Toán học - Vị trí tương đối của đường tròn

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG
TRÒN
BÀI TẬP
1. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B sao cho hai điểm O và O'
cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB. Biết OA = 30cm, O'A = 26cm, AB = 48cm.
Tính độ dài OO'.
Xem lời giải tại:
2. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong với nhau tại A. Qua A vẽ một cát
tuyến cắt hai đường tròn (O) và (O') lần lượt tại B và C. Kẻ các tiếp tuyến Bx của
đường tròn (O) và Cy của đườn tròn (O'). Chứng minh rằng Bx // Cy.
Xem lời giải tại:
3. Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') đường kính OA.
a.  Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O').
b.  Dây AN của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại M. Chứng minh rằng AM =
MN.
Xem lời giải tại:
4. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Qua A vẽ hai
đường thẳng cắt (O) và (O') lần lượt tại B và C (BC không song song với OO').
a.  Chứng minh OB và O'C song song với nhau.
b.  Vẽ đường kính BD của đường tròn (O), đường kính CE của đường tròn (O').
Chứng minh rằng AB.CE = AC.BD.
Xem lời giải tại:
5. Cho ba đường tròn tâm   cùng có bán kính R và đôi một tiếp xúc
ngoài với nhau. Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba tiếp điểm.
Xem lời giải tại:
6. Cho hai đường tròn (O) và (O') có cùng bán kính, cắt nhau tại hai điểm phân
biệt A và B. Kẻ một cát tuyến chung của hai đường tròn đi qua A cắt (O) tại D và
(O') tại E. Chứng minh rằng BD = BE.
Xem lời giải tại:
7. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài
AB và CD của hai đường tròn, trong đó A và C thuộc (O); B và D thuộc (O'). Tiếp
tuyến chung của hai đường tròn là GH cắt AB và CD theo thứ tự ở E và F; G thuộc
(O), H thuộc (O'). Chứng minh rằng:
a.  AB = EF
b.  EG = FH
Xem lời giải tại:
8. Cho hai đường tròn (O) và (O') nằm ngoài nhau, AB và CD là hai tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn, đường thẳng AD cắt (O) tại điểm M, cắt (O') tại
điểm N. Chứng minh rằng AM = DN.
Xem lời giải tại:
9. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Qua A kẻ cát tuyến CAD và
EAF (C và E thuộc (O), A và F thuộc (O')) sao cho AB là tia phân giác của  .
Hãy chứng minh rằng CD = CF.
Xem lời giải tại:
10. Cho (O' ; R') tiếp xúc trong với đường tròn (O ; R) sao cho điểm O nằm trên
(O'). Một dây cung AB của (O) di động và tiếp xúc với (O') tại C. Hãy xác định vị
trí của dây AB để AC  + BC  đạt giá trị nhỏ nhất.
 Xem lời giải tại:
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG
TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG
BÀI TẬP
11. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây MN vuông góc với OA tại
trung điểm I của OA. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng OA tại E.
Tính độ dài IE theo R.
Xem lời giải tại:
12. Cho điểm O cách đường thẳng (d) là 4cm. Vẽ đường tròn (O ; 5cm).
a.  Chứng minh rằng đường tròn (O) có hai giao điểm với đường thẳng (d).
b.  Gọi hai giao điểm nói trên là B và C, tính độ dài BC
Xem lời giải tại:
13. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Chứng minh rằng AC
là tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính BA.
Xem lời giải tại:
14. Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm và một điểm A cách O là 13cm. Kẻ tiếp
tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.
Xem lời giải tại:
15. Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Đường tròn tâm I đường
kính BH cắt AB tại M. Đường tròn tâm K đường kính HC cắt AC tại N. Gọi O là
giao điểm của AH và MN. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của (I) tại M, là tiếp
tuyển của (K) tại N.
Xem lời giải tại:
16. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính
AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A ; AH). Tiếp tuyến của đường tròn
tại D cắt AC tại E.
a.  Chứng minh rằng tam giác BEC cân.
b.  Gọi I là hình chiếu của A lên BE. Chứng minh rằng AI = AH.
c.  Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của (A ; AH)
d.  Chứng minh rằng BE = BH + DE.
Xem lời giải tại:
17. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB; Qua điểm M nằm trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến cắt
Ax và By tại D và E với DE không song song với AB. Vẽ đường tròn tâm I đường
kính DE. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của (I)
Xem lời giải tại:
18. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R) thỏa mãn OA = 3R, kẻ hai tiếp
tuyến AM và AN với đường tròn , M và N là hai tiếp điểm. Qua E thuộc cung nhỏ
MN, kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn (O) cắt AM và AN lần lượt tại H và K.
Tính chu vi tam giác AHK theo R.
Xem lời giải tại:
19. Cho điểm M ở ngoài (O ; R), qua M ta kẻ cát tuyến MAB qua tâm O và cát
tuyến MCD. Kẻ tiếp tuyến MT. Chứng minh rằng:
a.  MA.MB = MC.MD = MT
b.  MTC     MDT.
Xem lời giải tại:
20. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E là điểm đối
xứng với B qua H. Đường tròn có đường kính là EC cắt AC ở K. Chứng minh rằng
HK là tiếp tuyến của đường tròn.
Xem lời giải tại:
21. Cho tam giác ABC cân tại A, I là giao điểm của các đường phân giác.
a.  Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại
tiếp tam giác BIC.
b.  Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của (O). Hãy chứng minh 
Xem lời giải tại:
22. Cho hình thang vuông ABCD (  =   = 90 ) có   = 90 , với M là trung
điểm AB. Biết AB = 2.a.
a.  Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
b.  Tính tích BC.AD theo a.
Xem lời giải tại:
23. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi d là tiếp tuyến của đường
tròn, A là tiếp điểm. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Qua O kẻ đường thẳng vuông
góc với BM, cắt d tại N. Xác định vị trí của M sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
24. Cho nửa đường tròn đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa
đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên tia Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa
đường tròn, kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm
của CH.
Xem lời giải tại:
25. Cho đường tròn tâm O. Điểm K nằm bên ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến KA, KB
với đường tròn (A và B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của (O). Tiếp tuyến
của (O) tại C cắt AB tại E. Chứng minh rằng:
a.  Tam giác KBC và tam giác OBE đồng dạng với nhau.
b.  CK   OE.
Xem lời giải tại:
BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP
TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
BÀI TẬP
26. Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa
đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đường vuông góc với AB
tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt nửa đường tròn có đường kính AC,
CB theo thứ tự tại M, N.
a.  Tứ giác DMCN là hình gì?
b.  Chứng minh hệ thức 
c.  Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các đường tròn có đường kính
AC và CB.
d.  Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất?
Xem lời giải tại:
27. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến
với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường
tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB.
a.  Chứng minh rằng ba điểm M, O, H thẳng hàng.
b.  Tứ giác AOBH là hình gì?
c.  Khi M di chuyển trên xy thì H di chuyển trên đường nào?
Xem lời giải tại:
28. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R) tiếp xúc ngoài tại A (R > R'). Vẽ các
đường kính AOB, AO'C, dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung
điểm K của BC.
a.  Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi.
b.  Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O'). Chứng minh rằng 3 điểm D, A, I
thẳng hàng.
c.  Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O').
Xem lời giải tại:
29. Cho  ABC vuông ở A, đường cao AH. Đường tròn tâm (A) bán kính AH. Gọi
HD là đường kính của đường tròn   tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt
CA tại E.
a.  Chứng minh  BEC cân
b.  Gọi I là hình chiếu của A trên BE. Chứng minh rằng 
c.  Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn 
d.  Chứng minh rằng 
Xem lời giải tại:
30. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa
nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm
thuộc nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và
Ax, E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:
a. 
b.  ME là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
Xem lời giải tại:
31. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc
nửa đường tròn. H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới AB, vẽ đường tròn (M;
MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn M (C và D là các tiếp điểm khác
H).
a.  Chứng minh rằng C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b.  Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC
+ BD không đổi.
c.  Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi
Xem lời giải tại:
32. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài DE,  . Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I. Gọi M
là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE.
a.  Tứ giác AMIN là hình gì? vì sao?
b.  Chứng minh hệ thức 
c.  Chứng minh rằng OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE.
d.  Tính độ dài DE biết rằng  .
Xem lời giải tại:
33. Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N
đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a.  Chứng minh rằng 
b.  Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của
đường tròn (O)
c.  Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn  .
Xem lời giải tại:
34. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho   vẽ các tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn,   nằm trong   ( ).
Chứng minh rằng:
a.  DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b. 
Xem lời giải tại:
35. Cho hai đường tròn   và   cùng tiếp xúc ngoài với đường tròn 
 sao cho O nằm giữa M và N. Tia đối của tia MO cắt đường tròn (M) tại A.
Vẽ dây AC của đường tròn (M) sao cho  .
a.  Chứng minh rằng đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn (N)
b.  Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại D và E. Tính độ dài DE.
Xem lời giải tại:
36. Cho đường tròn   và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M
di động trên đường thẳng   tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường
tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a.  Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố
định.
b.  Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định
c.  Cho biết  , hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC
là nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Xem lời giải tại:
37. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm I nằm giữa A và B. Gọi
C là một điểm trên nửa đường tròn (O). Đường thẳng qua C vuông góc với IC cắt
các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và B lần lượt ở M và N. 
a. 
b. 
Xem lời giải tại:
38. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, AC là dây cung của nó. Kẻ tiếp
tuyến Ax và kẻ đường phân giác của   cắt đường tròn tại E và BC kéo dài tại
D. Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh:
a.  Tam giác ADB cân
b.  OE // BD
c. 
d.  Khi C chạy trên đường tròn (O) thì D chạy trên đường nào
Xem lời giải tại:
39. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, kẻ tiếp tuyến chung
ngoài MN với   và  . Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là
điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:
a.  MNQP là hình thang cân
b.  PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
c. 
Xem lời giải tại:
40. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc nhau tại A. Gọi BC là một
đường kính của đường tròn, H và K là hình chiếu của B và C trên d. Chứng minh:
a.  BA là tia phân giác của 
b.  Các đường tròn   và   tiếp xúc ngoài với nhau
c.  BC là tiếp tuyến của đường tròn 
d.  Chứng minh các đường tròn  ;   và   cùng đi qua
một điểm.
Xem lời giải tại:
41. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn  .
a.  Tính số đo 
b.  Tính độ dài CD biết 
Xem lời giải tại:
42. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài nhau tại A, kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC, trong đó  . OI cắt AB tại K, IO’ cắt AC tại H
a.  Tứ giác IKAH là hình gì?
b.  Tứ giác OBCO’ là hình gì? Tính chu vi của tứ giác OBCO’.
c.  Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn (O) ( ) , chứng minh rằng ba
điểm B, O, D thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
43. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau, kẻ các tiếp tuyến chung ngoài
AB và CD (A, C thuộc (O); B, D thuộc (O’)). Kẻ tiếp tuyến chung trong GH (G
thuộc (O); H thuộc (O’)). GH cắt AB, CD theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:
a. 
b. 
Xem lời giải tại:
44. Cho   có  . Gọi (I) là đường tròn nội tiếp 
 đường vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự M, N. Chứng minh
rằng:
a. 
b. 
Xem lời giải tại: