Kiến thức và bài tập mở rộng Hình học 9

KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP MỞ RỘNG
Bài 1: Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
 giải:
- Tọađộ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ phương trình: . Vậy M(0,2 ; 1,25)
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là:
 2.(0,2) - 1,25 = m m = - 0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
Bài 2: Trong tháng I hai tổ sản xuất được 600 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vượt mức 18% và tổ hai vượt mức 21% nên sản xuất được 720 chi tiết máy .Tính số chi tiết máy của mỗi tổ làm được trong tháng I
Giải:
Gọi x, y lần lượt là số chi tiết máy của tổ I, II làm được trong tháng I
ĐK: x,y> 0
Theo bài ra ta có hệ phương trình x+y=10018%x+21%y=120
Bài 3 Cho hàm số
a) Xác định a biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -3x + 4 tại điểm A có hoành độ bằng -2.
b) Với giá trị của a vừa tìm được, vẽđồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọađộ
c) Tìm tọađộ giao điểm của 2 đồ thị
LG
a) tung độ của điểm A là: y = -3.(-2) + 4 = 10. Vậy tọađộđiểm A(-2; 10)
vì đồ thịhsđi qua điểm A nên tọađộđiểm A thỏa mãn hs, ta có: . Khi đóhs có dạng: 
b) vẽđồ thị 2 hs trên cùng mặt phẳng tọađộ
Lập bảng giá trị
x
-2
-1
0
1
2
10
2,5
0
2,5
10
x
0
4/3
y = -3x +_ 4
4
0
c) pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: 
+ Với tọađộđiểm A()
+ Với tọađộđiểm B(-2; 10)
Kiến thức bổsụng:
Các dạng toán của phương trình bậc hai
Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
Phương pháp:
-Tính tổng tích theo tham số.
-Từ một PT biểu thị m theo ẩn
-Thay vào PT còn lại
Dạng 7:: Tìm đkđể PT có hai nghiệm trái dấu
Điều kiện: 
Dạng 8: Tìm đkđể PT có hai nghiệm cùng dấu
Điều kiện:
Dạng 9: Tìm đkđề PT có hai nghiệm dương phân biệt
Điều kiện:
Dạng 10: Tìm đkđể PT có hai nghiệm âm phân biệt
Điều kiện:
Bài 4: Tính diện tích xung quanh và thể tích hình khối sau ( hình vẽ) .Kích thước được cho trên hình ( lấy ; làm tròn 2 chữ số thập phân ) 
	Hướng dẫn giải
Tính diện tích xung quanh
- Độ dài một đường sinh của hình nón 
 l2 = 122 + 52 = 169 => l = 13 ( cm)
- Diện tích xung quanh hình nón 
 S1 = 3,14.5.13 204,1 (cm2)
- Diện tích xung quanh hình trụ
S2 = 2.3,14.5.50 1570 (cm2)
- Diện tích mặt cầu 
Diện tích xung quanh hình khối 
Sxq =S1 + S2 + S3 = 204,1 + 1570 + 157 1931,1 (cm2)
Tính thể tích 
 - Thể tích hình nón 
Thể tích hình trụ
V2 = 3,14.52.50 3925 (cm3)
- Thể tích nửa hính cầu 
- Thể tích hình khối 
V = V1 + V2 + V3314 + 3925 + 261,67 4500,67 (cm3)
Những cách chứng minh sau đây có thể coi là những cách giải của một số bài toán cơ bản mà khi giải bất kì bài toán nào ta cũng đều đưa về các bài toán cơ bản ấy.
Dạng 1 : Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
Sử dụng quan hệ bắc cầu : Chúng cùng bằng với một đoạn thẳng thứ ba.
Sử dụng tính chất tam giác vuông : đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.
Sử dụng tính chất tam giác cân: 2 cạnh bên bằng nhau ; tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau.
Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng: Nếu điểm M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB thì MA=MB.
Sử dụng tính chất tia phân giác của góc: Một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều 2 cạnh của góc ấy.
Đường trung bình của tam giác bằng nửa cạnh tương ứng.
Hai tam bằng nhau thì 2 cạnh tương ứng bằng nhau.
 Sử dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt:
* Trong hình thang cân: 2 cạnh bên bằng nhau; 2 đường chéo bằng nhau.
* Trong hình bình hành (hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật): Các cạnh đối bằng nhau; 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
* Trong hình vuông, hình chữ nhật : 2 đường chéo bằng nhau.
Sử dụng tính chất đối xứng: 2 đoạn thẳng đối xứng nhau qua một điểm (1 đường thẳng) thì bằng nhau.
 Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
 Quan hệđường kính-dây-cung-khoảng cách từ tâm đến dây:
 * Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
 * Đường kính vuông góc dây( chia đôi cung) thì chia đôi dây.
Dạng 2 : Chứng minh hai góc bằng nhau:
Sử dụng quan hệ bắc cầu : Chứng minh chúng cùng bằng (cùng bù hoặc cùng phụ) với một góc thứ ba.
Sử dụng tính chất tia phân giác.
Sử dụng tính chất tam giác cân: 2 góc đáy bằng nhau. 
Sử dụng tính chất đường thẳng song song: 2 góc so le trong (đồng vị) bằng nhau.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Hai góc cùng nhọn (hoặc cùng tù) có cạnh tương ứng song song (hoặc vuông góc) thì bằng nhau.
Hai tam giác đồng dạng (bằng nhau thì 2 góc tương ứng bằng nhau)
Các loại góc: nội tiếp, ở tâm, ... cùng chắn 1 cung
Dạng 3 : Chứng minh hai đường thẳng song song : ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Sử dụng điều kiện song song: 2 góc so le trong bằng nhau hoặc 2 góc đồng vị bằng nhau hoặc 2 góc trong cùng phía bù nhau.
Cùng song song hoặc cùng vuông góc đường thẳng thứ ba.
Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác , hình thang , ...
Hai đường thẳng chứa hai cạnh đối của hình bình hành , hình chữ nhật ,..
Sử dụng định lí Taletđảo “Một đường thẳng cắt hai cạnh tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì nó song song với cạnh còn lại”.
Hai đường thẳng đối xứng qua một điểm thì song song nhau.	
Dạng 4 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc : ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Hai đường thẳng là hai tia phân giác của hai góc kề bù.
Sử dụng quan hệ với đường thẳng thứ ba: Nếu a⊥c và b//c thìa⊥b	
Sử dụng tính chất tam giác cân: Đường trung tuyến (phân giác) xuất phát từđỉnh cũng làđường cao, cũng là trung trực của cạnh đáy.
Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường cao .
Sử dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt : hai cạnh kề hình chữ nhật , hình vuông; hai đường chéo hình thoi , hình vuông.
Hai đường thẳng chứa hai cạnh góc vuông của tam giác vuông.
Sử dụng tính chất một tiếp tuyến.
Sử dụng quan hệ : Nếu đường kính chia đôi dây (không qua tâm) thì vuông góc dây.
Dạng 5: Chứng minh các hệ thức :
Chứng minh các đẳng thức bậc nhất đối với các đoạn thẳng (hoặc các góc) : ta đưa về việc chứng minh các đoạn thẳng (hoặc các góc) bằng nhau..
Chứng minh các đẳng thức có chứa bình phương của các đoạn thẳng: ta nên vận dụng các kiến thức về hệ thức lượng , py- ta -go trong tam giác vuông.
Chứng minh các đẳng thức dạng tích hoặc tỉ số: chẳng hạn AB.CD = A’B’.C’D’ hoặc AB2 = A’B’.C’D’ ta nên sử dụng định lí Talet hoặc các trường hợp đồng dạng của tam giác.
Dạng 6 : Chứng minh các điểm thẳng hàng : chẳng hạn A, B, C 
Sử dụng diều kiện điểm nằm giữa hai điểm : A,B,C thẳng hàng ⇔AC=AB+BC
Sử dụng tiên đềƠclit : ta cần chứng minh AB và AC cùng song song (vuông góc) vơi một đường thẳng thứ ba .
Sử dụng tính chất hai góc kề bù: = 1800.
Dạng 7 : Chứng minh đường thẳng đồng quy: (ba đường thẳng).
Chứng minh một đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường thẳng kia: ta thường đưa về chứng minh các điểm thẳng hàng.
Sử dụng tính chất các đường thẳng đồng quy trong tam giác: ta cần chứng minh chúng là các đường trung tuyến, phân giác , đường cao hay các đường trung trực của một tam giác nào đó.
Sử dụng định lí đảo của định lí Taletđảo mở rộng: Nhiều đường thẳng định ra trên hai đường thẳng song song những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm.
Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp
	- Tổng hai góc đối diện bằng 1800
	- Hai đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới một góc vuông
	- Góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
	- Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn (Khoảng cách từ tâm đến các đỉnh bằng nhau)
Câu hỏi gợi ý chứng minh:
	Ta phải chứng minh cái gì? (xem ở kết luận)
	Muốn như vậy ta cần ghi chi tiết gì?(nên thuộc phương pháp)
	Chi tiết đóđề cho chưa?(phân tích kỹđề toán)
Cách tìm chi tiết: Tại sao đề cho...? Ta có chi tiết gì?...Không lẽđề cho để chơi...?
Trong chứng minh, mỗi chi tiết được nêu ra bắt buộc phải dẫn chứng lí do là tại sao bằng nhau, tại sao vuông góc, ...? Ai cho? Chớ không thể nào bỏ trống được. Ta không nên dùng các từ: „hiển nhiên có”, hay „dễ dàng thấy” vì toán học là rõ ràng, chính xác mà các từấy quá mập mờ. Khi dẫn chứng không nên viết nguyên cảđịnh lí mà chỉ cần ghi phần giả thiết của định lí, phần kết luận là chi tiết mà ta nêu ra ở trước
Ví dụ 1: Từđiểm A ở ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B ,C thuộc (O)). Từ O kẻđường thẳng vuông góc với OB và cắt AC tại D.
	1/ Chứng minh AB // DO
	2/ Chứng minh DA = DO.
	3/ Nếu OA = 2R và I là giao điểm của (O) với OA. Chứng minh DI là tiếp tuyến của (O;R)
Giải
1/ 	AB là tiếp tuyến của (O) (gt) ⇒ AB⊥OB 
	mà DO ⊥OB (gt). Do đó AB // DO .
2/	AB // DO (cmt) ⇒ (so le trong)
	AB , AC là tiếp tuyến của (O) (gt) 
⇒ ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
	⇒ nên ∆AOD cân tại D. Vậy DA = DO.
3/	OA = 2R (gt) , OI = R nên I là trung điểm của OA
	suy ra ∆AOD cân tại D có DI là trung tuyến nên cũng làđường cao 
⇒ DI⊥OI , I ∈ (O) .Vậy DI là tiếp tuyến tại I của (O).
Ví dụ 2 : 
Cho (O; 6cm) và điểm A trên đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến Ax , trên đó lấy điểm B sao cho AB = 8 cm.
	a/ Tính OB ;
	b/ Qua A kẻđường vuông góc với OB , cắt đường tròn (O) ở C. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Hdg:
a/ AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm A nên ABAO. 
Tam giác ABC vuông tại A: OB2 = OA2+ AB2 = 62+ 82 = 100
Suy ra OB = 10 cm.
b/ OB là đờng cao trong tam giác cân AOC nên là phân giác của góc AOC, do đó.
AOB = COB (c.g.c) nên , suy ra BCOC tại C. Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Ví dụ 4: Cho nửa đường tròn (O;R) , đường kính AB. Hai tiếp tuyến Ax , By trên cùng một nữa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn . Trên cung AB lấy điểm M , tiếp tuyến tại M cắt Ax, By, lần lượt ở C, D. Chứng minh:
1/ AC // BD.	;	
2/ OC ⊥OD ( ).
3/ CD = AC + BD. 	;
	4/ Vẽ OC cắt AM tại H, OD cắt MB tại K . Tứ giác OHMK là hình gì ? Vì sao?
	5*/ Gọi N là giao điểm của AD và BC .Chứng minh AC // MN
	6/ Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
7*/ Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD .
Giải
1/	Ax, By là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt)
⇒Ax⊥AB , By⊥AB ⇒Ax // By. Vậy AC // BD.
 2/	Do Ax, By , CD là các tiếp tuyến cắt nhau tại C, D nên : 
	CA = CM ; OC là tia phân giác của góc AOM.
DB = DM ; OD là tia phân giác của góc BOM. 
	 Mà góc AOM và góc BOM kề bù nhau
	Suy ra = 900 hay OC⊥OD.
3/ 	Do CA = CM ; DB = DM (cmt)
	nên CA + DB = CM + DM .Vậy CD = AC + BD.
	4/	Do CA = CM ; DB = DM (cmt) và OA =OM = OB = R
	nên OC , OD lần lượt là đường trung trực của AM và MB
	⇒ (t/c đưởng trung trực) đồng thời = 900( cmt) 
	Vậy tứ giác OHMK là hình chữ nhật (3 góc vuông).
	{Chú ý thêm : OHMK là hình vuông ⇒ M là điểm chính giữa cung AB}
	5/ Do AC//BD (cmt) nên ∆ACN ∆DBN (hệ quả Talet)
⇒ (đ/n ∆)
	Mà AC = CM , BD = DM (cmt) . Do đó : ⇒ AC // MN (định lí Taletđảo).
	6/ Xét ∆CDO vuông tại O () đường cao OM = R (CD là tiếp tuyến tại M):
	Theo hệ thức giữa đường cao và hình chiếu : 
	OM2 = CM.MD = AC.BD = R2	(vì AC = CM , BD = DM)
	Vậy tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
	7/ Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆COD .
	 Do tam giác COD vuông tại O nên O’ là trung điểm cạnh huyền CD.
	 Do AB là đường kính đương tròn (O) nên O là trung điểm AB
	Vì thế OO’ là đường trung bình của hình thang ACDB (AC//DB)
⇒ OO’ // AC , mà AC⊥AB (t/c tiếp tuyến) suy ra OO’⊥AB tại O.VậyAB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD .
Bài 1. Giải các phương trình sau :
Giải
Vậy phương trình có nghiệm 
Vậy phương trình có nghiệm 
*) Cách 1 : Sử dụng công thức nghiệm :
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt : 
*) Cách 2 : Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phương trình có nghiệm : 
Đặt . Ta có phương trình : 
a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0 
=> phương trình có nghiệm : (thỏa mãn); (loại)
Vậy phương trình có nghiệm 
Vậy phương trình có nghiệm 
(ĐKXĐ : )
Phương trình : 
=> phương trình có hai nghiệm : 
	(thỏa mãn ĐKXĐ)
	(thỏa mãn ĐKXĐ)
Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : (1)
a/ Giải phương trình với m = - 2.
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình. Tính theo m.
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : .
d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
Giải
a/ Thay m = - 2 vào phương trình (1) ta có phương trình :
Vậy với m = - 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phương trình : (1)
Phương trình có nghiệm 
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : 
*) 
*) 
c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm 
Khi đó 
Do đó 	
=> phương trình có hai nghiệm : 
Thử lại :	+) Với => loại.
	+) Với => thỏa mãn.
Vậy với m = - 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : .
d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm 
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : 
Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5 (c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình : 
Thay vào (b) ta có phương trình : 
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt :
Thử lại :	+) Với => thỏa mãn.
	+) Với => thỏa mãn.
Vậy với phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Phương trình (1) có nghiệm 
Khi đó : 
Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.
f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 
Vậy với m < - 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :