Toán học - Các đường trong tam giác

 giải tại:
38. Cho hai điểm phân biệt A, B không thuộc đường thẳng d. 
Xác định vị trí điểm M trên d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
39. Cho ΔABC điểm M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng:
AB + AC − BC
2
< AM <
AB + AC
2
.
Xem lời giải tại:
CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
40. Cho Δ ABC cân tại A, đường trung tuyến AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm
D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = BC. Đường
thẳng AB cắt DE tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của DE.
Xem lời giải tại:
41. Cho Δ ABC có trọng tâm G và đường trung tuyến AD. Kéo dài GD thêm một
đoạn DI = DG. Gọi E là trung điểm của AB. IE cắt BG tại M. Chứng minh M là
trọng tâm của Δ ABI.
Xem lời giải tại:
42. Cho Δ ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng
AB + AC − BC
2
< AM
Xem lời giải tại:
43. Cho Δ ABC vuông tại A, AB = 5, AC = 12. Ba đường trung tuyến AD, BE, CF
gặp nhau tại G. Hãy so sánh GA, GB, GC.
Xem lời giải tại:
44. Cho ΔABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Chứng minh
rằng:
a.  BD + CE >
3
2
BC.
b.  BD <
AB + BC
2
Xem lời giải tại:
45. Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam
giác đó là tam giác cân.
Xem lời giải tại:
46. Cho ΔABC, hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại G. Cho 
BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: a2 + b2 = 5c2.
Xem lời giải tại:
47. ΔABC có ba đường trung tuyến AA', BB', CC'. Chứng minh rằng:
AA ′ + BB ′ + CC ′ >
3
4
(AB + BC + CA).
Xem lời giải tại:
48. ΔABC có trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền. Chứng minh rằng Δ ABC
vuông tại A.
Xem lời giải tại:
49. Cho Δ ABC có các đường trung tuyến AD = 12 cm, BE = 9 cm, CF = 15 cm.
Tính độ dài cạnh BC theo cm (làm tròn đến số thập phân thứ 2).
Xem lời giải tại:
50. Cho ΔABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho 
^
DAE =
^
ABD. Chứng minh rằng 
^
DAE =
^
ECB.
Xem lời giải tại:
51. Cho ΔABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Từ F kẻ đường thẳng song
song với AD cắt ED tại I.
a.  Chứng minh rằng IC // BE và IC = BE.
b.  Cho biết AD ⊥ BE, chứng minh ΔICF là tam giác vuông và chu vi của tam giác
này bằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của ΔABC.
Xem lời giải tại:
ĐƯƠNG PHÂN GIÁC
52. Cho Δ ABC, hai đường phân giác BD và CE của tam giác đó cắt nhau tại O. Tia
AO cắt BC tại M. Tam giác ABC phải có điều kiện gì để AM⊥BC.
Xem lời giải tại:
53. Cho Δ ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng m // BC. Tia phân giác của Bˆ cắt
đường thẳng m tại M. Chứng minh rằng:
a.  Đường thẳng AM là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của Δ ABC.
b.  Đường thẳng CM là đường phân giác ngoài tại đỉnh C của Δ ABC.
Xem lời giải tại:
54. Cho ΔABC vuông tại A. I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của
tam giác. Gọi r là khoảng cách từ I đến ba cạnh của ΔABC. Chứng minh rằng: 
AB + AC − BC = 2r.
Xem lời giải tại:
55. Cho Δ ABC có đường cao AH, đường phân giác BD. Biết: Bˆ =
^
ADB = 450.
Chứng minh rằng HD // AB.
Xem lời giải tại:
56. Cho Δ ABC. Gọi I là giao điểm hai phân giác của hai Aˆ và Bˆ. Qua I kẻ đường
thẳng song song với BC, cắt AB ở M, cắt AC ở N. Chứng minh rằng: 
MN = BM + CN.
Xem lời giải tại:
57. Cho Δ ABC cân tại A, đường phân giác CF. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 
AE = AF. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BE,
CF đồng quy.
Xem lời giải tại:
58. Cho Δ ABC, Aˆ = 1200, đường phân giác AD. Tia phân giác của góc ADC cắt AC
tại I và cắt đường thẳng AB tại K. Gọi tia Cx là tia đối của tia CB. Chứng minh
rằng:
a.  Tia BI là tia phân giác của góc B.
b.  Tia CK là tia phân giác của góc ACx.
Xem lời giải tại:
59. Cho Δ ABC vuông tại A. Kẻ AH⊥BC( H  ∈  BC ). Các tia phân giác của các 
^
HAC và 
^
AHC cắt nhau ở I. Tia phân giác của 
^
HAB cắt BC ở D. Chứng minh rằng:
CI đi qua trung điểm của AD.
Xem lời giải tại:
60. Cho góc nhọn 
^
xOy và điểm A nằm trên tia phân giác của góc đó. Điểm B
thuộc tia Ox sao cho 
^
OAB = 450, gọi H là hình chiếu của B lên Oy.
a.  Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc
^
BHy.
b.  Tính số đo góc 
^
OHA
Xem lời giải tại:
61. Cho Δ ABC vuông tại A. Vẽ Δ MBC vuông cân ở M sao cho M và A thuộc hai
nửa mặt phẳng đối nhau. Chứng minh rằng:
a.  Điểm M cách đều hai cạnh AB và AC.
b.  Tia AM là tia phân giác của góc A.
Xem lời giải tại:
62. Cho Δ ABC, Bˆ − Cˆ = 900. Vẽ đường phân giác AM của tam giác đó.
a.  Tính số đo của góc AMB.
b.  Vẽ đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại
N. Chứng minh rằng AM = AN.
Xem lời giải tại:
63. Cho Δ ABC có các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I và ID = IE. CMR: 
Bˆ = Cˆ hoặc Bˆ + Cˆ = 1200.
Xem lời giải tại:
64. Cho Δ ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MH ⊥ AB. Gọi E là một điểm
thuộc đoạn AH. Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho 
^
AEF = 2
^
EMH. Chứng minh
rằng FM là tia phân giác của 
^
EFC.
a.  DH⊥AC.
b.  CH⊥AD.
Xem lời giải tại:
ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, ĐƯỜNG CAO
65. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng:
HA + HB + HC <
2
3
(AB + BC + CA).
Xem lời giải tại:
66. Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy, B và C lần lượt là hai điểm di động trên
Ox và Oy. Tìm vị trí của B và C để chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
67. Cho Δ ABC có Bˆ > 900. Gọi d là đường trung trực của BC, O là giao điểm của
AB và d. Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA. 
Chứng minh rằng: d là đường trung trực của AE.
Xem lời giải tại:
68. Chứng minh trong một tam giác vuông giao điểm của ba đường trung trực
của ba cạnh chính là trung điểm của cạnh huyền.
Xem lời giải tại:
69. Cho Δ ABC vuông cân tại B. Trên cạnh AB lấy điểm H, trên tia đối của tia BC
lấy điểm D sao cho BD = BH. Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
70. Cho Δ ABC, Aˆ = 300, hai đường cao BH, CK (H ∈ AC, K ∈ AB). Gọi E và F lần
lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh:
a.  Δ BEH và Δ CKF là các tam giác đều.
b.  HE⊥KF.
Xem lời giải tại:
71. Cho ΔABC và đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của ba
đường phân giác của ΔABK trùng với giao điểm ba đường trung trực của ΔABC.
Tính số đo các góc của ΔABC.
Xem lời giải tại:
72. Chứng minh rằng trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm và giao điểm
của các đường trung trực của một tam giác cùng nằm trên một đường thẳng.
Xem lời giải tại:
73. Cho ΔABC. Hai điểm M và N theo thứ tự di chuyển trên hai tia BA và CA sao
cho BM + CN = BC. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một
điểm cố định.
Xem lời giải tại:
74. Cho Δ ABC cân tại A, Aˆ = 450. Vẽ đường phân giác AD. Đường trung trực của
AB cắt AC tại M. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho BN = CM. Chứng minh rằng
ba đường thẳng AD, BM và CN đồng quy.
Xem lời giải tại:
a.  Chứng minh Δ BOC cân ở O.
b.  Tính số đo góc BOC.
75. Cho 
^
xOy = 500 và điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B sao cho Ox là trung
trực của AB, vẽ điểm C sao cho Oy là trung trực của AC.
Xem lời giải tại:
76. Cho góc nhọn aOb và một điểm M nằm trong góc ấy. Từ M kẻ MA ⊥ Oa và
MB ⊥ Ob. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng OM và P là trung điểm của đoạn
thẳng AB. Chứng minh CP là trung trực của cạnh AB của tam giác ACB.
Xem lời giải tại:
77. Cho ΔABC nhọn, AB < AC và đường cao AH.
a.  Chứng minh 
^
BAH <
^
HAC.
b.  Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. CM: Δ ABD là tam giác cân.
c.  Từ D kẻ DE⊥AC, từ C kẻ CF⊥AD. CMR: ba đường thẳng AH, DE, CF cùng đi
qua một điểm.
Xem lời giải tại:
78. Cho Δ ABC ( AB < AC ). Vẽ đường trung trực m của cạnh BC. Gọi M là một
điểm bất kì trên đường thẳng m. Hãy xác định vi trí của M để chu vi tam giác
AMB nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
79. Cho H là trực tâm của Δ ABC. CMR: HA + HB + HC < AB + AC.
Xem lời giải tại:
80. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là trung điểm của BC, E là trung
điểm của HC, F là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: CF⊥AD; BF⊥AE
Xem lời giải tại:
81. Cho ΔABC cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực của đoạn
thẳng AC cắt đường thẳng BC tại M. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho
AN = BM. 
a.  ΔCMN là tam giác gì? Vì sao?
b.  ΔABC cho trước phải có điều kiện gì CM ⊥ CN?
Xem lời giải tại:
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI TẬP TỔNG HỢP CƠ BẢN
82. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ phân giác BD của góc B, kẻ AI⊥BD, AI cắt
BC tại E.
a.  Chứng minh BE = BA.
b.  Chứng minh tam giác BED là tam giác vuông.
c.  Đường thẳng DE cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh AE // FC.
Xem lời giải tại:
83. Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a.  Tính BC
b.  Trung trực của BC cắt AC tại D và cắt AB tại F. Chứng minh rằng 
^
DBC =
^
DCB
c.  Tên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho DE = DC chứng minh tam giác BCE
vuông. Suy ra FD là phân giác của 
^
ADE
d.  Chứng minh rằng BE⊥FC.
Xem lời giải tại:
84. Cho tam giác ABC biết AC < AB, vẽ trung tuyến AM.
a.  So sánh các góc ABC và ACB
b.  Chứng minh rằng 
^
BAM <
^
CAM
c.  Chứng minh rằng điểm D, chân của đường phân giác AD nằm giữa trung
điểm M của cạnh BC và điểm H (chân đường cao kẻ từ đỉnh A).
Xem lời giải tại:
85. Cho tam giác ABC, phân giác trong của góc B cắt phân giác trong của góc C
tại điểm I. Phân giác ngoài của góc B cắt phân giác ngoài của góc C tại điểm J. Tia
phân giác trong của góc B cắt tia phân giác ngoài của góc C tại điểm K.
a.  Chứng minh rằng BI⊥BJ; CI⊥CJ.
b.  Tính các góc 
^
BIC;
^
BJC;
^
BKC theo góc A.
c.  Áp dụng, tính các góc trên với Aˆ = 700
d.  Chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
86. Cho tam giác ABC, kẻ phân giác BD. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với BD, cắt BD
ở E và BC ở F. Gọi M, N là các trung điểm của các cạnh AB, AC.
a.  Chứng minh rằng AB=BF
b.  Chứng minh ME//BC
c.  Chứng minh ba điểm M, E, N thẳng hàng.
d.  Gọi J là trung điểm của đoạn thẳng BF. Chứng minh ba đường thẳng AJ, BE, và
FM đồng quy.
Xem lời giải tại:
87. Cho tam giác ABC; AD và AH theo thứ tự là phân giác và đường cao kẻ từ
đỉnh A. Chứng minh rằng nếu AC < AB thì 
a. 
^
ADC <
^
ADB
b.  CD < BD
c.  Điểm H nằm trên tia DC
Xem lời giải tại:
88. Cho tam giác ABC, AB < BC; AC < BC. Trên cạnh BC có hai điểm D, E sao cho
BD=AB; CE=AC, kẻ BK⊥AD , BK cắt AE ở điểm N, kẻ CP⊥AE , CP cắt AD ở điểm
F. 
a.  BK giao CP tại I. Chứng minh AI là phân giác của góc BAC.
b.  Chứng minh AI⊥FN
c.  Cho biết AB=7(cm); AC=5(cm); BC=8(cm). Hãy tính độ dài KP theo (cm).
Xem lời giải tại:
89. Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C vẽ tia 
Ax⊥AB và lấy trên đó một điểm E sao cho AE=AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC,
không chứa điểm B, vẽ tia Ay⊥AC và lấy trên đó một điểm F sao cho AF=AC. Gọi
D là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm A’ sao cho A’D=AD
a.  Chứng minh rằng 
^
ACA ′ =
^
FAE
b.  Chứng minh EF=2AD
c.  Chứng minh AD⊥EF
d.  Qua E kẻ đường thẳng song song với Ay và qua F kẻ đường thẳng song song
với Ax. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ba điểm A, I,
trung điểm K của EF thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
90. Từ các trung điểm I, K, L của cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC, ta kẻ các
đường trung trực, và trên các đường trung trực ấy, về phía ngoài của tam giác
theo thứ tự ta lấy các điểm M, N, P sao cho IM =
1
2
AB; KN =
1
2
AC; LP =
1
2
BC.
a.  Chứng minh MK=KP và MK⊥KP
b.  Chứng minh MC=NP
c.  Chứng minh MC⊥NP
d.  Chứng minh ba đường thẳng AP, BN, MC đồng quy.
Xem lời giải tại:
91. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, phân giác trong tại đỉnh B cắt cạnh
AC tại điểm D. từ D ta kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Tia ED và tia BA cắt
nhau tại điểm F.
a.  So sánh DA và DC
b.  Chứng minh BD⊥FC
c.  Chứng minh BC=BF
d.  Chứng minh AE//FC
Xem lời giải tại:
92. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh C. Kẻ đường cao CH, lấy điểm M trên
AB và lấy điểm N trên AC sao cho BM=BC, CN=CH.
a.  Chứng minh MN⊥AC
b.  Từ kết quả trên suy ra mệnh đề “ Trong một tam giác vuông, tổng hai cạnh
góc vuông bé hơn tổng của cạnh huyền và đường cao tương ứng với cạnh
huyền”
Xem lời giải tại:
93. Cho đoạn thẳng AB, từ A và B trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB, ta kẻ các tia
Ax, By cùng vuông góc với AB, gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, và C là
một điểm bất kỳ nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, chứa các tia Ax, By
sao cho OC=OA, đường vuông góc với OC kẻ qua điểm C cắt Ax ở P và cắt By ở Q.
Chứng minh rằng:
a.  PQ = AP + BQ
b.  Tam giác POQ là tam giác vuông.
c.  Tam giác ACB là tam giác vuông.
d.  AC//OQ và BC//OP
Xem lời giải tại:
94. Cho hai góc xOy và yOz kề nhau và bằng nhau, kẻ tia phân giác Om của góc
xOy và On của góc yOz lấy trên các tia Ox, Om, Oy, On, Oz theo thứ tự các điểm A,
B, C, D, E sao cho OA = OB = OC = OD = OE.
a.  So sánh các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE
b.  So sánh các góc BAC và DCE
c.  So sánh các đoạn thẳng AD và BE
d.  Chứng minh rằng OD⊥EC; OB⊥AC
Xem lời giải tại:
95. Cho tam giác vuông cân ABC, đỉnh A. Cạnh góc vuông AB=AC =a, trên tia AB
lấy điểm D mà AD=2a và điểm E mà AE=3a. Trên tia CA lấy điểm F sao cho
AF=2a. Kẻ tia Bx⊥AB (trong nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C) Bx cắt
đường thẳng vuông góc với CF kẻ qua F tại điểm G. Chứng minh rằng:
a. 
^
CGB =
^
CEA
b.  Tam giác CDG là tam giác vuông cân
c. 
^
ABC =
^
ADC +
^
AEC
Xem lời giải tại:
96. Cho tam giác ABC, cân tại A, đường cao AH, biết AB=5cm, BC=6cm.
a.  Tính độ dài đoạn thẳng BH và AH.
b.  Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng
hàng.
c.  Chứng minh rằng 
^
ABG =
^
ACG.
Xem lời giải tại:
97. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH, trên đáy BC lấy điểm M, vẽ 
MD⊥AB;ME⊥AC;MF⊥BH .
a.  Chứng minh rằng ME=FH
b.  Chứng minh tam giác ΔDBM = ΔFMB
c.  Chứng minh khi M chạy trên BC thì tổng MD+ME có giá trị không đổi
d.  Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho KC=EH. Chứng minh rằng: trung
điểm của KD nằm trên cạnh BC
Xem lời giải tại:
98. Cho tam giác ABC, gọi E, F theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AC.
Trên tia đối của FB ta lấy điểm P sao cho PF=BF. Trên tia đối của tia EC, ta lấy
điểm Q sao cho QE=CE.
a.  Chứng minh AP=AQ
b.  Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng
c.  Chứng minh BQ//AC và CP//AB
d.  Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB, chứng minh rằng 
Chu vi của tam giác PQR bằng hai lần chu vi của tam giác ABC.
e.  Chứng minh ba đường thẳng AR, PB, CQ đồng quy.
Xem lời giải tại:
99. Cho hai đường thẳng p và p’ song song với nhau. Một đường thẳng q cắt p và
p’ lần lượt tại các điểm A, B. Một đường thẳng q’//q cắt p và p’ lần lượt tại các
điểm D, C.
a.  Chứng minh AD=BC; AB=DC.
b.  Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh O là trung điểm của AC, đồng
thời cũng là trung điểm của BD.
c.  Một điểm M thuộc đoạn AD và một điểm P thuộc đoạn BC sao cho AM=CP.
Chứng minh điểm O là trung điểm của đoạn thẳng MP.
d.  Một đường thẳng đi qua O, cắt đoạn thẳng AB tại điểm Q và cắt đoạn thẳng
DC tại điểm N. Chứng minh MN//PQ và MQ//NP.
Xem lời giải tại:
100. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ 
HI⊥AB; HK⊥AC.
a.  Chứng minh rằng HI⊥HK
b.  Chứng minh IK=AH
c.  Gọi O là giao điểm của AH và IK, chứng minh OI=OK=OA=OH
d.  Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh AM⊥KI
Xem lời giải tại:
101. Cho tam giác ABC, cân tại A  Aˆ < 900 . Hai đường cao BD và CE cắt nhau
tại H, tia AH cắt BC tại I.
a.  Chứng minh rằng: ΔABD = ΔACE
b.  Chứng minh I là trung điểm của BC.
c.  Từ C kẻ đường thẳng d vuông góc với AC, d cắt đường thẳng AH tại F. 
Chứng minh rằng CB là tia phân giác của 
^
FCH.
d.  Giả sử 
^
BAC = 600 và AB = 4 cm. Tính khoảng cách từ B đến đường thẳng CF.
( )
Xem lời giải tại:
102. Cho ΔABC vuông tại A. Đường phân giác của góc 
^
ABC cắt AC tại D. Trên
cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
a.  Chứng minh ΔABD = ΔEBD
b.  Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với AC cắt BD tại K. 
Chứng minh tam giác BCK cân tại C.
c.  Vẽ CH vuông góc với BK. Chứng minh CH / /AE.
Xem lời giải tại:
103. Cho tam giác đều ABC, hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh
rằng:
a.  ΔBCD = ΔCBE
b.  ΔBHD = ΔCHE
c.  AH là đường trung trực của BC.
d.  Từ B kẻ đường thẳng song song với DC, cắt AC tại I. 
Chứng minh rằng ΔBCI cân.
Xem lời giải tại:
104. Cho ΔABC có Aˆ = 600; AB < AC, đường cao BH(H ∈ AC) .
a.  So sánh các góc 
^
ABC;
^
ACB
b.  Tính 
^
ABH?
c.  Vẽ AD là phân giác của góc A (D ∈ BC), vẽ BI⊥AD tại I. 
Chứng minh rằng ΔAIB = ΔBHA .
d.  Tia BI cắt AC ở E. Chứng minh ΔABE đều.
e.  Chứng minh DC > DB.
Xem lời giải tại:
105. Cho tam giác ABC, vuông tại A, Cˆ = 600, trên BC lấy điểm E sao cho 
EC = AC.
a.  Chứng minh rằng ΔAEC đều.
b.  Chứng minh BE = AC.
c.  Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại F. 
Chứng minh F là trung điểm của AB.
d.  Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt EF tại G. BG cắt AE tại H. 
Chứng minh CH⊥AE 
Xem lời giải tại:
106. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy
điểm D sao cho ID = IB. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; CD và AB. Các
đường AM, AN cắt BD theo thứ tự G; K. Chứng minh rằng:
a.  Ba điểm C; G ;P thẳng hàng.
b.  BG = GK = KD.
Xem lời giải tại:
107. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH. Trên tia HA lấy
điểm P sao cho HP = HB và trên HC lấy điểm M sao cho HM = HA. Chứng minh
rằng:
a.  HB < HA < HC
b.  P là trực tâm của ΔABM
Xem lời giải tại:
108. Cho ΔABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài tam giác ΔABC,
các tam giác ABD vuông cân tại B và ACE vuông cân tại E. trên tia đối của tia AH
lấy điểm K sao cho AK = BC. Chứng minh rằng:
a.  ΔDBC = ΔBAK
b.  DC⊥KB
c.  CD, KH, BE đồng quy tại một điểm.
Xem lời giải tại:
109. Cho ΔABC có ba góc nhọn, vẽ ra phía ngoài của ΔABC các tam giác đều
ABD và ACE. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD, I là trung điểm của BC, Dựng
điểm K sao cho I là trung điểm của HK. Chứng minh rằng:
a.  ΔAHE = ΔCKE.
b.  ΔEHK đều.
Xem lời giải tại:
110. Cho tam giác ABC , Aˆ = 300, hai đường cao BH, CK (H ∈ AC, K ∈ AB). Gọi E
và F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh:
a.  Tam giác BEH và tam giác CKF là các tam giác đều.
b.  HE⊥KF
Xem lời giải tại:
111. Cho tam giác ABC vuông ở A, 
^
ABC = 600. D là một điểm trên cạnh AC sao
cho 
^
ABD =
1
3
^
ABC , E là một điểm trên cạnh AB sao cho 
^
ACE =
1
3
^
ACB. Gọi F là
giao điểm của BD và CE, I và K là hình chiếu của điểm F lên BC và AC. Lấy điểm G
và H sao cho I là trung điểm của FG, K là trung điểm của FH.
a.  Tính 
^
BFE
b.  Chứng minh rằng:∆CHG đều
c.  Chứng minh rằng:Ba điểm H, G, D thẳng hàng
d.  Chứng minh rằng:Tam giác DEF là tam giác cân.
Xem lời giải tại:
112. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho 
BD = BA và 
CE = CA. Gọi I là giao điểm của các phân giác của ΔABC.
a.  Chứng minh rằng I là giao điểm các đường trung trực của ΔADE .
b.  Gọi m là khoảng cách từ I đến các cạnh của ΔABC. Tính DE theo m.
c.  Tính 
^
DIE?
Xem lời giải tại:
113. Cho ΔABC, các trung tuyến BE và CD. Trên tia đối của tia EB lấy điểm I sao
cho EI = EB. Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DC = DK.
a.  Chứng minh A là trung điểm của KI.
b.  BK cắt CI tại F. Chứng minh BI, CK, FA đồng quy tại G(là trọng tâm của tam
giác ABC).
c.  FA cắt BC tại P. Chứng minh GP =
1
4
GF.
Xem lời giải tại:
114. Cho tam giác đều AOB. Trên tia đối của các tia OA, OB lấy theo thứ tự hai
điểm C, D sao cho OC = OD. Từ B và C kẻ BM⊥AC; CN⊥BD. Gọi P là trung điểm
của BC. Chứng minh:
a.  ΔCOD đều.
b.  AD = BC.
c.  ΔMNP đều.
Xem lời giải tại:
115. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi AH là đường cao lớn nhất trong các đường cao
của tam giác đó, BE là trung tuyến. Biết AH=BE.
a.  Chứng minh rằng Bˆ ≤ 600
b.  Với điều kiện nào của tam giác ABC để Bˆ = 600
Xem lời giải tại:
116. Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có AB = A ′B ′ , AC = A ′C ′ . Chứng
minh rằng:
a.  Nếu Aˆ >
^
A ′  thì BC > B ′C ′
b.  Nếu BC > B ′