Phương pháp giải toán Hình học 7 - Nguyễn Chí Thành

. Chứng minh AI vuông góc BC.
	 b. Gọi D là trung điểm của AC, M là giao điểm của BD với AI. Chứng minh rằng M là trọng tâm của tâm giác ABC.
	 c. Biết AB = AC = 5cm; BC = 6 cm. Tính AM.
 Bài 78. Cho ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho DM = BM
a. Chứng minh BMC = DMA. Suy ra AD // BC.
b. Chứng minh ACD là tam giác cân.
c. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CA = CE. Chứng minh DC đi qua trung điểm I của BE. 
Bài 79. Cho tam giác ABC có AB < AC và tia phân giác AD . Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE =AB .
 a. So sánh và .
 b. Chứng minh BD = DE .
 c. AB cắt ED ở K . Chứng minh DBK = DEC .
 d. AKC là tam giác gì ? 
 e. Chứng minh AD KC 
Bài 80. Cho góc xOy = 1200. Điểm A thuộc tia phân giác của góc đó. Kẻ AB vuông góc với Ox (BOx) ; AC vuông góc với Oy (COy). Chứng minh rằng:
AB = AC
AO BC
Kẻ BE vuông góc với phần kéo dài của Oy tại E. Cho OE = 3cm; Oc = 5cm. Tính BC?
Tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ?
Bài 81. Cho cân có AB = AC = 5cm, BC = 8cm. Kẻ AH vuông góc BC (HBC)
Chứng minh: HB = HC.
Tính độ dài AH.
Kẻ HD vuông góc với AB (DAB), kẻ HE vuông góc với AC (EAC). Chứng minh cân
So sánh HD và HC
Bài 82: Cho ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD = CE (D nằm giữa B và E) 
 Chứng minh:ABD = ACE
 Kẻ DM AB (M AB) và EN AC (N AC ). Chứng minh: AM =AN
 Gọi K là giao điểm của đường thẳng DM và đường thẳng EN và BÂC= 120. Chứng minhDKE đều
Bài 83: Cho tam giác ABC có A = 900 , AB = 8cm, AC = 6cm .
 a. Tính BC . 
 b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 2cm; trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Chứng minh ∆BEC = ∆DEC .
 c. Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC . 
Bài 84: Cho tam giác ABC có góc A bằng 900 ; AC> AB. Kẻ AH BC. Trên DC lấy điểm D sao cho HD = HB. Kẻ CE vuông góc với AD kéo dài. Chứng minh rằng:
Tam giác BAD cân
CE là phân giác của góc 
Gọi giao điểm của AH và CE là K. Chứng minh: KD// AB.
Tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác AKC đều.
Câu 85: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 5 cm; kẻ AH ^ BC ( H Î BC)
Chứng minh BH = HC và góc BAH= góc CAH.
Tính độ dài BH biết AH = 4 cm.
Kẻ HD ^ AB ( d Î AB), kẻ EH ^ AC (E Î AC). Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao?
Câu 86: Cho tam giác cân ABC có AB = AC = 5 cm , BC = 8 cm . Kẻ AH vuông góc với BC (H BC)
a. Chứng minh : HB = HC và góc CAH = góc BAH 
 	b.Tính độ dài AH ?
Bài 87. Cho tam giác ABC cân ở A . Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE . Gọi M là giao điểm của BE và CD . Chứng minh rằng :
 a. BE = CD 
 b. 
 c. AM là tia phân giác của góc BAC.
Bài 88. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE 
 a. Chứng minh DE // BC.
 b. Từ D kẻ DM vuông góc với BC , từ E kẻ EN vuông góc với BC .Chứng minh DM = EN
 c. Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân .
 d. Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I . Chứng minh AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAC.
Bài 89. Cho tam giác cân ABC có Â = 450 , AB = AC . Từ trung điểm I của cạnh AC kẻ đường vuông góc với AC cắt đường thẳng BC ở M . Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Chứng minh rằng :
 a. 
 b. 
 c. Tam giác MNC vuông cân tại C .
Bài 90. Cho tam giác ABC vuông ở A có và AC – AB = 14cm . Tính các cạnh của tam giác đó .
Bài 91. Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác đều ACD và BCE .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD . Chứng minh rằng :
 a. AE = BD .
 b. 
 c. Tam giác MNC là tam giác đều.
Bài 92 .Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm D . trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE . Các đường thẳng vuông góc kẻ từ A và E với CD cắt BC ở G và H . Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M . Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH ở I . Chứng minh :
 a. 
 b. 
 c. BG = GH 
Bài 93. Cho tam giác ABC cân ở A . Trên cạnh BC lấy điểm D . Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho . Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt AB ở M . Từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N .
 a. Chứng minh MD = NE 
 b. MN cắt DE ở I . Chứng minh I là trung điểm của DE
 c) Từ C kẻ đường vuông góc với AC , từ B kẻ đường vuông góc với AN chúng cắt nhau tại O. Chứng tỏ AO là đường trung trực của BC
Bài 94. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối tia AC lấy điểm D sao cho DA=AC. Chứng minh tam giác BCD vuông.
Bài 95. Cho tam giác ABC đều, Tia phân giác góc ABC cắt AC ở D, tia phân giác của góc ACB cắt AB ở E. Gọi O là giao điểm của BD và CE.CMR:
 a. BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB.
 b. OA= OB = OC.
Bài 96. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AC = 20cm. Kẻ AH vuông góc với BC tại H.Biết BH= 9cm, HC=16cm. Tính AB và AH.
Bài 97. Cho tam giác ABC nhọn, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Biets AB = 10cm.AH=8cm, HC=15cm. Tính chu vi tam giác ABC.
Bài 98. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng: BH2+CH2+ 2AH2 = BC2
Bài 99. Cho tam giác ABC có AB=8cm, AC= 6cm, BC= 10cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD= 1cm. Tính độ dài đoạn thẳng BD.
Bài 100. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết 3AB= 4AC và BC= 20cm. Tính độ dào các cạnh AB và AC.
Bài 101. Cho tam giác ABC vuông tại A , Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng AH2 = BH.CH
Bài 102. Cho tam giác ABC có góc A= 300. Dựng bên ngoài tam giác ABC tam giác đều BCD. Chứng minh rằng AD2 = AB2 + AC2
Bài 103. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho BM= BA, CN = CA. Tính góc MAN.
Bài 104. Cho tam giác ABC vuông tại A( AB< AC), phân giác AD. Từ D vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại M. Tính góc MBD.
Bài 105. Tam giác ABC có góc B= 750, góc C = 600. kéo dài BC một đoạn thẳng CD sao cho CD= 12 BC. Tính góc ABD.
Bài 106. Cho tam giác ABC, AB= AC. Tia phân giác của góc B và Góc C cắt AC và AB lần lượt ở D và E. Chứng minh rằng:
 a. Tam giác AED cân tại đỉnh A
 b. DE // BC.
 c. BE= ED = DC.
Bài 107. Cho tam giác ABC, phân giác AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở E, qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại K. Chứng minh:
 a. Tam giác AED cân.
 b. AE= BK.
Bài 108. Cho tam giác ABC có góc B = 450, góc A = 150. Trên tia đối tia CB lấy điểm D sao cho CD= 2BC. Kẻ DE vuông góc với AC.
 a. Chứng minh EB= ED.
 b. Tính góc ADB.
Bài 109. Cho tam giác ABC, góc A= 600. Tia phân giác góc B và góc C cắt các cạnh đối diện tại D và E, BD và CE cắt nhau tại O. Tia phân giác của ggocs BOC cắt BC tại F. Chứng minh rằng:
 a. OD= OE = OF.
 b. Tam giác DEF đều,
Bài 110. Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 1/3 AB. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC ở F.
Chứng minh rằng:
 a. DF vuông góc với BC.
 b. Tam giác DEF đều.
Bài 111. Cho tam giác ABC có góc B= 500. Từ đỉnh A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác của góc B ở E.
 a. Chứng minh tam giác AEB cân.
 b. Tính góc BAE.
Bài 112. Cho tam giác cân ABC( AB= AC). Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E sao cho AD = AE. Gọi M là trung điểm của BC.CMR:
 a. DE//BC.
 b. 
 c. 
Bài 113. Cho . Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D, cắt AC ở E. Chứng minh rằng: DE= BD + CE.
Bài 114. Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối các tia AB, BC, CA lấy theo thứ tự 3 điểm D, E, F sao cho AD= BE = CF.chứng minh tam giác DEF đều.
Bài 115. Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Trên đáy BC lấy hai điểm M, N sao cho BM= CN= AB. 
a. chứng minh tam giác AMN cân.
b. tính góc MAN.
Bài 116. Cho có góc A = 600. Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai tam giác đều AMB và ANC.
 a. Chứng minh M,A, N thẳng hàng.
 b.BM= CN.
Bài 117. Cho tam giác ABC cân ở A. Trên tia đối AB lấy điểm D, trên tia đối AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh:
 a. DE//BC
 b. BE= CD
 c. 
Bài 118. Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Vẽ phía ngoài của tam giác hai tam giác đều ABD và ACE.
Chứng minh BE= CD.
 Gọi I là giao điểm của BE và CD. Tính góc BIC.
Bài 119. Cho tam giác ABC vuông cân ở A, biết AB= AC= 4cm.
 tính BC,
từ A kẻ đường thẳng vuông govs với BC. Chứng minh D là trung điểm của BC.
từ D kẻ DE vuông góc với AC. Chứng minh tam giác AED là tam giác vuông cân.
tính AD.
Bài 120. Cho tam giác ABC vuông tại A( AB> AC). 
cho AB= 8cm, BC= 10cm. Tính AC
 b. gọi M là trung điểm của BC.trên tia đối MA lấy D sao cho MD= MA. Vẽ AH vuông góc với BC tại H, trên tia đối của HA lấy E sao cho HE = HA. CMR:
 a. CD vuông góc với AC. b. cân. c. BD= CE. d. AE vuông góc với ED.
Bài 121. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Vẽ HD vuông góc với AB tại D. HE vuông góc với AC tại E. CMR:
 a. BH= HC b. BD= CE
Bài 122. Cho rABC , kẻ AH BC. Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 8cm . Tính độ dài các cạnh AH, HC, AC? 
Bài 123. Cho tam giác cân ABC cân tại A (AB = AC). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
	a. Chứng minh .
	b. Chứng minh BE = CD. 
	c. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh ∆KBC cân tạ K.
	d. Chứng minh AK là tia phân giác của góc BAC. 
Bài 124. Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ ( ). Biết AB = 13 cm; AH = 12 cm và HC = 16 cm. Tính chu vi tam giác ABC.
Bài 125. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm Q và R sao cho BQ = CR.
Chứng minh AQ = AR
Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh : QAH=REH
Bài 126. Cho ABC có AB = AC = 5 cm; BC = 8 cm. Kẻ AH BC (HBC)
a. Chứng minh HB = HC và BAH=CAH
b. Tính AH.
c. Kẻ HD AB (DAB); HE AC (EAC). Chứng minh: HDE cân.
Bài 127.. Cho rABC , kẻ AH BC. Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 10cm .
Biết C=300. Tính HAC
Tính độ dài các cạnh AH, HC, AC.
Bài 128. Cho tam gíac ABC cân tại A. Kẽ , I BC.
a. CMR: I là trung điểm của BC.
b. Lấy điểm E thuộc AB và điểm F thuộc AC sao cho AE = AF. Chứng minh rằng:IEF là tam giác cân.
c. Chứng minh rằng: EBI = FCI.
Bài 129. Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với 9; 12 và 15	
Bài 130. Cho góc nhọn xOy và N là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ NA vuông góc với Ox (AOx), NB vuông góc với Oy (B Oy)
 a. Chứng minh: NA = NB.
 b. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?
 c. Đường thẳng BN cắt Ox tại D, đường thẳng AN cắt Oy tại E. Chứng minh: ND = NE.
 d. Chứng minh ONDE
Bài 131. Tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC ( HBC ). Tính AH biết: AB:AC = 3:4 và BC = 10 cm.
Bài 132. Cho góc nhọn xOy và K là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ KA vuông góc với Ox (AOx), KB vuông góc với Oy ( BOy)
 a. Chứng minh: KA = KB.
 b. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?
 c. Đường thẳng BK cắt Ox tại D, đường thẳng AK cắt Oy tại E. Chứng minh: KD = KE.
 d. Chứng minh OKDE
Bài 133. Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại I.
Chứng minh BDC=CEB
So sánh góc IBE và góc ICD.
AI cắt BC tại H. Chứng minh tại H.
Bài 134. Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ 
Chứng minh BAH=CAH
Cho AH = 3 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài AC.
Kẻ . Chứng minh AE = AD.
Chứng minh ED // BC.
Bài 135. Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại I.
Chứng minh ∆BDC=∆CEB
So sánh góc IBE và góc ICD.
AI cắt BC tại H. Chứng minh tại H.
Bài 136. Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ 
Chứng minh BAH=CAH
Cho AH = 3 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài AC.
Kẻ . Chứng minh AE = AD.
Chứng minh ED // BC.
Bài 137. Cho tam giác MNP cân tại N. Trên tia đối của tia MP lấy điểm I, trên tia đối của tia PM lấy điểm K sao cho MI = PK.
a. Chứng minh: DNMI = DNPK ; 
b. Vẽ NH ^ MP, chứng minh DNHM = DNHP và HM = HP	
c. Tam giác NIK là tam giác gì? Vì sao?	
Bài 138. ChoABC vuông tại A, đường phân giác BE. Kẻ EH BC ( H BC ). Gọi K là giao điểm của AH và BE. Chứng minh rằng:
a. ABE = HBE b. BE là đường trung trực của AH
Bài 139. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH ^ BC
a. Chứng minh: DAHB = DAHC	 ; b.Vẽ HM ^ AB, HN ^ AC. Chứng minh DAMN cân	 
c. Chứng minh MN // BC	 ; d.Chứng minh AH2 + BM2 = AN2 + BH2	
Bài 140. Cho tam giác ABC , có AC < AB , M là trung điểm BC, vẽ phân giác AD. Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với AD tại H, đường thẳng này cắt tia AC tại F ,cắt AB tại E. Chứng minh rằng :
a. AFE cân 
b. Vẽ đường thẳng Bx // EF, cắt AC tại K. Chứng minh rằng : KF = BE
c. Chứng minh rằng : AE = 
Bài 141. Cho ΔABC vuông tại A, M là trung điểm BC, vẽ MH vuông AB. Trên tia đối tia MH lấy điểm K sao cho MK = MH.
a.CMR: ΔMHB = ΔMKC b.CMR: AC = HK
c.CH cắt AM tại G, tia BG cắt AC tại I. CMR: I là trung điểm AC
Bài 142. Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M,N. DM=EN, đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN. Chứng minh rằng: 
DM=EN.
MN cắt BC tại trung điểm I của MN.
đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
HD:
a, ∆BDM=∆CEN(cgv-gnk) nên DM=EN.
b, ∆DMI=∆ENI(cgv-gnk) nên MI=NI.
c, Từ B và C kẻ đường thẳng vuông AB và AC cắt nhau tại J, ∆ABJ=∆ACJ (ch-cgv) nên J thuộc trung trực BC. Suy ra ∆BMJ=∆CNJ => MJ=NJ hay trung trực MN đi qua J cố định.
Bài 143. Cho tam giác ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK, đường này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E. Gọi I là trung điểm của DE.
a. Chứng minh rằng: AI vuông góc với BC.
b. Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không? Vì sao?
HD: a, C=CAK ; CAK=IDA cùng phụ KEA; IDA=IAD;suy ra C=IAD, mà C+B=900 nên B+IAD=900=>AI vuông BC.
b, Vì AI=IE=ID; AK=KC=KB; mà AI>AK nên DE>BC.
Bài 144. Cho tam giác ABC (AB>AC), M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. CMR:
a.EF24+AH2=AE2 
b. 2BME=ACB-B
c) BE=CF
HD: a, ∆AHF=∆AHE(cgv-gnk) nên HE=HF, suy ra EF24=HE2 mà ∆AHE vuông tại H nên AH2 +HE2 =AE2 => AH2+ EF24 =AE2.
b, B+BME=MEA mà MEA=180-A:2=B+C:2 hay B+BME=B+C:2 => 2BME=ACB-B
c, Trên tia đối MF lấy P sao cho MF=MP, suy ra ∆MCF=∆MBP(c.g.c) nên MPB= MFC và CF=BP (1) mà MFC=MEA=PEB nên ∆BPE cân B=>BE=BP (2) . Từ (1)(2) suy ra BE=CF
Bài 145. Cho tam giác ABC có góc B và C là 2 góc nhọn. Ax là tia bất kỳ nằm giữa 2 tia AB và AC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax. 
Chứng minh BH+CK ≤ BC.
Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH+CK có giá trị lớn nhất.
HD: a, Gọi N là giao Ax và BC. Ta có: BH≤ BN, CK ≤CN nên BH+CK ≤ BN+CN=BC.
b, Theo a, BH+CK lớn nhất bằng BC khi H và K trùng với N suy ra Ax là đường cao từ đỉnh A.
Bài 146. : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao AH, ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông
góc với AH (M,N thuộc AH)
a. CM: EM+HC=NH
b. CM: EN // FM
Bài 147. Cho tam giác ABC cân tại A có A=200, vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phân giác của góc BAC
 AM = BC
HD: a. Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra DAB=DAC	
b, ABM=100 nên ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC nên AM = BC	
Bài 148: Cho ∆ABC nhọn đường cao AD, Gọi M và N sao cho AB là trung trực DM, AC là trung trực DN.
Chứng minh ∆ANM cân.
Chứng minh AD là phân giác IDK.
Chứng minh BK vuông AC, CI vuông AB.
Chứng minh ∆ABC có ba đường cao là 3 đường phân giác của ∆IDK.
HD:
a, AM=AN ( cùng bằng AD)
b, IDA= IMA; ADK= ANK Mà AMI= ANK nên IDA= ADK.
c, Xét ∆IDK có BI và BD là phân giác ngoài góc I và D nên BK là phân giác trong góc K, mà KC là phân giác ngoài góc K nên BK vuông KC. Chứng minh tương tự suy ra CI vuông AB.
d, Theo c) thì AD, BK, CI là đường cao ∆ABC và là phân giác ∆DIK.
Bài 149: Cho ∆ABC có A=600, Gọi BM và CN là phân giác góc B và C (M thuộc AC, N thuộc AB). CN giao BM tại G.
Tính BGC.
Chứng minh ∆NGM cân.
Chứng minh BN+CM=BC.
HD:
a, GBC+GCB=B+C:2=1200:2=600=> BGC=1200.
b, Kẻ GD là phân giác BGC, ∆GBD=∆GBN(g.c.g) nên GN=GD(1)
∆GDC=∆GMC(g.c.g) nên GD=GM (2). Từ (1)(2) => GN=GM.
c, ∆GBD=∆GBN(g.c.g) nên BN=BD
∆GDC=∆GMC(g.c.g) nên MC=CD. Suy ra MC+BN=BD+DC=BC.
Bài 150: 
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng phân giác ngoài của góc B và C đồng quy với phân giác trong của góc A.
Chứng minh phân giác trong và phân giác ngoài của một góc vuông góc với nhau.
HD: a, Gọi giao điểm phân giác ngoài góc B và C là D, 
Vì D nằm trên phân giác ngoài góc B suy ra khoảng cách từ D tới AB và BC bằng nhau.(1)
Tương tự khoảng cách từ D tới BC và AC bằng nhau (2).
Từ (1) và (2) suy ra khoảng cách từ D tới AB và AC bằng nhau => D nằm trên phân giác góc A.
Bài 151: Cho ∆ABC có A=1200, các đường phân giác AD,BE. Chứng minh DE là phân giác ngoài góc D.
HD: Xét ∆ABD có AC là phân giác ngoài góc A, BE là phân giác trong góc B => DE phải là phân giác ngoài góc D.
Bài 152: Cho ∆ABC trung tuyến AM, Từ M kẻ //AB cắt AC tại N, cho AN=NM và BN cắt AM tại O. CMR: 
∆ABC cân.
O là trọng tâm ∆ABC
HD:
a, ∆ANM cân nên NAM=NMA mà NMA=BAM (sole trong) => AM vừa là trung tuyến, vừa là phân giác nên ∆ABC cân A.
b, Vì ∆ABC cân nên ∆MNC cân tại N( C=NMC cùng bằng B)nên NM=NC suy ra N là trung điểm AC suy ra BN và AM là hai trung tuyến => O là trọng tâm ∆ABC.
Bài 153: Cho ∆ABC cân tại A, đường cao AH, trên tia đối HA lấy D sao cho HD=HA, trên tia đối CB lấy E sao cho CB=CE.
Chứng minh C là trọng tâm ∆ADE.
AC cắt DE tại M, chứng minh HM//AE
HD:
a, trong ∆ADE có EH là đường trung tuyến, C thuộc EH mà CE=2CH nên C là trọng tâm ∆ADE.
b, Vì C là trọng tâm nên M là trung điểm DE, mà H là trung điểm AD nên HM là đường trung bình ∆ADE nên HM//AE.
Bài 154: Cho ∆ABC có 3 trung tuyến DA,BE,CF cắt nhau tại G. CMR:
2AD<AB+AC.
BE+CF>32BC.
34(AB+BC+AC)<AD+BE+CF<AB+AC+BC.
HD:
a, trên tia đối DA lấy M sao cho DA=DM. ∆ADB=∆MDC(c.g.c) nên AB=MC.
Xét ∆AMC có AC+MC>AM hay AC+AB>2AD.
b, EF là đường trung bình nên FE=1/2.BC
EG+GF>EF (1); BG+CG>BC (2). Cộng theo vế (1)(2): EG+FG+CG+BG>EF+BC
hay BE+CF>1/2BC+BC=3/2BC.
c, GA+GB>AB hay 23(DA+BE)>AB => AD+BE>32AB. Tương tự: AD+CF>32AC; CF+BE>32BC
Suy ra (AD+CF)+(AD+BE)+(BE+CF)>32(AB+BC+AC) hay 2(AD+BE+CF)> 32(AB+BC+AC)
(AD+BE+CF)> 34(AB+BC+AC)(3)
Theo AB+AC>2AD. Chứng minh tương tự: AB+BC>2BE; AC+BC>2CF cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên :
AB+AC+AB+BC+BC+AC>2AD+2BE+2CF hay AB+AC+BC>AD+BE+CF (4)
Từ (3)(4) => đpcm.
Bài 155: Cho ∆ABC phân giác góc B và góc C cắt nhau tại O. Từ A kẻ đường thẳng vuông OA cắt OB và OC tại M và N. Chứng minh BM vuông BN; CM vuông CN.
HD:
OA là phân giác trong góc A mà MN vuông OA nên MN là phân giác ngoài góc A .
Trong ∆ABC có NC là phân giác trong góc C, NM là phân giác ngoài góc A nên NB là phân giác ngoài góc B (1)
Mà BM là phân giác trong góc B (2). Từ (1)(2) => BN vuông BM. Chứng minh tương tự CM vuông CN.
Bài 156: Cho ∆ABC có B=450; đường cao AH, phân giác BD. Cho BDA=450, chứng minh HD//AB.
HD: trong tam giác ABD có ADB=450; BAH=450; ABD=22,50 nên A=112,50, suy ra AC là phân giác ngoài góc A, Mà BD là phân giác trong góc B nên DH là phân giác ngoài góc AHC => AHD=450 mà BAH=450=> HD//AB
Bài 157: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H, Lấy K sao cho AB là trung trực HK, chứng minh KAB=KCB.
HD: KAB=EAH Mà EAH=HCB nên KAB=KCB.
Bài 158: Cho tam giác ABC có A=1200, phân giác AD, trên AD lấy O. trên tia đối AC lấy M sao cho: ABM=ABO, trên tia đối AB lấy N sao cho ACN=ACO.
Chứng minh AM=AN.
Tam giác MON đều.
HD:
a, CAM=NAB=600 => ∆ACO=∆ACM(g.c.g) nên AM=AO và ∆AOB=∆ANB(g.c.g) nên AO=AN
AM=AN.
b, ∆MAO cân tại A có A=1200=> AMO=AOM=300, tương tự: ANO=AON=300; AMN=ANM=300 nên ∆MON đều.
Bài 159: Cho tam giác ABC không vuông các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt đường thẳng BC tại M và N. Chứng minh OA là phân giác MAN.
HD:
a, Gọi Q,P là trung điểm AB và AC. ∆AOM=∆BOM(c.c.c) nên OBM=OAM. ∆ANO=∆CNO nên OCN=OAN mà OBM=OCN nên OAM=OAN
TỔNG HỢP
Bài 1: (2 điểm