Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

h SABCD. 
Đỏp ỏn
Bài 1( 4 điểm ) 
a, ( 2 điểm )
Với x khỏc -1 và 1 thỡ :
 A= 
0,5đ
 =
0,5đ
 = 
0,5đ
 = 
0,5đ
b, (1 điểm)
Tại x = = thỡ A = 
0,25đ
= 
0,25đ
0,5đ
c, (1điểm)
Với x khỏc -1 và 1 thỡ A<0 khi và chỉ khi (1)
0,25đ
Vỡ với mọi x nờn (1) xảy ra khi và chỉ khi 
KL
0,5đ
0,25đ
Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được 
0,5đ
Biến đổi để cú 
0,5đ
Biến đổi để cú (*)
0,5đ
Vỡ ;;; với mọi a, b, c
nờn (*) xảy ra khi và chỉ khi ; và ;
0,5đ
0,5đ
Từ đú suy ra a = b = c
0,5đ
Bài 3 (3 điểm)
Gọi tử số của phõn số cần tỡm là x thỡ mẫu số của phõn số cần tỡm là x+11. Phõn số cần tỡm là (x là số nguyờn khỏc -11)
0,5đ
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phõn số 
(x khỏc -15)
0,5đ
Theo bài ra ta cú phương trỡnh =
0,5đ
Giải phương trỡnh và tỡm được x= -5 (thoả món)
1đ
Từ đú tỡm được phõn số 
0,5đ
Bài 4 (2 điểm)
Biến đổi để cú A=
0,5đ
=
0,5đ
Vỡ và nờn do đú 
0,5đ
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 
0,25đ
KL
0,25đ
Bài 5 (3 điểm)
a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giỏc AMNI là hỡnh thang
0,5đ
Chứng minh được AN=MI, từ đú suy ra tứ giỏc AMNI là hỡnh thang cõn
0,5đ
b,(2điểm)
Tớnh được AD = ; BD = 2AD = 
AM = 
0,5đ
Tớnh được NI = AM = 
0,5đ
DC = BC = , MN = 
0,5đ
Tớnh được AI = 
0,5đ
Bài 6 (5 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để cú , 
0,5đ
Lập luận để cú 
0,5đ
 OM = ON
0,5đ
b, (1,5 điểm)
Xột để cú (1), xột để cú (2)
Từ (1) và (2) OM.()
0,5đ
Chứng minh tương tự ON. 
0,5đ
từ đú cú (OM + ON). 
0,5đ
b, (2 điểm)
, 
0,5đ
Chứng minh được 
0,5đ
Thay số để cú 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
0,5đ
Do đú SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)
0,5đ
ĐỀ SỐ 8
Bài 1:
Cho x = ; y = 
Tớnh giỏ trị P = x + y + xy
Bài 2:
Giải phương trỡnh:
a, = ++ (x là ẩn số)
b, + + = 0
(a,b,c là hằng số và đụi một khỏc nhau)
Bài 3:
Xỏc định cỏc số a, b biết:
 = +
Bài 4: Chứng minh phương trỡnh:
2x2 – 4y = 10 khụng cú nghiệm nguyờn.
Bài 5:
Cho ABC; AB = 3AC
Tớnh tỷ số đường cao xuất phỏt từ B và C
ĐỀ SỐ 9
Bài 1: (2 điểm)
Cho biểu thức:
a/ Thu gọn A
b/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để A<1
c/ Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để Acú giỏ trị nguyờn
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử ( với hệ số là cỏc số nguyờn):
 x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hóy tớnh x2 + y2
Bài 3 (1,5 điểm):
Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đú b và c là cỏc số nguyờn. Biết rằng đa thức 
x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tớnh P(1)
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho hỡnh chữ nhật cú AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuụng gúc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trờn tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tớnh số đo gúc DBK.
b/ Gọi F là chõn đường vuụng gúc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cựng nằm trờn một đường thẳng.
Bài 5 (1 điểm):
Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiờn m, m+k, m+ 2k đều là cỏc số nguyờn tố lớn hơn 3, thỡ k chia hết cho 6.
ĐỀ SỐ 10
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức 
a) Rỳt gọn A.
b) Tỡm x để A < -1.
c) Với giỏ trị nào của x thỡ A nhận giỏ trị nguyờn.
Bài 2: (2 điểm) Giải phương trỡnh:
a) 
b) 
Bài 3: (2 điểm)
 Một xe đạp, một xe mỏy và một ụ tụ cựng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lỳc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. 
Hỏi lỳc mấy giờ ụ tụ cỏch đều xe đạp và xe đạp và xe mỏy?
Bài 4: (2 điểm) 
 Cho hỡnh chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chộo AC ta dựng hỡnh chữ nhật AMPN ( M ẻ AB và N ẻAD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trờn AC.
Bài 5: (1 điểm)
 Cho a = 111 (2n chữ số 1), b = 444 (n chữ số 4).
 Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chớnh phương.
ĐỀ SỐ 11
Bài 1: (2điểm)
a) Cho .Tớnh 
b) Nếu a, b, c là cỏc số dương đụi một khỏc nhau thỡ giỏ trị của đa thức sau là số dương: 
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thỡ:
Bài 3: (2 điểm) 
 Một ụ tụ phải đi quóng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quóng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quóng đường sau đi với vận tốc kộm hơn vận tốc dự định là 6 km/h. 
Tớnh thời gian ụ tụ đi trờn quóng đường AB biết người đú đến B đỳng giờ.
Bài 4: (3 điểm)
Cho hỡnh vuụng ABCD trờn cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuụng gúc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a) Chứng minh tứ giỏc MENF là hỡnh thoi.
b) Chứng minh chi vi tam giỏc CME khụng đổi khi E chuyển động trờn BC
Bài 5: (1 điểm)
 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 
ĐỀ SỐ 12
Bài 1:
Phõn tớch thành nhõn tử:
a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Bài 2:
a, Cho a, b, c thoả món: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14.
Tớnh giỏ trị của A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c 0. Tớnh giỏ trị của D = x2011 + y2011 + z2011
Biết x,y,z thoả món: = ++
Bài 3: 
a, Cho a,b > 0, CMR: + 
b, Cho a,b,c,d > 0
CMR: +++ 0
Bài 4: 
a, Tỡm giỏ trị lớn nhất: E = với x,y > 0
b, Tỡm giỏ trị lớn nhất: M = với x > 0
Bài 5: 
a, Tỡm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, Tỡm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2
Bài 6: 
Cho M là một điểm miền trong của . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B là hỡnh bỡnh hành.
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
ĐỀ SỐ 13
Bài 1: (2 điểm)
a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử:
b) Cho a, b, c khỏc nhau, khỏc 0 và 
Rỳt gọn biểu thức: 
Bài 2: (2điểm)
a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
b) Giải phương trỡnh: 
Bài 3: (2điểm)
 Một người đi xe mỏy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phỳt, người đú gặp một ụ tụ, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ụ tụ đến A nghỉ 15 phỳt rồi trở lại B và gặp người đi xe mỏy tại một một địa điểm cỏch B 20 km. 
Tớnh quóng đường AB.
Bài 4: (3điểm)
 Cho hỡnh vuụng ABCD. M là một điểm trờn đường chộo BD. Kẻ ME và MF vuụng gúc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuụng gúc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xỏc định vị trớ của điểm M để tứ giỏc AEMF cú diện tớch lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)
 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh:
ĐỀ SỐ 14
Bài 1: (2,5điểm)
Phõn tớch đa thức thành nhõn tử
a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x- 3x + 4-2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rỳt gọn biểu thức: 
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0
Tớnh: 
Bài 4 : (3điểm)
 Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn BC lấy M bất kỡ sao cho BM < CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.
a) Tớnh chu vi tứ giỏc AEMF. Biết : AB =7cm
Chứng minh : AFEN là hỡnh thang cõn
c) Tớnh : ANB + ACB = ?
M ở vị trớ nào để tứ giỏc AEMF là hỡnh thoi và cần thờm điều kiện của D ABC
để cho AEMF là hỡnh vuụng. 
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ :
 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23.
Đề SỐ 15
Bài 1: (2 điểm)
a) Phõn tớch thành thừa số: 
b) Rỳt gọn: 
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng: chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiờn n.
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho ba mỏy bơm A, B, C hỳt nước trờn giếng. Nếu làm một mỡnh thỡ mỏy bơm A hỳt hết nước trong 12 giờ, mỏy bơm B hỳt hếtnước trong 15 giờ và mỏy bơm C hỳt hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai mỏy bơm A và C cựng làm việc sau đú mới dựng đến mỏy bơm B. 
Tớnh xem trong bao lõu thỡ giếng sẽ hết nước.
b) Giải phương trỡnh: (a là hằng số).
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại C (CA > CB), một điểm I trờn cạnh AB. Trờn nửa mặt phẳng bờ AB cú chứa điểm C người ta kẻ cỏc tia Ax, By vuụng gúc với AB. Đường thẳng vuụng gúc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại cỏc điểm M, N.
a) Chứng minh: tam giỏc CAI đồng dạng với tam giỏc CBN.
b) So sỏnh hai tam giỏc ABC và INC.
c) Chứng minh: gúc MIN = 900.
d) Tỡm vị trớ điểm I sao cho diện tớch ∆IMN lớn gấp đụi diện tớch ∆ABC.
Bài 5: (1 điểm) 
Chứng minh rằng số:
 là số chớnh phương. ().
Đề SỐ 16:
Cõu 1 : ( 2 ủieồm ) Phõn tớch biểu thức sau ra thừa số
M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
Cõu 2 : ( 4 ủieồm ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bỡnh phương của một đa thức khỏc .
Cõu 3 : ( 4 ủieồm ) Cho biểu thức : 
P = 
a) Rỳt gọn p .
b) Tớnh giỏ trị của biểu thức p khi /x / = 
c) Với giỏ trị nào của x thỡ p = 7
d) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để p cú giỏ trị nguyờn .
Cõu 4 : ( 3 ủieồm ) Cho a , b , c thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Cõu 5 : ( 3ủieồm) 
Qua trọng tõm G tam giỏc ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tớnh độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giỏc ABC bằng 75 (cm)
Cõu 6 : ( 4 ủieồm ) Cho tam giỏc đều ABC . M, N là cỏc điểm lần lượt chuyển động trờn hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xỏc định vị trớ của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất .
đề SỐ 17
Bài 1: (2 điểm) 
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: 
Bài 3: (2điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta có: (a+b+c)(
Tìm số d trong phép chia của biểu thức cho đa thức .
Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Bài 1
Câu
Nội dung
Điểm
1.
2,0
1.1
(0,75 điểm)
0.5
0,5
1.2
(1,25 điểm)
0,25
0,25
0,25
2.
2,0
2.1
 (1)
+ Nếu : (1) (thỏa mãn điều kiện ).
+ Nếu : (1) 
 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là .
0,5
0,5
2.2
 (2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm: 
 (2)
 và .
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm 
0,25
0,5
0,25
3
2.0
3.1
Ta có:
A=
 =
Mà: (BĐT Cô-Si)
Do đó A Vậy A
0,5
0,5
3.2
Ta có: 
Đặt , biểu thức P(x) đợc viết lại:
Do đó khi chia cho t ta có số d là 1993
0,5
0,5
4
4,0
4.1
+ Hai tam giác ADC và BEC có: 
 Góc C chung. 
 (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 
Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 
1,0
0,5
4.2
Ta có: (do )
mà (tam giác AHD vuông vân tại H)
nên (do )
Do đó (c.g.c), suy ra: 
0,5
0,5
0,5
4.3
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra: , mà 
0,5
Do đó: 
0,5
Phòng GD & ĐT huyện Thờng Tín
Trờng THCS Văn Tự
Gv: Bùi Thị Thu Hiền
đề SỐ 18
đề bài:
Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức:
 P = 
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi 
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
d) Tỡm x để P > 0.
Bài 2(3 điểm):Giải phơng trình:
a) 
b) 
c) 
Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
 Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó.
Bài 4 (7 điểm):
 Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.
Tứ giác AMDB là hình gì?
Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.
Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, . Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010
 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Đáp án và biểu điểm
Bài 1: Phân tích: 
 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 
 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
 Điều kiện: 0,5đ
Rút gọn P = 2đ
 hoặc 
 +)  P = 
 +) P = 1đ
P == 
Ta có: 
 Vậy P khi 
 x – 5 Ư(2)
 Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}
 x – 5 = -2 x = 3 (TMĐK)
 x – 5 = -1 x = 4 (KTMĐK)
 x – 5 = 1 x = 6 (TMĐK)
 x – 5 = 2 x = 7 (TMĐK)
KL: x {3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên. 1đ
 P == 0,25đ
Ta có: 1 > 0
Để P > 0 thì > 0 x – 5 > 0 x > 5 0,5đ
Với x > 5 thì P > 0. 0,25
Bài 2:
a) 
 ĐK: 
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)
3x.(x + 4) = 0
3x = 0 hoặc x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK)
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK)
 S = { 0} 1đ
b) 
(123 – x)= 0
 Do > 0 
 Nên 123 – x = 0 => x = 123
 S = {123} 1đ
c) 
 Ta có: => > 0
 nên 
 PT được viết dưới dạng:
 = 5 – 3
 = 2
 +) x - 2 = 2 => x = 4
 +) x - 2 = -2 => x = 0
 S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)
 Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ
 Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:
 (3h20’ = ) 0,25đ
 Vận tốc của ngời đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:
 0,25đ
 Theo đề bài ta có phơng trình:
 0,5đ 
x =150 0,5đ
 Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ
 Vận tốc dự định là: 
Bài 4(7đ)
 Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ
A
B
C
D
O
M
P
I
E
F
Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD. 
PO là đường trung bình của tsm giác CAM.
 AM//PO
tứ giác AMDB là hình thang. 1đ
Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA.
Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ
 Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1đ
 nên không đổi. (1đ)
Nếu thì 
Nếu thì 1đ
do đó CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d
BD = 5 (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5đ
do đó BC = 4 (cm)
 CD = 3 (cm) 0,5đ
Bài 5:
a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
 Vì 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - ) 
 = 2010.() chia hết cho 2010 (1)
 20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + )
 = 2010.( ) chia hết cho 2010 (2) 1đ
 Từ (1) và (2) ta có đpcm.
b) (1)
 Vì => => 
 => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 1đ
ĐỀ SỐ 19
Bài 1: (3đ) a) Phõn tớch đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhõn tử
 b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A B biết 
 A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
 c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng 
Bài 2: (3đ) Giải cỏc phương trỡnh sau:
 a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 
 b) 
Bài 3: (2đ) Cho hỡnh vuụng ABCD; Trờn tia đối tia BA lấy E, trờn tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
	a) Chứng minhEDF vuụng cõn
 	b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chộo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Bài 4: (2)Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Cỏc điểm D, E theo thứ tự di chuyển trờn AB, AC sao cho BD = AE. Xỏc địnhvị trớ điểm D, E sao cho:
	a/ DE cú độ dài nhỏ nhất
	b/ Tứ giỏc BDEC cú diện tớch nhỏ nhất.
Hướng dẫn chấm và biểu điểm
Bài 1: (3 điểm) 
a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ)
 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ)
 = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) 
b) (0,75đ) Xột (0,25đ) 
 Với x Z thỡ A B khi Z 7 ( 2x – 3) (0,25đ) 
 Mà Ư(7) = x = 5; - 2; 2 ; 1 thỡ A B (0,25đ)
c) (1,5đ) Biến đổi = 
 = ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)
 = (0,25đ)
 = (0,25đ) 
 = = (0,25đ) 
 = = (0,25đ) 
 = Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) 
 Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) 
(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x 	 
 y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0	 (0,25đ) 
(y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 	 (0,25đ) 
* x2 + x = - 6 vụ nghiệm vỡ x2 + x + 6 > 0 với mọi x	 (0,25đ) 
* x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0	 (0,25đ) 
x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1	 (0,25đ) 
Vậy nghiệm của phương trỡnh x = - 2 ; x =1	 
b) (1,75đ) 	 
	 (0,25đ) 
(0,5đ) Vỡ ; ; 	
A
B
E
I
D
C
 O
 F
2
1
1
 2
Do đú :	 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 x = -2009	 
Bài 3: (2 điểm) 
a) (1đ) 
Chứng minh EDF vuụng cõn
Ta cú ADE =CDF (c.g.c)EDF cõn tại D 
	Mặt khỏc: ADE =CDF (c.g.c) 	 
Mà = 900 = 900 	 
 = 900. VậyEDF vuụng cõn	 
 b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng
	Theo tớnh chất đường chộo hỡnh vuụng CO là trung trực BD 
A
D
B
C
 E
MàEDF vuụng cõn DI =EF	
	Tương tự BI =EF DI = BI 	
 I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng	 
Bài 4: (2 điểm) 
a) (1đ) 
DE cú độ dài nhỏ nhất
Đặt AB = AC = a khụng đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
Áp dụng định lý Pitago với ADE vuụng tại A cú:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ)
= 2(x –)2 + 	 (0,25đ)
	Ta cú DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = (0,25đ)
 BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC	 (0,25đ)
b) (1đ) 
Tứ giỏc BDEC cú diện tớch nhỏ nhất.
Ta cú: SADE =AD.AE =AD.BD =AD(AB – AD)=(AD2 – AB.AD) (0,25đ)
= –(AD2 – 2.AD + ) + = –(AD – )2 + (0,25đ)
	Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 khụng đổi	 (0,25đ)
 	Do đú min SBDEC =AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)
ĐỀ SỐ 20
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
x2 – y2 – 5x + 5y
2x2 – 5x – 7
Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng:
Bài 3: Cho phân thức: 
Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức đợc xác định.
Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1.
Bài 4: a) Giải phơng trình : 
	b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3
Bài 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình:
	Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất đợc 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trớc kế hoạch một ngày và còn vợt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày.
Bài 6: Cho ∆ ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đờng cao AH và 
	trung tuyến AM. 
Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA
Tính : BC; AH; BH; CH ?
Tính diện tích ∆ AHM ?
Biểu điểm - Đáp án
Đáp án
Biểu điểm
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y)
= (x - y) (x + y – 5) (1 điểm)
b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1)
= (x + 1)(2x – 7). (1 điểm)
Bài 2: Tìm A (1 điểm)
A = 
Bài 3: (2 điểm)
a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 0
 2x 0 và x + 1 0
 x 0 và x -1	(1 điểm)
b) Rút gọn:
	 	(0,5 điểm)
 	(0,25 điểm)
Vì thoả mãn điều kiện của hai tam giác nên 	(0,25 điểm)
Bài 4: a) Điều kiện xác định: x0; x 2
- Giải: x2 + 2x – x +2 = 2;
 x= 0 (loại) hoặc x = - 1. Vậy S = 
b) x2 – 9 < x2 + 4x + 7
 x2 – x2 – 4x - 4
Vậy nghiệm của phơng trình là x > - 4
1 đ
1đ
Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : x ngày
Điều kiện: x nguyên dơng và x > 1
Vậy số ngày tổ đã thực hiện là: x- 1 (ngày)
- Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm)
- Số sản phẩm thực hiện là: 57 (x-1) (sản phẩm)
Theo đề bài ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13
57x – 57 – 50x = 13
7x = 70
x = 10 (thoả mãn điều kiện)
Vậy: số ngày dự định sản xuất là 10 ngày.
Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 . 10 = 500 (sản phẩm)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
Bài 6: a) Xét ∆ ABC và ∆ HBA, có:
Góc A = góc H = 900; có góc B chung
∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc. góc)
b) áp dụng pitago trong ∆ vuông ABC
ta có : BC = = = = 25 (cm)
vì ∆ ABC ~ ∆ HBA nên 
AH = (cm)
BH = (cm)
HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)
c) HM = BM – BH =
SAHM = AH . HM = . 12. 3,5 = 21 (cm2)
Vẽ đúng hình: A
 B H M C
1 đ
1 đ
1 đ
1 đ
1đ
1 đ
ĐỀ SỐ 21
Bài 1(3 điểm): Tỡm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25 
b) 
c) 4x – 12.2x + 32 = 0 
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đụi một khỏc nhau và . 
Tớnh giỏ trị của biểu thức: 
Bài 3 (1,5 điểm): Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thờm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghỡn , thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thờm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chớnh phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tõm. a) Tớnh tổng 
b) Gọi AI là phõn giỏc c