Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc

vai trß lµ m«n häc c«ng cô, bé m«n to¸n ®· gãp phÇn t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c em häc tèt c¸c bé m«n khoa häc tù nhiªn kh¸c.
D¹y nh­ thÕ nµo ®Ó häc sinh kh«ng nh÷ng n¾m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n mét c¸ch cã hÖ thèng mµ ph¶i ®­îc n©ng cao ®Ó c¸c em cã høng thó, say mª häc tËp lµ mét c©u hái mµ mçi thÇy c« chóng ta lu«n ®Æt ra cho m×nh. 
§Ó ®¸p øng ®­îc yªu cÇu cña sù nghiÖp gi¸o dôc vµ nhu cÇu häc tËp cña häc sinh ®Æc biÖt lµ häc sinh kh¸, giái. §iÒu ®ã ®ßi hái trong gi¶ng d¹y chóng ta ph¶i biÕt ch¾t läc kiÕn thøc, ph¶i ®i tõ dÔ ®Õn khã, tõ cô thÓ ®Õn trõu t­îng vµ ph¸t triÓn thµnh tæng qu¸t gióp häc sinh cã thÓ ph¸t triÓn tèt t­ duy to¸n häc.Việc hướng dẫn học sinh khá giỏi giải một bài toán để đi đến kết quả với những người thầy thì không gặp khó khăn nhiều nhưng việc phát huy tính tích cực tính sáng tạo vốn có của các em học sinh khá giỏi là điều chúng ta cấn quan tâm hơn.Qua quá trình dạy học sinh khá giỏi tại trường và qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy việc nhận thức về tư duy toán học của đa số học sinh còn mờ nhạt học sinh còn ít suy nghĩ, tìm tòi giải một bài toán nhất là các bài toán đòi hỏi tính kiên trì, sự sáng tạo cao do đó học sinh chưa phát huy hết những khả năng vốn có của mình rất nhiều em khá giỏi khi gặp những bài toán mới mặc dù chỉ là những bài toán được khai thác và phát triển từ những bài toán cơ bản quen thuộc nhưng các em vẫn lạ lẫm lúng túng không biết cách giải cũng như không biết cách phân tích khai thác từ bài toán lạ về thành bài toán quen thuộc hoặc khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc cơ bản về thành hệ thống các bài toán khác. Trước những khó khăn đó mỗi giáo viên chúng ta luôn phải trăn trở là làm thế nào để khi dạy học sinh khá giỏi cũng như dạy đội tuyển học sinh giỏi có thể phát huy tối đa tố chất, sự sáng tạo của các em từ đó có kết quả học tập tốt hơn.Trong phạm vi nhỏ hẹp này tôi xin mạnh dạn đưa ra giải pháp “Giúp học sinh khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc’’.
II-MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU:
1. Mục đích của đề tài 
- Hướng học sinh biết cách phân tích, khai thác, phát triển từ những bài toán quen thuộc đồng thời biết cách phân tích để đưa bài toán lạ về thành các bài toán quen thuộc.
- Bồi dưỡng học sinh về phương pháp, kỹ năng phân tích, khai thác và phát triển một bài toán và cách giải các bài toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo trong học toán.
2.Yêu cầu:
-Học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản, cách giải các bài toán quen thuộc.
-Biết hệ thống hóa các kiến thức và tìm ra được mối quan hệ giữa chúng.
-Có một số kỉ năng cần thiết để biến đổi.
-Có sự đam mê nghiên cứu, tìm hiểu và có sự sáng tạo trong làm toán.
III-NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1.Nhiệm vụ:
-Thực hiện trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi
-Nâng cao trình độ chuyên môn của giáo viên và kiến thức của học sinh
-Giúp học sinh biết cách tìm hiểu khám phá ra những bài toán mới qua bài toán quen thuộc và biết cách biến đỗi để đưa nhũng bài toán lạ về thành các bài toán quen thuộc.
-Trang bị cho học sinh vốn kiến thức phong phú và có tính hệ thống.
2. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về phương pháp giảng dạy môn toán, 
- Quan sát thực tiễn hoạt động sư phạm của bản thân trong những năm giảng dạy tại các lớp đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
-Qua trao đỗi, Kiểm tra đánh giá và tổng kết kinh nghiệm.
IV-ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1.Đối tượng nghiên cứu. 
-Đối với đề tài này áp dụng cho việc bồi dưỡng học sinh lớp 8,9 đặc biệt là các em học sinh khá giỏi lớp 8, lớp 9 ở trường THCS.
2.Phạm vi nghiên cứu:
-Áp dụng cho cả giáo viên và học sinh trong trường THCS nghiên cứu để bồi dưỡng và học tập
V-Điểm mới trong nghiên cứu:
-Học sinh sẽ không còn lúng túng trong việc giải các bài toán lạ khi đã biết cách đưu bài toán lạ về thành bài toán quen thuộc để giải.
-Học sinh biết hệ thống các bài toán, Biết cách tìm ra mối quan hệ, đặc điểm chung của từng dạng toán trên cơ sở có hướng giải bài toán và khai thác, phát triển chúng.
 PHẤN B-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Có rất nhiều bài toán quen thuộc với nhiều cách khai thác và phát triển từ bài toán quen thuộc đó.Trong đề tài này tôi xin đưa ra một số bài toán cơ bản và hướng dẫn học sinh cách khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc đó. 
I-Các bài toán và cách hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển 
 BÀI TOÁN A: Bài toán vận dụng BĐT |a| + |b| |a+b| dấu bằng xãy ra khi ab0
Bài toán A : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : A= |x-1| + |x-2| Đây là một bài toán đơn giản mà học sinh thường bắt gặp
 Gi¶i : Ta cã A= |x-1| + |x-2| = |x-1| + |4-x| |x-1+2-x| = 1 
 Vậy A1
 DÊu b»ng x¶y ra khi 
 VËy A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 khi 
Với việc áp dụng BĐT trên và dạng toán trên ta phát triển thành các bài toán sau:
Bài toán 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 B=|x-1| + |x-2| +|x-3| 
 Gi¶i :
 Ta cã |x-1| + |x-3| = |x-1| + |3-x| |x-1+3-x| = 2 DÊu b»ng x¶y ra khi 
Mà |x-2| 0 nên
 B=|x-1| + |x-2| +|x-3|2
Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất khi B=2 khi 
Đây là bài toán mới thoạt đầu học sinh sẽ rất lúng túng trong cách giải giáo viên phải hướng dẫn học sinh cách ghép để sử dụng HĐT trên sao cho phù hợp nếu ghép 
 |x-1| + |x-2| hoặc |x-2| + |x-3| với nhau thì sử dụng HĐT trên sẽ không tìm được giá trị nhỏ nhất.
Tương tự ta có thể phát triển bài toán trên thành các bài toán sau:
Bài toán 3-Tìm giá trị nhỏ nhất của
 T=|x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|.
Tương tự bài toán trên giáo viên hướng dẫn học sinh cách ghép từng cặp giá trị tuyệt đối cho phù hợp
 Gi¶i :
 Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1)
 Vµ 	(2)
 VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4
 Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y ra khi 
 (2) DÊu b»ng x¶y ra khi 
 VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 
Cứ như thế ta có bài toán tổng quát như sau:
Bài toán 4: Cho .
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 A=
Giải: Xét 2 trường hợp: n chẵn và n lẽ.
+Với n chẵn ta đặt n=2k ta có:
A=
 =
Dấu bằng xãy ra khi 
+Với n lẽ ta đặt n=2k+1 ta có:
A=
= Dấu bằng xãy ra khi x=ak+1
Khai thác tiếp ta có bài toán sau:
Bài toán 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 B=. 
Bài toán này nếu chúng ta áp dụng trực tiếp HĐT trên thi việc tìm giá trị nhỏ nhất sẽ gặp khó khăn.GV hướng dẫn học sinh cách tách để có thể vận dụng được HĐT trên.
Giải:Ta có B=
Ta có Dấu bằng xãy ra khi 
Mặt khác từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của B=4 khi 
Từ bài toán 5 ta có thể thay đổi một chút ta có bài toán sau:
Bài toán 6:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 C= |3x-10| + 2|x-4| +5|x-8|
Việc giải bài toán này giáo viên chỉ định hướng cho học sinh cách tách sau đó nhóm để vận dụng được HĐT trên.
Vận dụng HĐT trên ta có bài toán sau:
Bài toán 7:Giải phương trình 
 |2x-7| + |x-4| +2|x-5|=3
Với dạng toán này giáo viên có thể hướng dẫn các em giải PT theo cách xét khoảng nhưng trong trường hợp bài toán này giáo viên có thể hướng dẫn các em cách giải phương trình bằng việc áp dụng HĐT.
Giải: Ta có |2x-7| +2|x-5| |2x-7+10-2x| =3 mặt khác |x-4|0 nên 
 |2x-7| + |x-4| +2|x-5|3 dấu bằng xãy ra khi x=4 từ đó ta tìm được x=4 là nghiệm của phương trình.
Bài toán 8:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(Đề thi HSG lớp 9-Phòng GD-ĐT Cẩm xuyên năm học 2016-2017)
Giải : Ta có : 
Vậy MinP= 2ó 
Thông qua bài toán 8 ta có thể xây dựng thành bài toán mới như sau :
Bài toán 9 : Giải phương trình sau :
Thay đỗi một chút ta có bài toán khó hơn như sau :
Bài toán 10 : Giải phương trình sau :
Đây là một bài hay và khó đối với các em nếu chưa vận dụng thành thạo HĐT trên mặt các em chưa được học về cách giải PT vô tỷ bằng cách sử dụng tính đối nghịch ở hai vế phương trình để giải thì sẽ không biết hướng giải như thế nào ? Nhưng nếu đã học được cả hai phương pháp trên thì việc giải bài toán này là đơn giản .
Giải : 
Ta có VT=
Dấu bằng xãy ra khi x=3/2
 VP= Dấu bằng xãy ra khi x=3/2
Vậy để VT=VP khi VT=VP=2 từ đó ta tìm được nghiệm của PT là x=3/2
 BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài toán 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
 A=. 
Bài toán 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
 B=
Bài toán 3 : Giải phương trình :
*Với BĐT |a| + |b| |a+b| nó có nhiều ứng dụng trọng việc giải quyết rất nhiều bài toán đặc biệt là bài toán tìm giái trị nhỏ nhất của một biểu thức hoặc bài toán giải phương trình.
BÀI TOÁN B: Phân tích đa thức thành nhân tử a3 + b3 + c3 - 3abc.
Đây là một bài toán lớp 8 khá thông dụng việc phân tích bài toán này không khó nhưng tính ứng dụng của bài toán này thì rất phong phú.
Ta phân tích được như sau :Ta có  a3 + b3 + c3 - 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac).
Khai thác bài toán trên ta có bài toán sau :
Bài toán 1 :Chøng minh r»ng:
 NÕu a + b + c = 0 th× a3 + b3 + c3 = 3abc
	 Tõ kÕt qu¶ trªn ta cã ngay bµi to¸n:
Bµi toán 2:	 
	Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n a+b+c=0. Chøng minh r»ng :
	a3 +b3+c3 chia hÕt cho 3abc.
*NÕu thay a=x-3; b=2x+1; c=2-3x th× a+b+c=0. Sö dông kÕt qu¶ trªn ta cã (x-3)3+(2x+1)3+(2-3x)3=3(x-3)(2x+1)(2-3x). Ta ®Õn víi bµi to¸n:
Bµi toán 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
	(x-3)3+(2x+1)3=(3x-2)3.
	* NÕu thay a = 2-x, b = -(y+2), c = x+y th× a+b+c = 0.
	Ta ®Õn víi bµi to¸n :
Bµi toán 4:
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn:
	(x+y)3 = (x-2)3 + (y+2)3 + 6	
*NÕu thay a=x-y; b=y-z ; c=z-x th× a+b+c=0. Theo kÕt qu¶ trªn ta cã a3+b3+c3=3abc; suy ra (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=3(x-y)(y-z)(z-x). Nªn ta cã bµi to¸n sau:
Bµi toán 5:
	Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
	(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 
+Ta thÊy víi a+b+c=0 th× . Ta cã bµi to¸n:
Bµi toán 6:
	Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n a+b+c = 0. 
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
`	.
Từ bài toán này nếu ta có thể thay đổi một chút ta có bài toán
Bài toán 7:
	Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n a-b-c = 0. 
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
`	. (Đề thi HSG toán 8-huyện CX năm học 2015-2016)
Cũng từ bài toán 6 ta có a+b+c=0 ó a+b=-c óa2+2ab+b2=c2 óc2-a2-b2=2ab tương tự ta có b2-c2-a2=2ac ; a2-b2-c2=2bc
Với khai thác trên ta có bài toán sau :
Bài toán 8
Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n a+b+c=0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
 Bµi toán 9:	Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính 
Giải :Ta có (*)=c
TH1 : Nếu a+b+c=0 suy ra a+b=-c, b+c=-a, a+c=-b
 Từ a3 + b3 + c3 = 3abc ta suy ra a+b+c=0 hoặc a=b thay vào (*) ta tìm được B=-1
TH2 : a=b=c thay vào (*) ta tìm được B=8
Tiếp tục khai thác tiếp bài toán trên ta có bài toán sau :
Bài toán 10: Cho a3b3+b3c3+c3a3=3a2b2c2 Tính ta thấy bài toán 9 có đặc điểm tương tự baì toán 10 :Ta coi ab=x, bc=y,ca=z Khi đó ta có :x3+y3+z3=3xyz và ta sẽ tính được P
Tiếp tục khai thác bài toán trên nếu thay thì ta có bài toán sau cho tính A=
Ta có A= mà . 
Từ đó ta tính được A=3
Quay trở lại với bài toán ban đầu: a3 + b3 + c3 - 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac).
Nếu ta cho a+b+c=1; a2+b2+c2=1; a3+b3+c3=1 thì ta có 
1-3abc=1-ab-bc-acó3abc=ab+bc+ac mà (a+b+c)2=1ó 
a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac=1óab+bc+ac=0óabc=0óa=0 hoặc b=0 hoặc c=0 từ khai thác trên ta có bài toán sau:
Bài toán 11:Giải hệ phương trình
Bài toán 11 : Cho Tính 
Tiếp tục vận dụng bài toán trên ta có bài toán sau :
Bài toán 12 :
Tính D=+2 đây là một bài toán không khó ta thường bắt gặp trong bài toán rút gọn biểu thức của đại số 9 và có nhiều cách giải nhưng nếu ta vận dụng bài toán trên ta vẫn có thể giải được bài toán này :
Giải :Đặt E= óE-=0
óE3-()-()=3EóE3-3E-4=0ó(E-1)(E2+E+4)=0
óE=1
*Tiếp tục khai thác bài toán trên :Nếu ta thay c bëi c+d vµo a3 + b3 + c3 = 3abc ta ®­îc:
a3 + b3 + (c+d)3= 3ab(c+d)
 a3 + b3 + c3 +d3= 3ab(c+d) - 3cd(c+d)
 a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd)
Ta ®Õn víi bµi to¸n:
Bµi toán 13:
Chøng minh r»ng nÕu a+b+c+d = 0 th×:
 a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd).
Tiếp tục với kết quả của bài toán trên. 
 a3 + b3 + c3 - 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) 
*nếu ta thay a bởi và b bởi và c bởi ta có bài toán sau :
Bài toán 14 : Cho 3 số dương a,b,c thõa mãn .
 Tính giá trị của biểu thức sau :
 (Đề thi hsg huyện Cẩm Xuyên-năm học 2016-2017)
Giải :Áp dụng kết quả bài toán trên ta có : 
Mà a,b,c dương nên 
nên Thay a=b=c vào p ta tính được P=8
 BÀI TOÁN ÁP DỤNG :
Bài toán 1 : Cho : Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài toán 2 : Cho a+b+c= a3 + b3 + c3 =0 Tính A=a2n+1 +b2n+1 +c2n+1
Bài toán 3 :Cho a+b+c=1 
chứng minh 
Bài toán 4:
	Cho a3+b3+c3=3abc vµ a+b+c 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
BÀI TOÁN C: Cho a,b >0 chứng minh a3+b3ab(a+b)
CM: a3+b3ab(a+b)ó(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)0ó(a+b)(a-b)20 đúng với mọi số dương a,b dấu đẳng thức xãy ra khi a=b.
Đây là một bất đẳng thức phụ khá quan trọng vì trong quá trình bồi dưỡng HSG tôi thấy có rất nhiều bài áp dụng BĐT này vậy giáo viên phải giúp học sinh phân tích khai thác và phát triển bài toán trên thành hệ thống nhiều bài toán khác hay và khó.
Thật vậy từ a3+b3ab(a+b) ó
Ta có 
Bài toán 1 :Chứng minh 
Cũng tương tự ta có 
Bài toán 2:Chứng minh 	
Từ bài toán 2 ta khai thác tiếp ta có  ; 
Ta có 
Bài toán 3 :với a ;b ;c là các số dương chứng minh
Cũng từ .Tương tự ta có 
Ta có 
Bài toán 4 : với a ;b ;c là các số dương chứng minh
Tiếp tục khai thác bài toán trên ta có :Từ a3+b3ab(a+b)ó4(a3+b3) (a+b)3 Tương tự ta có 4(b3+c3) (b+c)3; 4(c3+a3) (a+c)3 Từ đây ta có bài toán sau:
 Bài toán 5: với a ;b ;c là các số dương chứng minh
 8(a3+b3+c3) (a+b)3+(b+c)3+(a+c)3
Tiếp tục khai thác tiếp bài toán trên: 
a3+b3ab(a+b)óa3+b3+abcab(a+b)+abcóa3+b3+abcab(a+b+c) ó ;
Tương tự ta có:  ; Từ đó ta có
ó
Từ khai thác đó ta có bài toán sau:
 Bài toán 6: với a ;b ;c là các số dương chứng minh
Đây là bài toán khó nếu học sinh bắt đầu gặp thì rất khó để chứng minh.Tuy nhiên sau khi học sinh đã học và vân dụng tốt hđt trên thì sẽ nhìn ra được hướng chứng minh.Nếu ta cho thêm giả thiết abc=1 thì ta sẽ có bài toán sau
 Bài toán 7 : với a ;b ;c là các số dương chứng minh
 (Đề thi HSG Đã Nẵng năm học 2011-2012)
TiÕp tôc khai th¸c : a3+b3ab(a+b)
T­¬ng tù víi a, b, c > 0 th×:
Ta ®Ò xuÊt ®­îc bµi to¸n:
Bµi to¸n 8: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:
TiÕp tôc khai th¸c :
Tõ a3+b3ab(a+b) ta cã : 
a3+6b3 ab(a+b)+5b3 6b3-ab(a+b) 5b3 - a3b(6b2-a2- ab) 5b3 - a3
b(a+3b)(2b-a) 5b3 - a3 2b-a 
T­¬ng tù : , 
Céng vÕ theo vÕ cña c¶ ba B§T trªn ta cã : 
++ a+b+c
Ta ®©y ta tiÕp tôc ®Ò xuÊt bµi to¸n:
Bµi to¸n 9: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:
++ a+b+c
TiÕp tôc khai th¸c tõ : 
T­¬ng tù víi a, b, c > 0 th×:
Ta yªu cÇu HS gi¶i bµi to¸n
Bµi to¸n 11: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:
 BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài toán 1 : với a ;b ;c là các số dương chứng minh
Bài toán 2: với a ;b ;c là các số dương chứng minh
 2(a3+b3+c3) ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)
Bài toán 3 : với a ;b ;c là các số dương chứng minh
Bài toán 4 : với a ;b ;c là các số dương thõa mãn abc=2 chứng minh.
Bài toán 5 : : Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:
Bµi to¸n 6: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:
Bµi to¸n 7: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:
Bµi to¸n 8: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:
Với việc phân tích khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc như trên ta có thể tạo ra nhiều bài toán mới cũng từ đó ta có biết cách phân tích để đưa bài toán khó và lạ về thành các bài toán quen thuộc.Trên đây tôi chỉ đưa ra ba bài toán mà chúng ta thường gặp.Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi chúng ta còn có thể khai thác và phát triển rất nhiều bài toán hay khác nữa ví dụ như khai thác bài toán :
Bài toán 1 :Cho abc=1 Tính 
 A=
Bài toán 2:Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên chia hết cho 6
Bài toán 3:Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài toán 4:Cho a, b> 0 Chứng minh: 
II-Kết quả thực hiện :
Sau khi thực nghiệm đề tài ‘’Giúp học sinh khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc ‘’ tôi thấy các em học sinh khá giỏi nắm chắc các dạng bài tập, các em nhìn nhận các dạng bài tập một cách linh hoạt, tự tin, sáng tạo và hứng thú hơn trong học tập. Các em nhìn nhận bài toán một cách rộng hơn, sâu sắc hơn yêu thích bộ môn toán hơn và đặc biệt kết quả thi học sinh giỏi của các em trong đội tuyển thi học sinh giỏi huyện đạt kết quả cao hơn.
Để đạt được những kết quả như vậy, đầu tiên phải có sự nỗ lực, cố gắng của bản thân các em, các em phải giải bài tập một cách chủ động, tích cực.Bên cạnh đó thấy phải định hướng tăng cường đưa ra các bài tập để các em tìm tòi khám phá, phân tích giải thích, khai thác và phát triển các bài toán từ những bài toán quen thuộc để có thể tạo ra được hệ thống các bài toán mới , đồng thời cũng biết cách đưa bài toán lạ về thành các bài toán quen thuộc.
Sau ®©y lµ b¶ng thèng kª kÕt qu¶ bµi kiÓm tra các d¹ng to¸n trªn :
( ¸p dông ®èi víi ®éi tuyÓn to¸n cña tr­êng t«i : 20 em )
N¨m häc
¸p dông ®Ò tµi
KÕt qu¶ kiÓm tra
giái
kh¸
TB×nh
2014 - 2015
ch­a ¸p dông
5%
35%
60%
2015 - 2016
®· ¸p dông
25%
55%
20%

III-Bài học kinh nghiệm :
Khi thực hiện đề tài này, để đạt được hiệu quả cao nhất cần phải có các điều kiện sau :
1.Về phía giáo viên :
*Cần có niềm say mê , nhiệt huyết trong công tác giảng dạy chịu khó nghiên cứu tìm tòi, học hỏi, sưu tầm các bài toán hay và khó để rèn luyện tư duy, mở rộng vốn kiến thức của mình.
*Cần chuẩn bị các tình huống có vấn đề để gây sự tò mò hứng thú cho học sinh để phát huy trí tuệ của các em.
*Khi gặp các tình huống có vấn để cần phải sử lí linh hoạt, sáng tạo.
*Cần kiểm tra thường xuyên về sự chuẩn bị bài của các em học sinh qua đó biết cách động viên khích lệ các em học tập tốt hơn.
2.Về phía học sinh :
*Phải chủ động, tự giác , quyết tâm và phát huy tính tích cực trong học tập của mình.
*Cần chuẩn bị bài thật kỉ, đầu tư nhiều thời gian, phải phân tích kỉ các bài toán, cần có tính kiên trì trong việc phân tích khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc.
3.Về phía nhà trường :
*Phải có nề nếp và phong trào học tập tốt trong nhà trường.
*Phải quan tâm đầu tư về mọi mặt cho các hoạt động dạy và học, đặc biệt chú trọng đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
 PHẦN C : KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ
*Kết luận : Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên thường nhận thấy đa số học sinh chỉ lo đi tìm lời giải của từng bài toán cụ thể mà ít khi đi sâu nghiên cứu phân tích khai thác và phát triển bài toán từ bài toán đó tìm mối quan hệ giữa bài toán đó với những bài toán khác nhiều em có năng lực suy luận và phán đoán tình huống nhanh nhưng lại ít khi khai thác và phát triển tìm tòi để tạo ra bài toán mới ,kiến thức mới.
Do đó việc khai thác, phát triển và mở rộng kiến thức từ các bài toán cơ bản nhằm thúc đẩy phát triển tư duy toán học mà mỗi giáo viên khi bồi dưỡng học sinh giỏi cần phải quan tâm. Đi theo hứng như vậy, tôi đã giúp đội tuyển học sinh giỏi học tập tốt hơn, hiệu quả hơn. Không những thế mà còn giúp học sinh phát huy hết khả năng của mình, góp phần mình vào việc nâng chất lượng mũi nhọn.
*Kiến nghị đề xuất :
+Trong mỗi tiết dạy bồi dưỡng đội tuyển, giáo viên cần phải có thời gian để nêu hướng mở rộng, khai thác và phát triển sau mỗi bài toán. Giáo viên nên tạo thói quen này thường xuyên cho học sinh.
+Vận động các em mua các sách nâng cao, tham gia mua các tạp chí viết và toán học.
+Mỗi trường nên thành lập các câu lạc bộ em yêu toán học và hoạt động thường xuyên để động viên khích lệ các em hăng say học tập và khám phá.
+Phòng giáo dục, nhà trường nếu có điều kiện nên tổ chức nhiều hơn các cuộc hội thảo, chuyên đề về bồi dưỡng học sinh giỏi để giáo viên có cơ hội giao lưu trao đỗi và học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau.
*Phạm vi sử dụng sáng kiến :Có thể áp dụng cho đối tượng học sinh khá giỏi, trong các tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi.Qua đây chắc chắn có nhiều đồng nghiệp có nhiều ứng dụng lí thú khác và có nhiều cách khai thác và phát triển từ những bài toán cơ bản. Trong thực tế giảng dạy chúng ta thấy rẵng công việc tìm hiểu xung quanh các bài toán cơ bản quen thuộc sẽ giúp người thầy có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy,học sinh khi giải các bài toán sẽ linh hoạt và sáng tạo hơn.
*Đề tài ‘’Giúp học sinh biết cách khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc ‘’ là một vấn đề quen thuộc mà trong quá trình giảng dạy đặc biệt là trong bồi dưỡng học sinh giỏi chúng ta thường xuyên nghiên cứu và áp dụng. Trong quá trình làm đề tài do điều kiện về thời gian cũng như vốn kiến thức còn hạn hẹp đề tà