Phương pháp tìm tòi lời giải bài tập Toán THCS

ïy theo hướng đổi mới, lấy người học làm trung tâm. Vì vậy, ngoài việc cung cấp cho học sinh THCS các kiến thức toán học cần thiết và yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức đã học để vận dụng vào việc giải bài tập toán, chúng ta còn phải quan tâm đến việc giúp học sinh có được phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích luỹ được trong quá trình học tập, rèn luyện để việc giải bài tập toán được thuận tiện hơn.
Thực tế hiện nay cho chúng ta thấy, cách giải bài tập của phần lớn học sinh còn mang tính chất cảm tính, chưa có một phương pháp giải khoa học. Ngoài ra, trong môn toán ở trường THCS, có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán chung để giải. Đối với những bài toán này, chúng ta cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi cách giải và trình bày lời giải. Để thực hiện được việc này, tôi đã tham khảo một số sách và kết hợp với kinh nghiệm riêng của mình để biên soạn nên tài liệu này, nhằm mục đích như là những lời khuyên của một người có chút ít kinh nghiệm về giải toán để truyền đạt lại cho các em, chứ không phải là một bản chỉ dẫn có tính chất thuật toán. Tuy nhiên, do thời gian hướng dẫn một chuyên đề theo qui định còn hạn chế, nên trong tập tài liệu này chỉ đề cập chủ yếu đến việc hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải một bài toán chứ chưa đặt nặng đến vấn đề trình bày lời giải đạt đủ các yêu cầu: Chính xác, ngắn gọn và đầy đủ (nếu có điều kiện tôi sẽ trình bày vấn đề này vào một dịp khác).
Trong tập tài liệu này, ngoài những kinh nghiệm riêng, tôi còn tham khảo chủ yếu ở cuốn “Thực hành giải toán” do nhà xuất bản Giáo dục phát hành và một số tài liệu khác. Tuy nhiên để phù hợp với điều kiện tâm sinh lý của học sinh THCS nên tôi đã giảm nhẹ về phần mục tiêu. Vì mục đích đào tạo chung, mong các tác giả của các tài liệu tôi đã tham khảo thông cảm.
Vì mới biên soạn lần đầu và trong khuôn khổ một chuyên đề nhỏ, nên chắc chắn không thể không thiếu sót. Vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến giúp đỡ của các em học sinh, của quý bậc phụ huynh học sinh và nhất là của quý đồng nghiệp gần xa.
Ghi chú: Tập tài liệu này có thể dùng để lồng ghép vào các tiết luyện tập trong chương trình chính khóa. Tuy nhiên cần lưu ý linh hoạt trong việc chọn lọc và phân bố các nội dung sao cho phù hợp với từng khối lớp. Qua quá trình thực hiện trong hai năm học, tôi đã chỉnh lý và bổ sung thêm một số nội dung còn vướng mắc khi thực hiện để dạy chuyên đề cho khối 8 (2004 – 2005) và lồng ghép vào các tiết luyện tập của 5 lớp 7 (2005 – 2006) bản thân tôi nhận thấy học sinh đã đạt được những kết quả khả quan trong việc tìm tòi lời giải cho một bài toán ở trường THCS.
Ninh Sơn, tháng 5 năm 2006.
	 Người biên soạn.
 Nguyễn Linh
MỤC LỤC
 Trang
	Lời mở đầu (Lý do chọn và mục đích của đề tài)	01
	Mục lục	02
	Gợi ý phân phối chương trình 	03
	Phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán ở THCS (nội dung đề tài)	04
	Quá trình thực hiện và các giải pháp	 08
	Đánh giá hiệu quả thực hiện và nhận xét kết luận chung	 09
	Các ví dụ minh họa. 	 10
PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH
***
Tổng số: 08 tiết
Mỗi tuần: 02 tiết
Tiết 01: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán ở THCS.
Tiết 02: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán ở THCS (tt).
Tiết 03: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán ở THCS (tt). 
Tiết 04: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán ở THCS (tt).
Tiết 05: Các ví dụ minh họa – Số học.
Tiết 06: Các ví dụ minh họa (tt) – Đại số. 
Tiết 07: Các ví dụ minh họa (tt) – Hình học.
Tiết 08: Kiễm tra 1 tiết.
(Nếu dùng lồng ghép vào các tiết luyện tập trong giờ chính khóa thì tùy theo tình hình thực tế của từng lớp để phân bố lại nội dung của các tiết)
GỢI Ý PHƯƠNG PHÁP TÌM TÒI LỜI GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN
Ở TRƯỜNG THCS.
Phương pháp tìm tòi lời giải một bài toán theo gợi ý của Pôlya bao gồm bốn bước:
Tìm hiểu đề toán.
Xây dựng chương trình giải.
Thực hiện chương trình giải.
Kiễm tra và nghiên cứu lời giải.
1/ Tìm hiểu đề toán: Việc tìm hiểu đề chính là việc đọc đề một cách có khoa học, có thể thực hiện theo gợi ý sau:
- Đọc đề lần thứ nhất: Lần đọc này chủ yếu là đọc qua một lần để làm quen với đề tránh vội vàng đi sâu vào chi tiết. Tuy nhiên cần đọc một cách chậm rãi để nhận dạng bài toán.
- Đọc đề lần thứ hai: vừa đọc vừa ngắt câu cho đúng chỗ để tìm hiểu sâu vào các chi tiết của đề. Nếu là bài hình học thì cần kết hợp với việc vẽ hình, cần nắm rõ trình tự vẽ cho chính xác, yếu tố nào cần vẽ trước, yếu tố nào vẽ sau. Khi vẽ hình cần chú ý:
+ hình vẽ phải mang tính tổng quát, tránh vẽ các trường hợp đặc biệt để khỏi bị ngộ nhận.
+ hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, có thể vẽ nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt, hoặc dùng nhiều màu khác nhau.
- Đọc đề lần thứ ba: đọc thật chậm, thật kỷ để phân tích đề để tách ra các yếu tố chính, xem xét kỷ các yếu tố chính này nhiều lần và ở nhiều mặt khác nhau, sau đó tóm tắt lại đề. Nếu là bài hình học thì cần kết hợp với hình vẽ để ghi phần giả thiết kết luận.
Đối với những bài toán khó có thể đọc đề thêm một số lần nữa.
2/ Xây dựng chương trình giải: Xây dựng chương trình giải tức là tìm tòi cách giải quyết bài toán. Đây chính là bước quan trọng nhất quyết định cho việc đưa ra một lời giải đúng, nhanh. Điều cơ bản làbiết định hướng đúng dể tìm ra được đường đi đúng. Có thể thực hiện bước này theo những gợi ý sau:
 a/ Sử dụng các bài toán đã giải: Xem có bài toán nào tương tự hoặc gần giống bài toán cần giải mà ta đã giải được. Hãy xét cho kỹ cái chưa biết và thử nghĩ đến một bài toán quen thuộc cũng chứa cái chưa biết đó hay một cái chưa biết tương tự. Cần nhớ lại một bài toán đã được giải và gần giống với bài đang xét. Cần phải sử dụng bài toán đã giải này về phương pháp giải, về kết quả, về kinh nghiệm
 b/ Biến đổi bài toán: Cần phải huy động và tổ chức những kiến thức đã học để biến đổi bài toán tạo ra những liên hệ mới, khả năng mới, gợi lại trong trí nhớ những gì liên quan đến bài toán đang xét.
	Ví dụ: Chứng minh chia hết cho 6 với mọi số nguyên m.
	Ta biến đổi như sau: = .
	Đến đây, ta nhận xét: m – 1; m; m + 1 là ba số nguyên liên tiếp và nhớ lại rằng: trong hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chẵn, trong ba số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 3. vậy bài toán đã có hướng giải quyết.
 c/ Phân tích bài toán thành những bài toán đơn giản hơn: cách làm này thường gặp ở những bài toán khó, những bài toán loại này, thường được kết hợp từ những bài toán khác đơn giản hơn. Vì vậy người giải cần phải phân tích bài toán thành những bài toán nhỏ để giải, sau đó lại kết hợp chúng lại với nhau.
 Ví dụ: Chứng minh rằng: chia hết cho 240. Với p là số nguyên tố lớn hơn 5.
	Ta nhận xét: 240 = 3.5.16 và 3; 5; 16 là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta chia bài toán thành ba bài toán nhỏ như sau:
Chứng minh rằng: chia hết cho3.
Chứng minh rằng: chia hết cho 5.
Chứng minh rằng: chia hết cho 16.
Sau đó ta kết hợp với tính chất chia hết của một tích để đi dến kết luận cho bài toán cần giải.
 d/ Mò mẫm, dự đoán bằng cách thử một số trường hợp có thể xãy ra:
	ví dụ: Qua điểm M trên cạnh BC của tam giác ABC hãy dựng một đường thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
	Ta xét một số trường hợp đặc biệt:
- M là trung điểm của cạnh BC. Lúc này đường thẳng cần dựng chính là trung tuyến AM. 
	- M trùng với một trong hai đầu mút của cạnh BC (chẳng hạn trùng với B). Lúc này đường thẳng cần tìm là trung tuyến BI.
	Từ đây ta đưa ra việc giải bài toán tổng quát bằng cách đưa về một trong hai trường hợp trên.
BẢN GỢI Ý XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI.
	- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay dã gặp bài toán tương tự?
	- Bạn có biết bài toán nào có liên quan không? Một định lý có thể vận dụng để giải bài này không?
	- Xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán tương tự có cùng cái chưa biết hay có cái chưa biết tương tự.
	- Có thể sử dụng một bài toán liên quan mà bạn đã giải và xét xem có thể sử dụng nó không? Sử dụng kết quả hay sử dụng phương pháp? Có cần thêm yếu tố phụ không?
	- Thử phát biểu bài toán theo cách khác dễ hơn.
	- Nếu gặp bài toán khó, hãy thử giải một bài toán khác có liên quan mà dễ hơn, một bài toán tổng quát, một trường hợp riêng, một bài toán tương tự hoặc bạn có thể giải một phần của bài toán không?
	- Kiễm tra xem bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu có trong bài toán chưa?
3/ Thực hiện chương trình giải: 
Dựa vào xây dựng chương trình giải, ta tiến hành trình bày lời giải theo một trình tự có thể không giống như trình tự của việc xây dựng chương trình giải. Tuy nhiên, cần kiểm nghiệm lại từng chi tiết để trình bày lời giải một cách mạch lạc, hợp lôgic và nhất là phải hội đủ các yêu cầu: chính xác (kể cả nội dung và trình tự), đầy đủ và ngắn gọn.
4/ Kiễm tra và nghiên cứu lời giải:
	Đây là bước cần thiết và bổ ích, giúp học giỏi toán hơn nhưng trong thực tế học sinh ít khi thực hiện nó. Bước này bao gồm:
	- Kiễm tra để phát hiện những cái sai (về thuật ngữ, về lôgic, về nội dung các khái niệm, định lý v.v), những cái sót (ghi thiếu câu, thiếu dòng, bỏ qua các bước cần thiết v.v). việc sửa chữa những cái sai, bổ sung cái sót này giúp ta phong phú thêm về kinh nghiệm giải toán, qua đó sẽ củng cố và phát triễn năng lực giải toán cho bản thân. 
	-Phát triễn bài toán:	 
 + Xem bài toán còn có cách giải nào khác không? Hãy giải lại bài toán bằng nhiều cách khác (nếu có thể), thông qua đó tìm ra cách giải ngắn gọn nhất, hay nhất.
	 + Thử thêm, bớt các dữ kiện của giả thiết hoặc kết luận, để tạo ra bài toán mới liên quan hoặc tương tự bài toán vừa làm. Các bài toán mới này có thể khó hơn hoặc dễ hơn bài toán vừa làm. Việc làm này giúp người giải toán gặp nhiều thuận lợi hơn khi gặp những bài toán liên quan hoặc tương tự bài toán vừa làm (dành cho giáo viên và học sinh giỏi).
QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
1/ Từ tháng 9/2004 đến tháng 5/2005: Thực hiện thành một chuyên đề để hướng dẫn cho các em học sinh khối 8, trường THCS Nguyễn Trường Tộ cụ thể như sau:
Hướng dẫn các em nắm bắt lý thuyết 4 tiết.
Hướng dẫn thực hành tại lớp 3 tiết.
Kiễm tra tại lớp 1 tiết. Sau đó đánh giá hiệu quả thực hiện.
* Nhận xét chung và giải pháp:
Trong quá trình nghiên cứu về lý thuyết, do trước đây các em còn thực hiện giải bài tập theo cảm tính nên khi được gợi ý phương pháp chung các em khó hình dung và nắm bắt phương pháp vì vậy tôi đã chọn giải pháp hướng dẫn chi tiết từng bước một, mỗi bước đều có minh họa cụ thể.
Các bài tập minh họa trong tài liệu là những bài tương đối khó nên khó có thể minh họa cho các em, do vậy tôi chọn giải pháp: thay các bài tập bằng các bài tập các em vừa được giải ở các giờ chính khóa, sau đó sắp xếp lại cho đúng trình tự của phương pháp gợi ý trong phần lý thuyết.
Về thực hành do có sự chênh lệch về mức tiếp thu kiến thức của các đối tượng học sinh khác nhau, nên phải chọn giải pháp phân nhóm đối tượng để đề ra chỉ tiêu khác nhau. Học sinh yếu, trung bình và khá ở bước 4 chỉ cần kiểm tra lời giải để phát hiện sai sót nhằm bổ sung và sửa chửa, học sinh giỏi cần thực hiện thêm việc nghiên cứu lời giải và phát triễn bài toán, ra đề bài toán tương tự hoặc gần tương tự bằng cách thêm bớt giả thiết và kết luận 
2/ Từ tháng 9/2005 đến tháng 5/2006: Lồng ghép thường xuyên vào các tiết chính khóa của 5 lớp 7 (76, 77, 78, 79, 710) của trường THCS Nguyễn Trường Tộ cụ thể như sau:
Từ tháng 9/2005 đến hết tháng 12/2005: Lồng ghép dần các bước giải có kèm minh họa việc tìm hiểu đề toán và xây dựng chương trình giải.
Từ tháng 1/2006 đến hết tháng 4/2006: Lồng ghép dần các bước giải có kèm minh họa hai bước giải còn lại.
Tháng 5/2006: khảo sát và đánh giá hiệu quả thực hiện.
* Nhận xét chung và giải pháp: 
	 - Thời gian đầu lúc lồng ghép vào các tiết dạy chính khóa, việc phân bố thời gian trong tiết dạy gặp nhiều trở ngại nên phải đưa vào từng nội dung nhỏ và phải cho các em vận dụng dần dần từng bước một nội dung của phương pháp.
	 - Lúc kiễm tra vở bài tập của học sinh, tôi chỉ mới kiễm tra được một phần của việc thực hiện bước giải thứ 4, nên ngoài việc lồng ghép vào các bước giảng dạy của tiết luyện tập, khi hướng dẫn học sinh học ở nhà, tôi còn gợi ý cho các em giải đúng theo trình tự của phương pháp, và kiễm tra vở nháp của học sinh thường xuyên để biết được học sinh đã thực hiện các bước giải như thế nào.
ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ THỰC HIỆN.
	Qua hai năm học thực hiện theo hai hình thức khác nhau và trên hai khối lớp khác nhau tôi đã khảo sát và đánh giá hiệu quả thực hiẹân như sau:
	1/ Trước khi hướng dẫn gợi ý về phương pháp giải toán:
Khối lớp
Tổng số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
TS
TL
TS
TL
TS
TL
TS
TL
TS
TL
8
353
73
21%
86
24%
106
30%
52
15%
36
10%
7
196
35
18%
52
27%
69
35%
23
12%
17
9%
Cộng
549
108
20%
138
25%
175
32%
75
14%
53
10%
	2/ Sau khi hướng dẫn gợi ý về phương pháp giải toán:
Khối lớp
Tổng số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
TS
TL
TS
TL
TS
TL
TS
TL
TS
TL
8
353
85
24%
92
26%
142
40%
34
10%
0
0%
7
196
43
22%
60
31%
82
42%
11
6%
0
0%
Cộng
549
128
23%
152
28%
224
41%
45
8%
0
0%
	3/ Nhận xét chung:
Sau khi khảo sát và đánh giá hiệu quả thực hiện số lượng học sinh yếu, kém giảm đáng kể, số lượng học sinh trung bình, khá và giỏi có tăng cao.
Quan sát thời gian trung bình của một học sinh khi giải một bài toán ở mức độ tương đối khó đã giảm từ 12 phút xuống còn 8 phút cho học sinh giỏi, 15 phút xuống còn 10 phút cho học sinh khá. Riêng học sinh trung bình và yếu số lượng bài tập không giải được giảm đáng kể (khảo sát thông qua bài kiểm tra, thông qua thời gian giải một bài tập ở lớp, thông qua việc kiễm tra vở của làm bài tập ở nhà của học sinh)
Mộït số đồng nghiệp khi sử dụng tài liệu này để hướng dẫn thử nghiệm cho học sinh cũng nhận xét rất tốt về hiệu quả của việc sử dụng tài liệu này. 
MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA.
1/ Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: (2x + 1)(2y + 3) = 63. (1)
Giải:
	a/ Xây dựng chương trình giải: Ta chú ý rằng x, y N và do (1) nên 2x + 1 và 2y + 3 là những ước số của 63. Ta thấy 2y + 3 nên lần lượt cho 2y + 3 bằng các ước số lớn hơn hay bằng 3 của 63, ta sẽ tìm được các giá trị của y và các giá trị của x tương ứng.
	b/ Lời giải: Từ (2x + 1)(2y + 3) = 63 và x, y N ta có: 2y + 3 .
	Mà 63 = nên có 4 khả năng sau:
	* 
	* 
	* 
	* 
	c/ Phát triển bài toán: Với phương pháp giải trên ta có thể giải các phương trình nghiệm nguyên có dạng X.Y = m. 
Chẳng hạn: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
(x –1)(y – x – 1) = 7.
2/ Hãy thêm vào bên trái của số 1995 một chữ số và bên phải một chữ số để được số mới chia hết cho 45.
Giải:
	a/ Xây dựng chương trình giải: Ta phân tích 45 = 5.9 là tích của hai số nguyên tố cùng nhau. Từ đó suy ra số chia hết cho 45 khi và chỉ khi nó vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9. Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5 ta sẽ tìm đựơc chữ số bên phải và dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để ta tìm được chữ số bên trái.
	b/ Lời giải: Gọi x là chữ số thêm vào bên trái, y là chữ số thêm vào bên phải 
x, y N; và x ta có:
	Nên xãy ra 2 trường hợp: và
c/ Phát triển bài toán: từ lời giải của bài toán này, kết hợp với những dấu hiệu chia hết khác, có thể nêu và giải nhiều bài toán tương tự như: Tìm các chữ số x và y sao cho:
; ; ; 
3/ Phân tích đa thức thành nhân tử: .
a/ Xây dựng chương trình giải: ta nhận thấy không thể áp dụng các phương pháp thông thường để phân tích được. Vì vậy cần phải biến đổi đa thức để đưa về các dạng như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử  Bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạng tử.
b/ Lời giải: 
c/ Phát triển bài toán: Ta cũng có thể biến đổi theo nhiều cách khác nhau để phân tích. Sau đây là 7 cách khác với cách vừa phân tích trên:
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0, nên f(x) chia hết cho x – 1. Thực hiện phép chia f(x) cho x – 1, ta được thương là x – 5. Vậy: .
4/ Chứng minh rằng đa thức chia hết cho .
	a/ Xây dựng chương trình giải: từ yêu cầu của bài toán ta có thể thực hiện phép chia cho và tìm ra số dư bằng 0. 
b/ Lời giải: Ta thực hiện phép chia như sau:
x9 + x7 + x5 x2 + x + 1 
x9 + x8 + x7 x7 – x6 + x5
– x8
– x8 – x7 – x6 
 x7 + x6 + x5
 x7 + x6 + x5
 0
	Vậy chia hết cho .
	c/ Phát triển bài toán: có thể giải bài toán bằng cách khác như sau: Phân tích đa thức thành nhân tử, trong đó có một nhân tử là:
	Vậy chia hết cho .
5/ Cho tam giác đều ABC có AP là phân giác. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, vẽ tia Px sao cho góc bằng góc , tia nàycắt AC tại E. chứng minh PB = PE.
 	 A 
 	 x
	E
	 B P C 
a/ Xây dựng chương trình giải: Với giả thiết đã cho có rất nhiều cách để di đến chứng minh PB = PE. Sau đây chỉ là một cách.
	Ta chứng minh PB = PE , nhưng PB = (theo giả thiết) nên ta đi chứng minh cho được: = PE (1). Để chứng minh (1) ta phải chứng minh PE // AB và PB = PC.
	Ta có: PB = PC (giả thiết) và = = = 600, từ đây ta suy ra điều cần chứng minh.
	b/ Lời giải: (tóm tắt)
	Ta có: = = = 600 (giả thiết)
	Mà: PB = PC (giả thiết)
	Suy ra: PE là đường trung bình .
	Vậy PB = PE = .
	c/ Phát triển bài toán: Hãy thay điều kiện tam giác đều ABC bằng tam giác cân và thiết lập được bái toán tương tự (Học sinh tự chứng minh).
	Chú ý: Trên đây chỉ là những bài toán mang tính chất minh họa chung cho các khối lớp. Vì thế tùy theo tư