Tài liệu ôn tập môn Toán Lớp 9 - Phạm Hoài Thương

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO 10 THPT
CĐ: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I – KIẾN THỨC CHUNG
Các bước giải:
- Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.
- Bước 3: Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
- Bước 4: Giải hệ phương trình thu được.
- Bước 5: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời.
II – CÁC DẠNG TOÁN
1. DẠNG 1. 	TOÁN VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ, CHỮ SỐ
* Lưu ý:
- Biểu diễn số có hai chữ số: 
Trong đó: a là chữ số hàng chục. Điều kiện: 
 b là chữ số hàng đơn vị. Điều kiện: 
* Ví dụ:
Ví dụ 1. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng là 2015 và hai lần số bé thì hơn số lớn là 406 đơn vị. (ĐS: 1208 và 807)
Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng tổng các chữ số bằng 6 và nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì được một số cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. (ĐS: 24)
Ví dụ 3. Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho.
* Bài tập rèn luyện:
Bài 1.1. Tổng của hai số bằng 59. Hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là 7. Tìm hai số đó.
Bài 1.2. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng là 2216 và nếu lấy số lớn chia số bé thì được thương là 9, dư 56. (ĐS: 2000 và 216)
Bài 1.3. Đem một số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số của nó thì được 63. Nếu lấy số được viết bởi hai chữ số ấy nhưng theo thứ tự ngược lại nhân với tổng các chữ số của nó thì được 36. Hãy tìm hai chữ số đó. (ĐS: 21)
Bài 1.4.Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng là 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 2 và số dư là 124.
Bài 1.5. Tìm hai số biết rằng 4 lần số thứ hai cộng 5 lần số thứ nhất bằng 18040 và ba lần số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là 2002. 
Bài 1.6. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 75 và tổng các bình phương của chúng là 2873. (Đs: 43 và 32).
Bài 1.7. Tìm hai số có hiệu là 10 và có tích là 144.	(ĐS 18 và 8; -8 và -18)
Bài 1.8. Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 2 và 3. Nay xí nghiệp I tăng thêm 80 công nhân, xí nghiệp II thêm 40 công nhân, do đó, số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 3 và 4. Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay. (ĐS: 480 và 640)
Bài 1.9. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng các chữ số của nó là 10 và nếu viết số ấy theo thứ tự ngược lại thì số ấy sẽ giảm đi 36 đơn vị.
Bài 1.10. Trong một phân số, mẫu số lớn hơn hai lần tử số là 1 đơn vị. Nếu cộng thêm vào tử và mẫu 5 đơn vị và nhân phân số vừa thu được với phân số ban đầu thì được . Tìm phân số ban đầu. (đs: 7/25 và 2/5)
Bài 1.11. Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là 10. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu là 18 đơn vị. Tìm số có hai chữ số đó. (ĐS: 42)
Bài 1.12. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các bình phương hai chữ số bằng số đó cộng thêm tích của hai chữ số. Nếu thêm 36 vào số đó thì được một số có hai chữ số mà các chữ số viết theo thứ tự ngược lại. (ĐS: 48 và 37)
2. DẠNG 2.	 TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
* Kiến thức cần nhớ:
- Loại toán chuyển động có ba đại lượng tham gia, đó là:
 + Quãng đường S (km)
 + Vận tốc v (km/h)
 + Thời gian t (h)
- Công thức: Quãng đường = Vận tốc x Thời gian
- Nên lập bảng để giải:
+ Nếu bài toán có 2 đối tượng tham gia chuyển động, thì nên lập bảng sau:
s (km)
v (km/h)
t (h)
Đối tượng 1
Đối tượng 2
+ Nếu bài toán chỉ có 1 đối tượng nhưng chia thành nhiều giai đoạn chuyển động thì nên lập bảng sau:
s (km)
v (km/h)
t (h)
Giai đoạn 1
Giai đoạn 2
Lưu ý cách điền vào bảng: Điền những dữ kiện mà đề bài đã cho Điền ẩn ta chọn Cột còn lại biểu diễn thông qua hai cột đã điền.
+ Nếu bài toán có hai đối tượng đi ngược chiều nhau và gặp nhau tại một vị trí ở giữa quãng đường thì ta chú ý: Tổng quãng đường hai đối tượng đã đi được chính là cả quãng đường lớn. Dựa vào điều này để đưa ra phương trình.
AB + BC = AC
+ Xét chuyển động của ca nô:
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực của ca nô + vận tốc dòng nước
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực của ca nô + vận tốc dòng nước
Vận tốc thực của ca nô luôn lớn hơn vận tốc dòng nước
* Ví dụ:
Ví dụ 1. (Bài 30, tr.22 SGK)
Một ô tô đi từ A và định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A.
Ví dụ 2. Một ô tô đi quãng đường AC dài 195 km gồm đoạn đường nhựa AB và đoạn đường đá BC. Biết thời gian ô tô đi trên đoạn đường nhựa là 2 giờ 15 phút, thời gian ô tô đi trên đường đá là 1 giờ 30 phút. Vận tốc ô tô đi trên đoạn đường nhựa lớn hơn khi đi trên đường đá là 20 km/h. Tính vận tốc ô tô trên mỗi đoạn đường.
Ví dụ 3. Một ca nô xuôi dòng 108 km rồi ngược dòng 63 km, mất 7 giờ. Lần thứ hai, ca nô đó xuôi dòng 81 km rồi ngược dòng 84 km cũng mất 7 giờ. Tính vận tốc dòng nước, biết vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng và ngược dòng trong cả hai lần đi là như nhau.
* Bài tập rèn luyện:
Bài 2.1. Một xe ô tô tải và một xe du lịch cùng khởi hành từ thành phố A tới thành phố B. Xe du lịch có vận tốc lớn hơn vận tốc ô tô tải là 20 km/h, do đó nó đến B trước xe ô tô tải là 25 phút. Tính vận tốc mỗi xe biết quãng đường AB dài 100 km.(Đs: ô tô tải: 60 km/h; xe du lịch: 80 km/h)
Bài 2.2. Khoảng cách từ A đến B là 19 km. Một xe đạp đi từ A đến B với vận tốc không đổi. Sau đó 15 phút một ô tô cũng đi từ A đến B và đuổi kịp xe đạp sau 10 phút. Đến B, ô tô lập tức quay trở về A và ô tô lại gặp xe đạp sau 50 phút kể từ khi xuất phát từ A. Tính vận tốc hai xe.
Bài 2.3. (Đề thi vào 10 – Vĩnh Phúc – 2001)
Một người đi xe máy từ A tới B. Cùng một lúc người khác cũng đi xe máy từ B tới A với vận tốc bằng 4/5 vận tốc của người thứ nhất. Sau 2 giờ hai người gặp nhau. Hỏi mỗi người đi cả quãng đường AB hết bao lâu.
Bài 2.4. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ A và B cách nhau 350 km và đi ngược chiều nhau. Sau 5 giờ, hai xe gặp nhau. Tìm vận tốc mỗi xe biết xe đi từ A đi nhanh hơn xe đi từ B là 10 km/h.
Bài 2.5. Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định. Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h thì thời gian đi được sẽ giảm 1 giờ. Nếu vận tốc giảm bớt 10km/h thì thời gian đi tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
Bài 2.6. Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85km và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì hai ca nô gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô đi ngược dòng là 9km/h và vận tốc dòng nước là 3km/h (vận tốc thật của ca nô không đổi).
Bài 2.7. Đoạn đường AB dài 200km. Cùng một lúc, một xe máy đi từ A và một ô tô đi từ B, chúng gặp nhau tại một điểm C cách A là 120km. Nếu xe máy khởi hành sau ô tô 1 giờ thì chúng gặp nhau tại D cách C 24km. Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 2.8. Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài 5km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút. Vận tốc lên dốc lúc đi và về như nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và về như nhau. Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc. 
3. DẠNG 3.	 BÀI TOÁN NĂNG SUẤT, LÀM CHUNG – RIÊNG
* Kiến thức cần nhớ:
- Có ba đại lượng tham gia:	 + Khối lượng công việc
	 + Năng suất làm việc
 + Thời gian làm việc
- Công thức: Sản phẩm = Năng suất x Thời gian
- Lập bảng:
+ Nếu có một đối tượng, sản xuất chia nhiều giai đoạn (thường là dự định, thực tế):
Khối lượng công việc
Năng suất
Thời gian
Dự định
Thức tế
+ Nếu là bài toán làm chung, làm riêng:
Khối lượng công việc
Năng suất
Thời gian
Đối tượng 1
Đối tượng 2
Cả hai đối tượng
+ Đôi khi số sản phẩm làm ra sẽ bị giới hạn, ta cần đặt thêm điều kiện cho ẩn.
+ Coi tổng công việc là 1 (phần). Nếu thời gian hoàn thành công việc là x thì năng suất sẽ là .
* Ví dụ :
Ví dụ 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn không có nước thì sau giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở thêm vòi thứ hai thì phải sau giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu sẽ đầy bể.
Ví dụ 2. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
* Bài tập rèn luyện:
Bài 3.1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn nước thì sau 4 giờ đầy bể. Ban đầu người ta mở hai vòi trong 2 giờ, sau đó khóa vòi 1 lại và để vòi 2 tiếp tục chảy trong 6 giờ nữa thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi nếu chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể.
Bài 3.2. (Đề thi tuyển sinh vào 10 TP Hà Nội năm học 2009 – 2010)
Hai tổ cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ 2 trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết trong 1 ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi số áo may trong một ngày (năng suất) của mỗi tổ là bao nhiêu.
Bài 3.3. Một cái bể được 2 vòi chảy đầy trong 6 giờ. Một mình vòi thứ nhất sẽ chảy đầy cái bể đó nhanh hơn một mình vòi thứ hai là 5 giờ. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao nhiều lâu sẽ đầy bể ?
Bài 3.4. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi I trong 15 phút rồi khóa lại và mở vòi II chảy tiếp trong 20 phút thì được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy riêng đầy bể.
Bài 3.5. (Đề thi vào 10 - Hà Nội – 2012)
Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để hoàn thành công việc. (đs: 4h và 6h)
Bài 3.6. Trong một thời gian như nhau, đội một phải đào 810m3 đất, đội hai phải đào 900m3 đất. Kết quả đội một hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, đội hai hoàn thành trước thời hạn 6 ngày. Biết mỗi ngày đội hai đào được nhiều hơn đội một là 4m3 đất, tính số đất mỗi đội đào được trong một ngày. (đs: đội một: 20m3; đội hai: 24m3).
Bài 3.7. Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người xây được bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường đó ?
Bài 3.8. Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc ?
4. DẠNG 4.TOÁN LIÊN QUAN TỚI TỈ LỆ %, TĂNG GIẢM NĂNG SUẤT - SẢN LƯỢNG
* Kiến thức cần nhớ:
+ Bài toán có là dạng tăng năng suất, tăng số lượng sản phẩm vì thế sử dụng dữ kiện cho chính xác, tránh nhầm lẫn giữa ‘sản xuất tăng được 200 sản phẩm’ và ‘sản xuất được 200 sản phẩm’
+ Nếu đại lượng a tăng thêm m% nữa thì tổng cộng sau khi tăng ta sẽ có a + a.m% chứ không phải chỉ là a.m%
+ Cần nắm rõ mối quan hệ giữa ba đại lượng ‘số tổng’,’số thành phần nằm trong số tổng’ và ’số % ’ và cách tìm ra một đại lượng bất kì trong ba đại lượng khi biết hai số còn lại.
* Ví dụ :
Ví dụ 1. (Đề thi vào 10 - Hà Nội – 2008)
Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy, tháng thứ hai tổ 1 vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 10% so với tháng thứ nhất. Vì vậy hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.
Ví dụ 2. Hai phân xưởng của một nhà máy theo kế hoạch phải làm 540 dụng cụ. Do cải tiến kỹ thuật, phân xưởng I vượt mức 15%, phân xưởng II vượt mức 12% kế hoạch của mình. Do đó đã tăng thêm được 72 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi phân xưởng đã làm.
* Bài tập rèn luyện:
Bài 4.1. Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 400 sản phẩm. Tháng sau do cải tiến kỹ thuật nên tổ 1 sản xuất được thêmsố sản phẩm của tháng trước, tổ 2 sản xuất được thêm số sản phẩm của tháng trước, tổng số sản phẩm của tháng sau là 435 sản phẩm. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm.
Bài 4.2. Một người mua 2 loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế Giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả 2 loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng là 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng? (đs: 0,5 triệu và 1,5 triệu)
Bài 4.3. An mua 60 quyển sách và 75 quyển vở tổng cộng hết 3.150.000 đồng. Vì đang dịp giảm giá nên mỗi quyển sách giảm 15% và mỗi quyển vở giảm 10% nên trên thực tế An chỉ phải trả 2.760.000 đồng. Tính giá chưa giảm của mỗi quyển sách, mỗi quyển vở.
Bài 4.4. Hai trường A và B có 420 học sinh thi đỗ vào lớp 10, đạt tỉ lệ 84%. Riêng trường A tỉ lệ đỗ là 80%, riêng trường B tỉ lệ đỗ là 90%. Tính số học sinh sự thi của mỗi trường.
5. DẠNG 5.	 TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC
* Kiến thức cần nhớ:
+ Cần ôn tập lại các công thức tính chu vi, diện tích các hình (tam giác, hình chữ nhật, hình tròn...)
+ Cần ôn tập lại tính chất của các hình đặc biệt
* Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. (Đề thi vào 10 – Hà Nội – 2010)
Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. 
Ví dụ 2. Diện tích một hình thang bằng 140m2, chiều cao là 8cm, tìm các cạnh đáy biết chúng hơn kém nhau 15cm.
Ví dụ 3. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác tăng thêm 36cm2, nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4cm thì diện tích tam giác giảm đi 26cm2.
* Bài tập rèn luyện:
Bài 5.1. Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 2dm thì diện tích tam giác tăng thêm 12dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
Bài 5.2. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 90 m. Nếu giảm chiều dài đi 5m và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm 140 m2. Tính diện tích ban đầu của hình chữ nhật.
Bài 5.3. Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1 m. Nếu tăng thêm chiều dài 0,25 lần thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 3 m2. Tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu. (đs 12m2)
Bài 5.4. Một tam giác vuông có chu vi là 30m, cạnh huyền là 13m. Tính mỗi cạnh góc vuông. (đs: 12 và 5)
Bài 5.5. Một tam giác vuông có chiều cao ứng với cạnh huyền dài 24cm và chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có hiệu là 14 cm. Tính cạnh huyền. (ĐS: 50 cm)
Bài 5.6. Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 25 cm thì diện tích tăng . (ĐS: 75cm và 45 cm)
Bài 5.7. Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2 cm. Tính các cạnh góc vuông của tam giác đó. (ĐS: 6 cm và 8 cm)
6. DẠNG 6.	TOÁN CÓ NỘI DUNG KHÁC
* Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1.
Có hai loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng của mỗi loại quặng đem trộn để được 25 tấn quặng chứa 66% sắt.
Ví dụ 2. Khi thêm 200g axit vào dung dịch axit (gồm nước và axit) thì dung dịch mới có nộng độ axit là 50%. Lại thêm tiếp 300g nước vào dung dịch mới đó ta được dung dịch axit có nồng độ là 40%. Tính nồng độ axit trong dung dịch đầu tiên.
* Bài tập rèn luyện:
Bài 6.1. Tổng khối lượng hai loại quặng sắt là 10 tấn. Khối lượng sắt nguyên chất trong quặng loại I là 0,8 tấn, trong quặng loại II là 0,6 tấn. Biết tỷ lệ sắt nguyên chất trong quặng loại I nhiều hơn tỷ lệ sắt nguyên chất trong quặng loại II là 10%. Tính khối lượng của mỗi loại quặng.
Bài 6.2. Trong một trang sách, nếu bớt đi 5 dòng và mỗi dòng bớt đi 2 chữ thì cả trang sách sẽ bớt đi 150 chữ. Nếu tăng thêm 6 dòng, mỗi dòng thêm 3 chữ thì cả trang sách sẽ tăng thêm 228 chữ. Tính số dòng trong trang sách và số chữ trong mỗi dòng.