Chuyên đề: Sử dụng tính đơn điệu cho bài toán cực trị và bất đẳng thức ba biến số

CHUYÊN ĐỀ: 
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN SỐ
TG: TH.S LÊ QUỐC TRUNG
1/ Sử dụng phép thế đưa về bài toán một biến số:
Với điều kiện thì luôn biểu diễn được theo p,q,r.
Do vậy với bài toán giả thiết 2 trong 3 điều kiện (p,q,r) ta hoàn toàn có thể đưa về một đa thức của một biến.
Ví dụ 1. Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn
Tính theo x.
Lời giải
Theo giả thiết ta có: 
Ta có: .
Nhận xét. Ta chặn giá trị của biến x như sau:
Vậy bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P đưa về khảo sát hàm một biến trên đoạn .
Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Đặt ,,
Ta cần tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức .
Ta có . 
Khi đó .
Xét hàm số liên tục trên dễ có
.
Ví dụ 3. (TSĐH Khối B 2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có: 
Suy ra và .
Mặt khác 
Khi đó: 
Xét hàm số f(x) = liên tục trên ta được: f’(x)
Ta có: . Suy ra 
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng đạt tại 
Bình luận: Biểu thức của P là một đối với x nên theo kết quả trên ta tìm được cả giá trị nhỏ nhất của P. Ngoài ra có thể biến đổi P như sau: 
Ví dụ 4: Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [1;4] và a + b + 2c = 8 .
Tìm giá trị lớn nhất cảu biểu thức 
Lời giải
Theo giả thiết ta có 
Ta có 
Với 
Khi đó: 
Xét hàm số f(c) = -3c3 + 84c2 – 294c + 344 liên tục trên đoạn [1;3], ta có:
Ta có f''(c) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua co nên f (c) đạt giá trị cực tiểu tại co.
Do đó: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1, c = 3
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 137 đạt tại a = b = 1,c = 3.
2/ Đánh giá thông qua các đại lượng trung bình củ ba biến số
Với mọi số thực x,y,z ta luôn có
Với x,y,z là các số thực không âm ta luôn có 
Nhận xét. Với các bài toán 
 và x+y+z=s ta thường sử dụng bất đẳng thức để tìm mối liên hệ giữa các đại lượng đối xứng xy+yz+zx và xyz.
Một số đẳng thức đáng chú ý
Ví dụ 1.(TSĐH Khối B 2011)
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Theo giả thiết ta có: 
Mặt khác: 
Suy ra P ≥ 
Đặt t = ab+bc+ca khi đó: P ≥ 
Với 
Xét hàm số liên tục trên đoạn ta có:
. Do đó 
Vì vậy đồng biến trên đoạn . Suy ra 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0, c = 1 hoặc các hoán vị
Vậy các giá trị nhỏ nhất của P = 2 đạt tại a = b = 0, c = 1 hoặc các hoán vị
Ví dụ 2. Cho x,y,z là các số thực thuộc đoạn [0;2] và thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 Lời giải
Chú ý bất đẳng thức:
Khi đó 
Chú ý điều kiện nên:
Khi đó đặt vì nên 
Do đó 
Xét hàm số trên đoạn ta có 
Do đó f(t) đồng biến trên đoạn suy ra 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng .
Nhận xét. Ta có thể đánh giá thông qua bất đẳng thức(xem chương 2).
Ví dụ 3.Cho x,y,z là các số thực thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Theo giả thiết ta có: 
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi 
Do đó ta xét hai khả năng:
+ Nếu 
Khi đó sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
+ Nếu khi đó biến đổi P theo bằng cách rút .Và chú ý .
Ta có
Đặt ta có 
So sánh hai trường hợp ta có Min P bằng đạt tại .
Nhận xét. Lý do xét hai trường hợp do suy nghĩ làm theo hướng hai đầu tiên tuy nhiên bất đẳng thức cuối chỉ đúng với . Do vậy cần phân chia làm hai trường hợp, với ta khéo léo kết hợp AM-GM để chỉ ra P lớn hơn .
Ví dụ 4. Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 P = 
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
 Đặt ta có 
Xét hàm số với ta có:
Suy ra .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 tại a=b=c.
Ví dụ 5. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời giải
Ta có 
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
Do đó
 Đặt: 
Xét hàm số liên tục trên đoạn ta có:
 nên f(t) là hàm nghịch biến trên đoạn 
Do đó . Đẳng thức xảy ra khi cà chỉ khi x = y = z = 1 
Ví dụ 6. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca =1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b + c + abc 
Lời giải
Theo giả thiết ta có: 
Thay vào biểu thức của P ta được: 
 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 
Suy ra 
Đặt khi đó 
Xét hàm số với t >0 ta có:
Lập bảng biến thiên suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng đạt tại 
Ví dụ 7.Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P = .
Lời giải
Ta có : 
Khi đó : P = 
 = 
 = 
 =. .
Đặt t = t2 = ó t .
Khi đó P = (t) = .
Xét hàm số (t) = liên tục trên ta có :
 ’(t) = ; ’(t) = 0 ó t = .
Bảng biến thiên :
 t
’(t)
 - 0 + 0 -
(t)
 0 
 0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (t) đạt giá trị lớn nhất bằng tại t = và đạt giá trị nhỏ nhất bằng tại t = . 
Vậy gía trị lớn nhất của P bằng đạt tại a = , b = c = 0 hoặc các hoán vị . Gía trị nhỏ nhất của P bằng đạt tại a = , b = c = 0 hoặc các hoán vị .
3. Bất đẳng thức có 2 biến đối xứng:
 Ghép cặp 2 biến đối xứng với nhau và đánh giá bất đẳng thức cơ bản như AM-GM và Cauchy-Schwaz hoặc một số bất đẳng thức phụ đưa về biến còn lại và hoàn tất bằng khảo sát hàm số (xem chủ đề sau).
Ví dụ 1. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x2 + y2 +z2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 6(y + z – x) + 27xyz . 
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và C-S ta có 
 = ; 
Suy ra + 
Xét hàm số f(x) = + trên khoảng (0;1) ta có:
Ta có f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua nên f(x) đạt cực đại tại 
Vì vậy . Dấu bằng đạt tại x = y =z = 
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 10.
Ví dụ 2. Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức cơ bản: ta có:
Suy ra 
Đặt ta có: 
Xét hàm số với ta có:
 vì vậy f(t) nghịch biến trên (0;1].
Do đó . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng đạt tại 
Ví dụ 3. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Chú ý. Ta cần đánh giá bc theo a muốn vậy xuất phát từ điều kiện ta có:
Và 
Với ta có 
Mặt khác 
Suy ra .
Dấu bằng đạt tại .
Ví dụ 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta biết bất đẳng thức phụ đúng với . Do vậy ta chia trường hợp để xử lý.
+ TH1: Nếu , khi đó .
+ TH2: Nếu , khi đó vận dụng bất đẳng thức phụ trên ta được:
 .
Xét hàm số trên khoảng ta được .
Dấu bằng đạt tại . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng .
4/ Đánh giá xoay quanh các đại lượng .
Ví dụ 1. Cho các số thực không âm a, b, c có tổng bằng 1.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có: .
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử khi đó .
Đặt ta có .
Ta có: t = a+c = 1-b.Vậy 
Xét hàm số liên tục trên ta có:
;
Ta có .Suy ra hay 
Do đó 
 . Tại thì .
Tại Thì 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi 
Giá trị lớn nhất của P bằng khi 
Nhận xét. Xuất phát từ đẳng thức:
Ta thay x = a - b,y = b - c,z = c - a ta có 
Thay vì yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P ta có tể yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
Ví dụ 2. Cho a,b,c là các số thực không âm và đôi một phân biệt thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử 
Khi đó Ta có: 4 =ab+bc+ca ≥ab => ab≤4
Khi đó 
Đặt t=,(t >2). Khi đó 
Xét hàm số với t >2 ta có 
Ta có đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua 3 nên tại t=3 thì đạt cực tiểu hay 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 đạt tại c = 0,ab = 4, và các hoán vị 
Cách 2. Không mất tính tổng quá giả sử . Khi đó viết lại vế trái của bất đẳng thức và sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
Nhận xét. Chú ý đẳng thức quen thuộc	 
Với giả thiết a,b,c biểu thức sau có nghĩa và cách chứng minh tương tự ta có các bất đẳng thức tương tự dạng sau
1/ Với a,b,c ≥0 ta có: 
2/ Với a,b,c ≥0 ta có: 
3/ Với ta có 
4/ Với ta có 
Sau đây, ta cùng xét một số bài toán dạng trên
Ví dụ 3. Cho a,b,c là các số thực không âm đôi một phân biệt.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử c = min{a,b,c}
Khi đó 
Do đó 
Đặt do . Khi đó 
Ta có 
Bảng biến thiên:
t
2 
f’(t)
0
f(t)
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy giá trị của P bằng đạt tại hoặc các hoán vị.
Ví dụ 4. Cho a,b,c là các số thực phân biệt thoả mãn và .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử khi đó
.
Đặt do 
Ta có 
Xét hàm số với ta có 
Ta có f’(t) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua nên f’(t) đạt cực tiểu tại . Do đó 
Đẳng thức xảy ra tại 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng đạt tại hoặc các hoán vị.
Cách 2. Đánh giá thông qua bất đẳng thức AM-GM.
Không mất tính tổng quát ta giả sử ta có:
Sử dụng bất đẳng thức: ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng đạt tại hoặc các hoán vị
Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện
2(a2 + b2 + c2) = (ab + bc +ca +1)(ab+bc +ca).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2.
Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử 
Đặttheo giả thiết ta có: .
Nếu .
Xét t>0 khi đó sử dụng bất đẳng thức cơ bản ta có :.
Ta có: .
.
Suy ra .
Do đó .
Xét hàm số với ta có:
.
(vô nghiệm).
Vậy f’(t) không đổi dấu trên ta có nên .
Vậy f(t) là hàm nghịch biến trên .
Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2 đạt tại .
Ví dụ 6: Cho a,b,c là các số thực thoả mãn điều kiện 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có: 
Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P ta tìm giá trị lớn nhất của P2
Khi đó ta có thể giả sử khi đó:
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
Suy ra 
Đặt do 
Ta có: 
Suy ra: 
Xét hàm số với ta có:
Bảng biến thiên:
t
 0 2 5
f’(t)
 - 0 + 0 - 0
f(t)
 16
 0 0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra 
Tại a = 2,b = 1,c = 0 thì P= -4; tại a = -2,b = -1,c= 0 thì P = 4.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = -4; giá trị lớn nhất của P bằng 4
Nhận xét. Phép toán bình phương đưa về đa thức đối xứng với ba biến a,b,c giúp ta có thể giả sử được a ≥ b ≥ c. Đây là một cách rất hay được áp dụng khi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của bài toán có giá trị đối nhau.
Ví dụ 7. Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 Lời giải
Chuyển P về dạng đối xứng 
Không mất tính tổng quát giả sử a ≥ b ≥ c và đặt x = ab + bc + ca, .
Ta có: 
Mặt khác lại có: 
Suy ra 
Suy ra 
Xét hàm số trên đoạn ta có:
Từ đó dễ có 
Suy ra 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng đạt tại 
Ví dụ 8. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn điều kiện 
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Ta có 
 =
Vậy để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Khi đó ta có thể giả sử 
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
Suy ra Đặt do 
Ta có : 
Suy ra:
Mặt khác:
Xét hàm số trên đoạn [-4;8], ta có:
, do đó f(t) là hàm nghịch biến trên đoạn [-4;8]
Suy ra 
Với . Với thì 
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 960 và giá trị nhỏ nhất của P bằng -960
Ví dụ 9: Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử c = max{a,b,c},khi đó ta có:
;;;
Đặt suy ra:
Đặt khi đó 
Ta có nên f(t) là hàm nghịch biến trên 
Do đó 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng đạt tại hoặc các hoán vị(xem thêm kỹ thuật sử dụng tính đẳng cấp).
Cách 3: Đặt khi đó . Bài toán đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài toán này tôi trích riêng và trình bày dưới đây.
Ví dụ 10. Cho a,b,c là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị nhỏ nhất cuẩ biểu thức 
Lời giải
Nhận xét. Với điều kiện a,b,c không âm và nghĩ đến P đạt giá trị nhỏ nhất khi một số bằng 0 và 2 số bằng 1. Vậy ta có ghép hai cặp căn lại với nhau xem có đánh giá được qua căn thức còn lại hay không.
Ta có: 
Suy ra 
Không mất tính tổng quát giả sử a=max{a,b,c} khi đó: 
Coi đây là hàm số với biến a và b,c là các hằng số ta được:
Do đó f(a) là hàm nghịch biến nên từ suy ra .
Mặt khác: .
Đặt .
Đặt . Khi đó trên ta có:
 .
Do đó g(u) là hàm đồng biến trên nên .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng đạt tại hoặc các hoán vị.
Nhận xét. Ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số trên ta được:
Ta có g’(t) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua nên g(t) đạt cực tiểu tại trên khoảng hay .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng đạt tại hoặc các hoán vị.
Cách 2: Đặt . Khi đó .
Suy ra 
Bài toán đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
với xy+yz+zx≥1 
Đây chính là bài toán được trình bày trước đó