra: m = 4. Thử lại thì thoả mãn.
Câu 4:
a) Tứ giác BEFI có: (gt) (gt)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF
b) Vì AB CD nên , 
 suy ra . 
Xét ∆ACF và ∆AEC có góc A chung và
 .
Suy ra: ∆ACF ~ với ∆AEC 
 c) Theo câu b) ta có , suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF (1). 
Mặt khác (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra ACCB (2). Từ (1) và (2) suy ra CB chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF, mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF thuộc CB cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ BC.
Câu 5: Ta có (a + b)2 – 4ab = (a - b)2 0(a + b)2 4ab
 , mà a + b 
. Dấu “ = ” xảy ra . Vậy: min P = .
Lời bình:
Câu IIb
 Các bạn tham khảo thêm một lời giải sau
1) Ta có a = 1. D = 25 - 4m. Gọi x1, x2 là các nghiệm nếu có của phương trình. 
Từ công thức Þ . Vậy nên phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoă mãn |x1- x2| = 3 Û D = 9 Û 25 - 4m = 9 Û m = 4 . 
2) Có thể bạn dang băn khoăn không thấy điều kiện D ³ 0. Xin đừng, bởi |x1- x2| = 3 Û D = 9. Điều băn khoăn ấy càng làm nổi bật ưu điểm của lời giải trên. Lời giải đã giảm thiểu tối đa các phép toán, điều ấy đồng hành giảm bớt nguy sơ sai sót. 
Câu IVb
 · Để chứng minh một đẳng thức của tích các đoạn thẳng người ta thường gán các đoạn thẳng ấy vào một cặp tam giác đồng dạng. Một thủ thuật để dễ nhận ra cặp tam giác đồng dạng là chuyển "hình thức" đẳng thức đoạn thẳng ở dạng tích về dạng thương. Khi đó mỗi tam giác được xét sẽ có cạnh hoặc là nằm cùng một vế, hoặc cùng nằm ở tử thức, hoặc cùng nằm ở mẫu thức.
 Trong bài toán trên AE.AF = AC2 Û . Đẳng thức mách bảo ta xét các cặp tam giác đồng dạng DACF (có cạnh nằm vế trái) và DACE (có cạnh nằm vế phải).
· Khi một đoạn thẳng là trung bình nhân của hai đoạn thẳng còn lại, chẳng hạn AE.AF = AC2 thì AC là cạnh chung của hai tam giác, còn AE và AF không cùng năm trong một tam giác cần xét.
 Trong bài toán trên AC là cạnh chung của hai tam giác DACE và DACF 
Câu IVc
· Nếu (D) là đường thẳng cố định chứa tâm của đường tròn biến thiên có các đặc điểm sau:
 + Nếu đường tròn có hai điểm cố định thì (D) là trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm cố định ấy.
 + Nếu đường tròn có một điểm cố định thì (D) là đường thẳng đi qua điểm đó và 
 	- hoặc là (D) ^ (D'),
 	- hoặc là (D) // (D'), 
 	- hoặc là (D) tạo với (D') một góc không đổi
 	 (trong đó (D') là một đường thẳng cố định có sẵn).
· Trong bài toán trên, đường tròn ngoại tiếp DCEF chỉ có một điểm C là cố định. Lại thấy CB ^ CA mà CA cố định nên phán đoán có thể CB là đường thẳng phải tìm. Đó là điều dẫn dắt lời giải trên. 
Câu V
 Việc tìm GTNN của biểu thức P bao giờ cũng vận hành theo sơ đồ "bé dần": P ³ B, (trong tài liệu này chúng tôi sử dụng B - chữ cái đầu của chữ bé hơn).
1) Giả thiết a + b £ đang ngược với sơ đồ "bé dần" nên ta phải chuyển hoá a + b £ Û . 
Từ đó mà lời giải đánh giá P theo .
2) với a > 0, b > 0 là một bất đẳng thức đáng nhớ. Tuy là một hệ quả của bất đẳng 
Cô-si, nhưng nó được vận dụng rất nhiều. Chúng ta còn gặp lại nó trong một số đề sau.
3) Các bạn tham khảo lời giải khác của bài toán như là một cách chứng minh bất đẳng thức trên.
Với hai số a > 0, b > 0 ta có . Dấu đẳng thức có khi a = b =. Vậy minP = .
ĐỀ SỐ 2
Câu 1: a) 
b) ∆ = 49 – 4.3 = 37; phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
.
Câu 2: a) Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình: - x + 2 = x2 x2 + x – 2 = 0. Phương trình này có tổng các hệ số bằng 0 nên có 2 nghiệm là 1 và – 2.
+ Với x = 1 thì y = 1, ta có giao điểm thứ nhất là (1;1)
+ Với x = - 2 thì y = 4, ta có giao điểm thứ hai là (- 2; 4)
Vậy (d) giao với (P) tại 2 điểm có tọa độ là (1;1) và (- 2; 4)
b) Thay x = 2 và y = -1 vào hệ đã cho ta được:
 . 
Thử lại : Thay a = 5 và b = 3 vào hệ đã cho thì hệ có nghiệm duy nhất (2; - 1).
Vậy a = 5; b = 3 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (2; - 1).
Câu 3: Gọi x là số toa xe lửa và y là số tấn hàng phải chở
Điều kiện: x N*, y > 0.
Theo bài ra ta có hệ phương trình: . Giải ra ta được: x = 8, y = 125 (thỏa mãn) 
Vậy xe lửa có 8 toa và cần phải chở 125 tấn hàng.
Câu 4: 
a) Ta có:(gt), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM.
b) Tứ giác CPMK có (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp(1). Vì KC là tiếp tuyến của (O) nên ta có: (cùng chắn ) (2). Từ (1) và (2) suy ra (3)
c) 
Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp. 
Suy ra: (4). Từ (3) và (4) suy ra .
Tương tự ta chứng minh được . 
Suy ra: MPK∆MIP
MI.MK = MP2 MI.MK.MP = MP3. 
Do đó MI.MK.MP lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất (4) 
- Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC cố định).
Lại có: MP + OH OM = R MP R – OH. Do đó MP lớn nhất bằng R – OH khi và chỉ khi O, H, M thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC (5). Từ (4) và (5) suy ra max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3 M nằm chính giữa cung nhỏ BC.
Câu 5: Đặt 
(với a, b, c > 0). Khi đó phương trình đã cho trở thành:
a = b = c = 2
Suy ra: x = 2013, y = 2014, z = 2015.
Lời bình:
Câu IVc
Lời bình sau Đề số 1 cho thấy: Nếu có AE.AF.AC = AC3 Û AE.AF = AC2 thì thường AC là cạnh chung của hai tam giác DACE và DACF. 
Quan sát hình vẽ ta thấy MP là cạnh chung của hai tam giác MPI và MPK, nên ta phán đoán MI.MK.MP= MP3. 
Nếu phán đoán ấy là đúng thì GTLN của MI.MK.MP chính là GTLN của MP. Đó là điều dẫn dắt lời giải trên. 
Câu IIa
*Lời nhắn
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị (d): y = kx + b và (P) : y = ax2 là nghiệm của phương trình ax2 = kx + b (1). Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số trên.
Câu V
 1) · Việc đặt a, b, c thay cho các căn thức là cách làm để dễ nhìn bài toán, Với mọi số dương a, b, c ta luôn có 
 . (1) 
Thay vì đặt câu hỏi khi nào thì dấu đẳng thức xẩy ra, người ta đặt bài toán giải phương trình 
 . (2) 
 · Vai trò của a, b, c đều bình đẳng nên trong (1) ta nghĩ đến đánh giá . 
Thật vậy Û Û . Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi a = 2. Tương tự ta cũng có , . Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi b = 2, c = 2. 
2) Mỗi giá trị của biến cân bằng bất đẳng thức được gọi là điểm rơi của bất đẳng thức ấy.
Theo đó, bất đẳng thức (1) các biến a, b, c đếu có chung một điểm rơi là a = b = c = 2.
 Khi vai trò của các biến trong bài toán chứng minh bất đẳng thức bình đẳng với nhau thì các biến ấy có chung một điểm rơi.
Phương trình diễn tả dấu bằng trong bất đẳng thức được gọi là "phương trình điểm rơi".
3) Phương trình (2) thuộc dạng "phương trình điểm rơi"
Tại điểm rơi a = b = c = 2 ta có . 
Điều đó cắt nghĩa điểm mấu chốt của lời giải là tách :
 (2) Û .
4) Phần lớn các phương trình chứa hai biến trở lên trong chương trình THCS đều là "phương trình điểm rơi".
ĐỀ SỐ 3
Câu 1: a) Đặt x2 = y, y 0. Khi đó phương trình đã cho có dạng: y2 + 3y – 4 = 0 (1).
Phương trình (1) có tổng các hệ số bằng 0 nên (1) có hai nghiệm y1 = 1; y2 = - 4. Do y 0 nên chỉ có y1 = 1 thỏa mãn. Với y1 = 1 ta tính được x = 1. Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.
b) 
Câu 2:
Câu 3: 
a) Vẽ đồ thị các hàm số y = - x2 và y = x – 2. 
b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x – 2 và parabol
 y = - x2 là nghiệm của phương trình:- x2 = x – 2 x2 + x – 2 = 0 
Suy ra các giao điểm cần tìm là: L( 1; -1 ) và K ( - 2; - 4 ) 
(xem hình vẽ).
Câu 4:
a) Tứ giác AEHF có: (gt). Suy ra AEHFlà tứ giác nội tiếp.
- Tứ giác BCEF có: (gt). Suy ra BCEF là tứ giác nội tiếp. 
b) Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra: (1). Mặt khác = 
(góc nội tiếp cùng chắn ) (2). Từ (1) và (2) suy ra: MN // EF.
c) Ta có: ( do BCEF nội tiếp) AM = AN, lại có OM = ON nên suy ra OA là đường trung trực của MN , mà MN song song với EF nên suy ra .
Câu 5: ĐK: y > 0 ; x Î R. Ta có: P = 
. Dấu “=” xảy ra .
Suy ra: .
ĐỀ SỐ 4
Câu 1: 
a) ; = .
b) Thay x = - 2 và y = vào hàm số y = ax2 ta được: 
 .
Câu 2:
Giải phương trình: x2 – 16x + 48 = 0 ta được hai nghiệm là 4 và 12. Đối chiếu với điều kiện (1) thì chỉ có x = 4 là nghiệm của phương trình đã cho.
b) .
Câu 3: a) Với m = 3 ta có phương trình: x2 – 6x + 4 = 0.
Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = .
b) Ta có: ∆/ = m2 – 4 
Phương trình (1) có nghiệm (*). 
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4. Suy ra: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2 
x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = 0(x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0 4m2 – 8 + 4m = 0 
m2 + m – 2 = 0 . 
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m2 = - 2 thỏa mãn. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.
Câu 4:
a) Tứ giác BIEM có:(gt); suy ra tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM.
b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: (do ABCD là hình vuông). 
c) ∆EBI và ∆ECM có:, BE = CE , ( do )
 ∆EBI = ∆ECM (g-c-g) MC = IB; suy ra MB = IA
Vì CN // BA nên theo định lí Thalet, ta có: = . Suy ra IM song song với BN 
(định lí Thalet đảo) 
(2). Lại có (do ABCD là hình vuông). 
Suy ra BKCE là tứ giác nội tiếp. 
Suy ra: mà ; suy ra 
; hay .
Câu 5: 
Ta có: 
(1).
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có: a2 < a.(b+ c)a2 < ab + ac.
Tương tự: b2 < ab + bc; c2 < ca + bc. Suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (2).
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
ĐỀ SỐ 5
Câu 1: a) 
b) Vì đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(2; 3) nên thay x = 2 và y = 3 vào phương trình đường thẳng ta được: 3 = 2a + b (1). Tương tự: 1 = -2a + b (2). Từ đó ta có hệ:
.
Câu 2: a) Giải phương trình: x2 – 3x + 1 = 0. Ta có:	∆ = 9 – 4 = 5
Phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = .
b) Điều kiện: x 1.
 x(x + 1) – 2(x – 1) = 4 x2 – x – 2 = 0 .
Đối chiếu với điều kiện suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
Câu 3: Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là x (km/h). Suy ra vận tốc của ô tô thứ hai là: x – 10 (km/h) (Đk: x > 10). 
Thời gian để ô tô thứ nhất và ô tô thứ hai chạy từ A đến B lần lượt là (h) và (h). 
Theo bài ra ta có phương trình: 
Giải ra ta được x = 60 (thỏa mãn).Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 60 km/h và ô tô thứ hai là 50 km/h.
Câu 4:
a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra ACBD là hình chữ nhật
b) Tứ giác ACBD là hình chữ nhật suy ra:
(1). Lại có sđ(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung); sđ(góc nội tiếp), mà (do BC = AD)(2). Từ (1) và (2) suy ra ∆ACD ~ ∆CBE .
c) Vì ACBD là hình chữ nhật nên CB song song với AF, suy ra: (3). Từ (2) và (3) suy ra do đó tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.
d) Do CB // AF nên ∆CBE ~ ∆AFE, suy ra: 
. Tương tự ta có . Từ đó suy ra: .
Câu 5: Đk: x3 + 1 0 (1).
Đặt: a = ; b = ,( a0; b>0) (2) a2 + b2 = x2 + 2. 
Khi đó phương trình đã cho trở thành: 10.ab = 3.(a2 + b2) 
 a = 3b hoặc b = 3a.
+) Nếu a = 3b thì từ (2) suy ra: = 3 9x2 – 10x + 8 = 0 (vô nghiệm).
+) Nếu b = 3a thì từ (2) suy ra: 3 = 9x + 9 = x2 – x + 1 x2 – 10x – 8 = 0. Phương trình có hai nghiệm x1 = ; x2 = (thỏa mãn (1)).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = và x2 = .
Lời bình:
Câu IV
1) Để chứng minh đẳng thức (*) về diện tích các tam giác (chẳng hạn (*))
Bạn có thể nghĩ đến một trong ba cách sau :
· Nếu ba tam giác tương ứng có một cạnh bằng nhau thì biến đổi (*) về đẳng thức các