Toán học - Bài tập về tứ giác nội tiếp

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
BÀI TẬP
1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) có AB = 8cm, AC = 15 cm. Đường cao AH =
5cm, tính bán kính R của (O).
Xem lời giải tại:
2. Chứng minh rằng chân các đường vuông góc kẻ từ một điểm thuộc đường
tròn ngoại tiếp tam giác đến ba cạnh của tam giác ấy nằm trên một đường thẳng.
( Bài toán: Đường thẳng Simson )
Xem lời giải tại:
3. Cho tam giác ABC ( AB < AC ), đường trung tuyến AD và đường phân giác AE.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng
minh rằng BM = CN.
Xem lời giải tại:
4. Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 
1
3
BC. Trên tia
đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF = 
1
2
BC. Gọi M là giao điểm của AE và BF.
Chứng minh rằng năm điểm A, B, C , D, M cùng thuộc một đường tròn.
Xem lời giải tại:
5. Qua điểm A nằm ngoài (O) kẻ cát tuyến ABC với đường tròn. Các tiếp tuyến
của (O) tại B và C cắt nhau tại K. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AO cắt (O)
tại E và F ( E nằm giữa K và F ). Gọi M là giao điểm của OK và BC. Chứng minh
rằng:
a.  Tứ giác EMOF nội tiếp.
b.  AE và AF là các tiếp tuyến của (O)
Xem lời giải tại:
6. Trên (O) có một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó. Trên dây AB lấy
hai điểm E và H. Các đường thẳng SE và SH cắt đường tròn theo thứ tự tại C và
D. Chứng minh ECDH là tứ giác nội tiếp.
Xem lời giải tại:
7. Cho ΔABC, các đường phân giác trong của Bˆ và Cˆ cắt nhau tại S, các đường
phân giác ngoài của Bˆ và Cˆ cắt nhau tại E. Chứng minh BSCE là tứ giác nội tiếp.
Xem lời giải tại:
8. Cho ΔABC cân tại A, Aˆ = 200. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C
lấy điểm D sao cho DA = DB;
^
DAB = 400. Gọi E là giao điểm của AB và CD.
a.  Chứng minh ACBD là tứ giác nội tiếp
b.  Tính 
^
AED = ?
Xem lời giải tại:
9. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Biết 
AE. EC = BE. ED. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
Xem lời giải tại:
10. Cho hình thang ABCD nội tiếp (O). Các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E,
các cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau ở F. Chứng minh rằng:
a.  Bốn điểm A, D, O, E cùng thuộc một đường tròn
b.  Tứ giác AOCF nội tiếp.
Xem lời giải tại:
11. Cho ΔABC không có góc tù. Đường cao AH và đường trung tuyến AM không
trùng nhau (H, M ∈ BC). Gọi N là trung điểm của AB. Cho biết 
^
BAH =
^
CAM. 
a.  Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp
b.  Tính 
^
BAC = ?
Xem lời giải tại:
12. Chứng minh rằng nếu ABCD là tứ giác nội tiếp thì 
AB. CD + AD. BC = AC. BD.
Xem lời giải tại:
13. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt (O’) tại C, tia
O’A cắt (O) tại D. Chứng minh:
a.  Tứ giác OO’CD nội tiếp.
b.  Năm điểm O, O’, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
Xem lời giải tại:
14. Cho hình vuông ABCD, điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C và vuông
góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F, tia CM cắt đường thẳng AD tại
N. Chứng minh:
a.  Các tứ giác AMCF, ANEC nội tiếp đường tròn
b.  CM + CN = EF
Xem lời giải tại:
15. Trong 
^
AOB < 900 lấy một điểm C. Kẻ CD⊥OA (D ∈ OA), CE⊥OB (E ∈ OB)
. Từ điểm D và điểm E kẻ DN⊥OB (N ∈ OB), EM⊥OA (M ∈ OA). Chứng minh 
OC⊥MN.
Xem lời giải tại:
16. Cho ΔABC, Aˆ = 900. Điểm E di động giữa A và B. Qua B vẽ một đường thẳng
vuông góc với tia CE tại D và cắt tia CA tại H. Chứng minh rằng:
a.  Tứ giác ADBC nội tiếp
b. 
^
ADH có số đo không đổi khi E di động giữa A và B
c.  Khi E di động giữa A và B thì BA. BE + CD. CE không đổi.
Xem lời giải tại:
17. Cho hình vuông ABCD, E và F là hai điểm di động theo thứ tự nằm giữa B, C
và C, D sao cho 
^
EAF = 450. Hai đoạn thẳng AE và AF lần lượt cắt BD tại M và N.
Vẽ AH⊥EF (H ∈ EF). Chứng minh:
a.  Ba đường thẳng AH, FM, EN đồng quy
b.  Đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
c.  SAMN = SMNFE.
Xem lời giải tại:
18. Cho ΔABC, AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên tia đối của tia
CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp ΔAMN
luôn đi qua một điểm cố định khác A.
Xem lời giải tại:
19. Cho hai điểm O và P cố định. Cho 
^
xOy = 600 quay quanh điểm O sao cho
điểm P luôn nằm trong góc đó. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của P trên Ox và
Oy. Đường thẳng PK cắt Ox tại A, đường thẳng PH cắt Oy tại B.
a.  Chứng minh HK, AB có độ dài không đổi
b.  Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OP và AB. Chứng minh tứ giác MKNH nội
tiếp
c.  Chứng minh trung điểm I của HK di động trên một đường tròn cố định.
Xem lời giải tại:
20. Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm cố định nằm giữa A và
B. Lấy D trên nửa đường tròn. Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với CD lần
lượt cắt các tiếp tuyến Ax, By tại M và N. Gọi P là giao điểm của AD và CM, Q là
giao điểm của BD và CN. Chứng minh:
a.  PQ // AB
b.  CM. CN ≥ 2AC. BC
Xem lời giải tại:
21. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Vẽ các đường kính
AOC, AO’D. Đường thẳng AC cắt (O’) tại E. Đường thẳng AD cắt (O) tại F. Chứng
minh:
a.  Ba điểm C, B, D thẳng hàng
b.  Tứ giác CDEF nội tiếp
c.  A là tâm đường tròn nội tiếp của ΔBEF.
Xem lời giải tại:
22. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC (B nằm
giữa A và C) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của T trên OA. Chứng minh:
a.  AT2 = AB. AC
b.  AB. AC = AH. AO
c.  Tứ giác OHBC nội tiếp.
Xem lời giải tại:
23. Cho ΔABC, AB = AC. Từ một điểm M trên cạnh BC kẻ MD / /AB (D ∈ AC);
ME / /AC (E ∈ AB). Gọi N là điểm đối xứng với M qua DE. Chứng minh:
a.  ΔBEN cân
b.  Các tứ giác ADEN, ANBC nội tiếp.
Xem lời giải tại:
24. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và M là điểm chính giữa của cung
AB ( không chứa điểm C và D). Gọi giao điểm của MC và MD với AB lần lượt là E
và F, giao điểm của AD và MC là I, giao điểm của BC và MD là K. Chứng minh:
a. 
^
CID =
^
CKD
b.  Tứ giác CDFE nội tiếp
c.  IK // AB
d.  Giả sử ba điểm A, B, C cố định còn D di động trên cung ACB. Chứng minh tâm
đường tròn ngoại tiếp ΔAFD chuyển động trên một đường thẳng cố định.
Xem lời giải tại:
25. Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự cùng nằm trên một đường thẳng. Qua A kẻ
đường thẳng d⊥AC. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC và trên đó lấy điểm M
bất kì. Tia CM cắt đường thẳng d tại D, tia AM cắt (O) tại N (N ≠ M), tia DB cắt
(O) tại P (P ≠ B). Chứng minh: 
a.  Tứ giác ABMD nội tiếp
b.  Tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (O)
c.  AD // NP
Xem lời giải tại:
26. Cho ΔABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ dây AD // BC (AD <
BC), AC cắt BD tại I. Tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M.
Đường cao AH của ΔABC (H ∈ BC), kéo dài AH cắt (O) tại E. 
a.  Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp
b.  Tính 
^
MIO = ?
c. 
^
BCE =
^
OCA.
Xem lời giải tại:
27. Trên đường tròn (O; R) cho dây cung BC cố định. Một điểm A di chuyển trên
cung lớn BC (A ≠ B, C). Hai đường cao AE và BF của ΔABC cắt nhau tại H (
E ∈ BC, F ∈ AC). Đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại I. Gọi K là hình chiếu
của O trên BC. Chứng minh:
a.  Tứ giác ABEF nội tiếp
b.  ΔABC ∼ ΔEFC
c.  H và I đối xứng với nhau qua BC
d.  Tỉ số 
AH
OK
 không đổi và H di chuyển trên một cung tròn cố định khi A di
chuyển trên cung lớn BC.
Xem lời giải tại:
28. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng cố định (B nằm giữa A và C). Một đường tròn
(O) thay đổi đi qua B và C. Vẽ đường kính MN vuông góc với BC tại D (M nằm
trên cung nhỏ BC). Tia AN cắt đường tròn (O) tại một điểm thứ hai là F. Hai dây
BC và MF cắt nhau tại E. Chứng minh:
a.  Tứ giác DEFN nội tiếp
b.  AD. AE = AF. AN
c.  Đường thẳng MF đi qua một điểm cố định.
Xem lời giải tại:
29. Cho đường tròn (O; R), đường kính ND. Lấy A sao cho N là trung điểm của
AO. Từ A ta vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Tia CN
cắt AB tại điểm M. Chứng minh:
a.  Tứ giác ABOC nội tiếp
b.  MB2 = MC.MN
c.  AC // BD
d.  Tứ giác ABDC là hình thoi. Tính diện tích hình thoi đó.
Xem lời giải tại:
30. Cho nửa đường tròn đường kính BC và một điểm A thuộc nửa đường tròn
đó. Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Vẽ về cùng một phía với nửa đường tròn
đã cho các nửa đường tròn (I) và (K) có đường kính theo thứ tự là HB và HC,
chúng cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E. Chứng minh:
a.  Tứ giác ADHE là hình chữ nhật
b.  Tứ giác BDEC nội tiếp
c.  DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
Xem lời giải tại:
31. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng đi qua
B và vuông góc với AB cắt hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C, D khác điểm
B. Gọi E là điểm thuộc cung nhỏ BC của (O), đường thẳng BE cắt (O') tại điểm
thứ hai là F. Hai đường thẳng CE và DF cắt nhau tại M. Gọi N là giao điểm của
đường thẳng AM và (O’).
a.  Chứng minh tứ giác ACMD nội tiếp
b.  Chứng minh BN // CM
c.  Gọi K là điểm đối xứng của D qua F. Chứng minh K thuộc đường tròn cố định
khi E thay đổi trên cung nhỏ BC của (O)
Xem lời giải tại:
32. Cho (O; R) và một dây cung BC của đường tròn sao cho 
^
BOC = 1200. Các tiếp
tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A. Gọi M là điểm tùy ý trên cung
nhỏ BC (M không trùng B, C). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt AB tại E
và cắt AC tại F.
a.  Tính 
^
EOF = ?
b.  Chứng minh: ΔABC đều, tính chu vi ΔAEF
c.  Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BC với OE và OF. Chứng minh tứ giác OIFC
nội tiếp và các đường thẳng OM, EK, FI đồng quy
d.  Chứng minh: ΔOIK ∼ ΔOFE và FE = 2KI.
Xem lời giải tại:
33. Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Trên tia AB lấy một điểm C nằm ngoài
đường tròn. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ, cắt dây
AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Các dây AB và QI cắt nhau tại
K.
a.  Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp
b.  Chứng minh CB. CA = CK. CD
c.  Chứng minh IC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh I của ΔAIB.
Xem lời giải tại:
34. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại
I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD
tại F. Chứng minh:
a.  BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b.  AE. AF = AC2.
c.  Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc
một đường thẳng cố định.
Xem lời giải tại:
35. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ 
MI⊥AB,  MK⊥AC (I ∈ AB, K ∈ AC)
a.  Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b.  Vẽ MP⊥BC (P ∈ BC). Chứng minh: 
^
MPK =
^
MBC.
c.  Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị
lớn nhất.
Xem lời giải tại:
36. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Lấy I thuộc cạnh AB,
M thuộc cạnh BC sao cho: 
^
IEM = 900 (I và M không trùng với các đỉnh của hình
vuông ).
a.  Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b.  Tính số đo của góc 
^
IME
c.  Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC; K là giao điểm của BN và tia EM.
Chứng minh CK ⊥BN.
Xem lời giải tại:
37. Cho đường tròn (O; R) có AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường
tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự
tại E và F.
a.  Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật.
b.  Chứng minh ΔACD ∼ ΔCBE
c.  Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.
d.  Gọi S,  S1,  S2 thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng minh: 
S
1
+ S
2
= √S.
Xem lời giải tại:
38. Cho ΔABC, Aˆ = 900. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có
đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) tại D, đường thẳng AD
cắt đường tròn tâm (O) tại S.
a.  Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của 
^
BCS.
b.  Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh các đường thẳng
BA, EM, CD đồng quy.
c.  Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp ΔADE.
Xem lời giải tại:
39. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía
với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với
nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại
D (D khác B).
a.  Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp.
b.  Chứng minh 
^
ADE =
^
ACO
c.  Vẽ CH vuông góc với AB (H  ∈  AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm
của CH.
Xem lời giải tại:
√ √
40. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB
(CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) tại
điểm thứ hai là M.
a.  Chứng minh ΔSMA  ∼ ΔSBC.
b.  Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB.Chứng minh
BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD.
c.  Chứng minh: OK. OS = R2.
Xem lời giải tại:
41. Cho ΔABC, Aˆ = 900, M là một điểm thuộc cạnh AC (M khác A và C ). Đường
tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng:
a.  ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp
b.  NM là tia phân giác của 
^
ANI
c.  BM. BI + CM. CA = AB2 + AC2.
Xem lời giải tại:
42. Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn
BC sao cho AC > AB và AC > BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các
tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các
cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE.
a.  Chứng minh rằng: DE // BC
b.  Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn.
c.  Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F. Chứng minh hệ thức: 
1
CQ
+
1
CF
=
1
CE
Xem lời giải tại:
43. Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường
thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O),
(O’) lần lượt tại điểm thứ hai E, F.
a.  Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.
b.  Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.
c.  Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P  ∈  (O), Q  ∈  (O’)). 
Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.
Xem lời giải tại:
44. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (AB > CD). Gọi giao điểm của AC
và BD là I. Đường tròn ngoại tiếp ΔADI cắt AB tại E, cắt CD tại F. EF cắt AC và BD
lần lượt tại M và N.
a.  Chứng minh 
⌢
IE =
⌢
IF
b.  Chứng minh EF // BC và tứ giác AMND nội tiếp
c.  Gọi Q là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔADI. Chứng minh QI⊥BC
d.  Tìm điều kiện để các đường tròn ngoại tiếp ΔADI và ΔBIC tiếp xúc nhau.
Xem lời giải tại:
45. Cho đường tròn (O; R) và điểm A ở ngoài đường tròn (O). Vẽ tiếp tuyến AM,
AN với (O). Đường thẳng chứa đường kính của đường tròn song song với MN
cắt AM tại B, cắt AN tại C. Gọi I là giao điểm của AO với (O).
a.  Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp ΔAMN
b.  Chứng minh tứ giác MNCB là hình thang cân
c.  Chứng minh MA.MB = R2
d.  Lấy D thuộc cung nhỏ MN. Vẽ tiếp tuyến qua D của (O) cắt AM, AN lần lượt tại
P và Q. Chứng minh rằng BP. CQ =
BC2
4
.
Xem lời giải tại: