Kiến thức cơ bản và nâng cao phân số

N THỨC CƠ BẢN
TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ
1. Điền số thích hợp vào dấu (*) và (**)
Xem lời giải tại:
2. Một vòi nước chảy 5 giờ thì đầy bể. Hỏi sau khi chảy trong 1 giờ; 50 phút và
180 phút thì lượng nước đã chảy chiếm bao nhiêu phần bể?
Xem lời giải tại:
3. Tìm số nguyên x, y biết:
Xem lời giải tại:
4. Tìm các số nguyên x, y, z biết : 
−10
15
=
x
−9
=
−8
y
=
z
−21
.
Xem lời giải tại:
5. Tìm x, y biết: (x, y  ∈  Z)
Xem lời giải tại:
a. 
17
23
 và 
1717
2323
. b. 
−31
49
 và 
−313131
494949
.
6. Tìm một phân số có giá trị bằng 
−2
5
 và tổng của tử và mẫu bằng 24.
Xem lời giải tại:
7. Tìm phân số có giá trị bằng 
8
18
 và tích của tử và mẫu bằng 324.
Xem lời giải tại:
8. Tìm các số nguyên x; y biết:
a.
x
−3
=
4
y
b.
x
y
=
2
5
Xem lời giải tại:
9. Trong các phân số sau đây, tìm phân số không bằng phân số nào trong các
phân số còn lại:
50
40
;
60
48
;
10
8
;
6
4
;
15
12
;
25
20
;
5
4
Xem lời giải tại:
10. Các phân số sau đây có bằng nhau không? Vì sao?
Xem lời giải tại:
RÚT GỌN PHÂN SỐ
a. 
4.7.22
33.14 b. 
62
42
c. 
9.6 − 9.2
18
11. Rút gọn các phân số sau:
−18
24
;
15
35
;
30
55
;
45
75
;
−132
144
Xem lời giải tại:
12. Tìm tất cả các phân số bằng phân số 
34
51
 và có mẫu là số tự nhiên nhỏ hơn
16.
Xem lời giải tại:
13. Trong các phân số sau đây, phân số nào là phân số tối giản?
−5
36
;
42
30
;
−18
43
;
7
−118
;
15
132
Xem lời giải tại:
14. Rút gọn các phân số sau:
Xem lời giải tại:
15. Viết dạng tổng quát của các phân số bằng 
−21
39
.
Xem lời giải tại:
16. Trong các phân số sau đây, tìm phân số không bằng phân số nào trong phân
số còn lại:
a. 
5
30
;
1
6
;
4
24
;
10
60
;
2
12
;
3
18
;
5
3
b. 
−24
36
;
−6
9
;
−10
15
;
−14
21
;
−12
18
;
−3
2
;
−8
12
Xem lời giải tại:
17. Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi n  ∈  N: 
n + 1
2n + 3
Xem lời giải tại:
18. Rút gọn:
M=
1 + 2 + . . . . + 8 + 9
11 + 12 + . . . . + 18 + 19
Xem lời giải tại:
19. Tìm một phân số 
a
b
, biết rằng: 
a
b
=
18
30
, và ƯCLN(a; b)= 40.
Xem lời giải tại:
20. Tìm số tự nhiên n biết rằng: 
23 + n
40 + n
=
3
4
.
Xem lời giải tại:
21. Cho 
a
b
 là phân số chưa tối giản. 
Chứng tỏ rằng phân số 
a + b
b
 cũng là phân số chưa tối giản. 
(a, b  ∈  Z; b  ≠  0)
a.  50cm2 b.  250 dm2
c.  60 dm2 d.  750 cm2
a. 
39
−104
⋅ b. 
−378
−440
⋅
c. 
62
42
⋅ d. 
35.24
8.36
a. 
x
5
=
2
5
⋅ b. 
−4
x
=
20
15
⋅
c. 
x
−2
=
−8
x
⋅ d. 
3
x − 5
=
−4
x + 2
⋅
a. 
13
21
 và 
9
14
⋅ b. 
3
14
;
4
15
 và 
6
17
⋅
c. 
13
57
 và 
29
73
⋅ d. 
19
30
 và 
40
59
⋅
Xem lời giải tại:
22. Đổi ra mét vuông (viết dưới dạng phân số tối giản):
Xem lời giải tại:
QUY ĐỒNG VÀ SO SÁNH PHÂN SỐ
23. Rút gọn các phân số sau
Xem lời giải tại:
24. Tìm x, biết
Xem lời giải tại:
25. So sánh các phân số sau
a. 
−13
240
 và 
−7
80
⋅ b. 
7
60
;
3
−40
 và 
−11
30
⋅
c. 
5
21
;
−3
28
 và 
−45
108
⋅
Xem lời giải tại:
26. Quy đồng mẫu các phân số sau
Xem lời giải tại:
27. Chứng minh phân số 
n
n + 1
 tối giản (n ∈ N, n ≠ 0) ⋅
Xem lời giải tại:
28. Cho phân số 
11
20
. Phải cùng thêm vào cả tử và mẫu của phân số đó bao nhiêu
để được phân số 
5
8
⋅
Xem lời giải tại:
29. Tìm các số nguyên x, y sao cho 
1
8
<
x
18
<
y
24
<
2
9
⋅
Xem lời giải tại:
30. Tìm phân số 
a
b
 trong các trường hợp sau
a. 
a
b
=
−15
25
 và b − a = 32.
a. 
23
21
 và 
21
23
⋅
b. 
311
256
 và 
199
203
c. 
−15
−17
 và
16
−19
d. 
19
26
 và 
21
25
b. 
a
b
=
21
35
 và ƯCLN(a, b) = 30.
Xem lời giải tại:
31. So sánh các phân số A =
17
21
 và B =
17171
21211
⋅
Xem lời giải tại:
32. Tìm:
a.  Ba phân số lớn hơn 
1
5
 nhưng nhỏ hơn 
3
5
b.  Sáu phân số lớn hơn 
1
4
 nhưng nhỏ hơn 
3
5
Xem lời giải tại:
33. Tìm số nguyên dương x sao cho: 
x
9
<
7
x
<
x
6
Xem lời giải tại:
34. So sánh các phân số:
Xem lời giải tại:
a. 
47
57
 và 
66
76
b. 
23
32
 và 
39
48
a. 
13
17
 và 
25
29
b. 
59
101
 và 
56
105
35. So sánh các phân số:
Xem lời giải tại:
36. Sắp xếp các phân số sau đây theo thứ tự tăng dần:
8
18
;
14
21
;
10
25
;
44
77
;
5
10
Xem lời giải tại:
37. Quy đồng mẫu số các phân số sau đây:
a. 
−3
8
;
7
12
;
11
−18
;
−13
24
.
b. 
210.96
46.311
;
612
95. 214
;
155.26.33
56.68
Xem lời giải tại:
38. So sánh các phân số sau đây bằng phương pháp thích hợp:
Xem lời giải tại:
39. Tìm tất cả các phân số có tử số là 15 lớn hơn 
3
7
 và nhỏ hơn 
5
8
 .
Xem lời giải tại:
CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN SỐ
a. 
18
24
+
35
−10
⋅ b. 
−8
−14
+
−45
54
⋅
c. 
5
77
−
−4
7
⋅ d. 
25
7
−
61
21
⋅
a. 
−3
7
+ x =
4
5
+
−2
3
⋅ b.  x −
1
6
+
−5
12
=
4
7
⋅
14
48
c.  x +
2
3
=
−1
12
⋅
−4
5
CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN SỐ
40. Tính
Xem lời giải tại:
41. Tìm x, biết
Xem lời giải tại:
42. Tìm x ∈ Z, biết
a. 
−12
27
+
2
3
+
−2
9
≤ x ≤
11
7
+
2
5
+
−7
5
+
3
7
⋅
b. 
−8
13
+
7
17
+
21
13
≤ x ≤
−9
14
+ 3 +
5
−14
⋅
Xem lời giải tại:
43. Tính hợp lý các biểu thức sau
a.  A =
−7
25
⋅
39
−14
⋅
50
78
b.  B =
6
7
⋅
8
13
+
6
13
⋅
9
7
−
3
13
⋅
6
7
| |
( ) ( )
( ) ( )
a. 
2
5
+
−1
6
−
3
4
−
−2
3
b. 
2
3
+
2
7
−
1
14
−1 −
3
7
+
3
28
c.  C =
−9
25
⋅
53
3
−
−3
5
2
⋅
22
3
Xem lời giải tại:
44. Tính: 
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+
1
4.5
+
1
5.6
⋅
Xem lời giải tại:
45. Ba vòi cùng chảy vào một cái bể. Vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 3 giờ. Vòi
thứ hai chảy đầy bể trong 6 giờ và vòi thứ ba chảy đầy bể trong 4 giờ.
a.  Sau 1 giờ mở cả ba vòi thì nước trong bể chiếm bao nhiêu phần?
b.  Tiếp tục mở một vòi thứ mấy để chỉ cần sau 1 giờ nữa thì nước vừa vặn đầy
bể.
Xem lời giải tại:
46. Một tấm bìa hình chữ nhật có diện tích là 
4
9
cm2. Chiều rộng là 
3
5
cm. Tính
chu vi tấm bìa đó? (Tính theo cm)
Xem lời giải tại:
47. Thực hiện các phép tính sau (kết quả ở dạng phân số tối giản)
Xem lời giải tại:
( )
a. 
2
3
+
1
3
: x = − 1 b. 
2
3
x − 3
7
=
1
21
a. 
2
5
+
3
5
.
−10
21
b. 
−4
5
:
2
7
+
4
7
48. Tìm x, biết
Xem lời giải tại:
49. Một người gặt lúa trên một thửa ruộng. Giờ thứ nhất người ấy gặt được 
1
5
thửa ruộng, giờ thứ hai người ấy gặt được 
10
15
 thửa ruộng. Giờ thứ ba người ấy
gặt được 
2
25
 thửa ruộng. Hỏi sau ba giờ gặt, người ấy đã gặt hết được thửa
ruộng đó chưa?
Xem lời giải tại:
50. Tính tích sau rồi tìm số nghịch đảo của kết quả
P = 1 −
1
2
1 −
1
3
1 −
1
4
. . . 1 −
1
8
1 −
1
9
1 −
1
10
Xem lời giải tại:
51. Tính:
a. 
2
7
+
1
9
+
1
7
+
5
9
+
8
14
b. 
2
3
+
4
37
+
5
111
+
260
1443
Xem lời giải tại:
52. Thực hiện phép tính:
( )
( )( )( ) ( )( )( )
a.  3
1
2
+ 4
3
5
⋅ b.  4
1
2
− 2
3
10
⋅
c.  −3
1
4
+ −2
1
3
⋅ d.  ( − 3) − −2
2
5
⋅
Xem lời giải tại:
53. Thực hiện phép tính A =
27
25
−
4
50
:
4
7
:
119
36
:
17
36
⋅
1
12
Xem lời giải tại:
54. Tìm số nguyên x, biết: 
−7
15
+
−5
3
+
2
15
≤ x ≤
4
7
+ 1 +
33
−21
Xem lời giải tại:
55. Tìm phân số dương nhỏ nhất mà khi chia phân số này cho các phân số 
42
275
;
63
110
 ta được kết quả là một số tự nhiên.
Xem lời giải tại:
56. Do thi đua, năng suất lao động làm một bút máy tăng 25%. Hỏi thời gian cần
thiết để làm ra một bút máy đã giảm bao nhiêu phần trăm?
Xem lời giải tại:
HỖN SỐ‐SỐ THẬP PHÂN‐PHẦN TRĂM
57. Tính
[( ) ] [ ( )]
( ) ( ) ( )
a.  1 giờ 30 phút b.  2 giờ 15 phút
c.  10 giờ 20 phút d.  5 giờ 45 phút
a.  −3
3
4
⋅ 1
1
2
b.  5
7
10
⋅ 15
c. 
3
4
: 1
1
5
d.  4
2
5
: 2
a.  −
5
9
b.  7
2
5
c.  −
1
13
d.  0 e.  100,5
a.  5 dm b.  75 cm
c.  82 mm d.  103 cm
Xem lời giải tại:
58. Viết các số đo thời gian sau đây dưới dạng hỗn số và phân số với đơn vị là
giờ:
Xem lời giải tại:
59. Tính
Xem lời giải tại:
60. Tìm số nghịch đảo của các số sau:
Xem lời giải tại:
61. Đổi ra mét (viết kết quả dưới dạng phân số thập phân và dưới dạng số thập
phân)các số sau:
Xem lời giải tại:
( )
62. Viết các số sau về dạng phân số tối giản: 0, 25; 7, 02; 1, 25; 
9% ; 38% ; 138% .
Xem lời giải tại:
63. Tính biểu thức sau
A =
13
84
⋅ 1, 4 − 0, 5 ⋅
7
30
: 2
7
18
+ 4
1
2
⋅ 0, 1
Xem lời giải tại:
64. Rút gọn phân số: A =
215
9
6
− 208
3
4
+
1
2
0, 001:
5
1000
⋅
Xem lời giải tại:
65. Chu vi một hình chữ nhật là 18 cm. Nếu giảm chiều dài đi 20 %, tăng chiều
rộng thêm 25 % thì chu vi không đổi. Tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu.
Xem lời giải tại:
66. Tính các biểu thức sau
a.  A = 21
3
10
− 1
4
5
+ 7
3
10
b.  B = 5
9
8
+ 2
5
4
− 3
9
8
( )
( )
( )
a.  x +
−7
15
= − 1
1
20 b.  3
1
2
− x ⋅ 1
1
4
=
15
16
Xem lời giải tại:
67. Đưa các phân số dưới đây về dạng hỗn số: 
15
7
;
212
35
;
−39
12
;
−106
5
Xem lời giải tại:
68. Viết các hỗn số sau đây dưới dạng phân số: 3
11
4
; − 5
7
9
; 12
1
3
; − 11
17
13
Xem lời giải tại:
69. Tìm x, biết
Xem lời giải tại:
70. Một hình chữ nhật có diện tích là 
10
21
cm2. Chiều dài là 1
2
3
 cm. Tính chu vi
của hình chữ nhật đó. (kết quả viết dưới dạng hỗn số)
Xem lời giải tại:
71. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần 
3
17
;
158
31
;
163
32
;
141
34
.
Xem lời giải tại:
BA BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ
72. Hãy trả lời các câu hỏi sau:
( )
a.  Tìm tỉ số phần trăm của hai số 2
3
4
 và 5?
b.  25cm là bao nhiêu phần trăm của 4m ?
c.  Cạnh của một hình vuông tăng 20 % . Diện tích hình vuông tăng thêm bao
nhiêu?
Xem lời giải tại:
73. Hiệu của hai số là 16. Tìm hai số đó biết 
5
32
 số thứ nhất bằng 
3
16
 số thứ hai ?
Xem lời giải tại:
74. Tính diện tích một hình chữ nhật biết rằng nếu chiều dài tăng 20 %, chiều
rộng giảm 20 % thì diện tích giảm 30m2. (Tính theo đơn vị mét vuông)
Xem lời giải tại:
75. Một tủ sách gồm hai ngăn. Tỉ số giữa số sách của ngăn trên so với ngăn dưới
là 4:3. Sau khi thêm 30 cuốn sách vào ngăn dưới thì tỉ số giữa số sách của ngăn
trên và ngăn dưới là 10: 9. Tính số sách mỗi ngăn lúc đầu?
Xem lời giải tại:
76. Một xí nghiệp đã thực hiện 
4
7
 kế hoạch, xí nghiệp còn phải sản xuất thêm
360 sản phẩm nữa mới hoàn thành kế hoạch. Tính số sản phẩm xí nghiệp được
giao theo kế hoạch?
Xem lời giải tại:
77. Một trường học có 1200 học sinh. Số học sinh có học lực trung bình chiếm 
5
8
tổng số; số học sinh khá chiếm 
1
3
 tổng số; còn lại là học sinh giỏi. Tính số học
sinh giỏi của trường này?
Xem lời giải tại:
78. Số học sinh vắng mặt bằng 
1
14
 số học sinh có mặt tại lớp. Nếu hai học sinh ra
khỏi lớp thì số vắng mặt bằng 
1
8
 số có mặt. Hỏi lớp ấy có tất cả bao nhiêu học
sinh?
Xem lời giải tại:
79. Một bể chứa đầy nước, sau khi dùng hết 440 lít nước thì trong bể còn lại một
lượng nước chiếm 
5
9
 dung tích bể. Tính dung tích bể.
Xem lời giải tại:
80. Tìm một số sao cho 
1
3
 và 
1
4
 của số đó là 21
Xem lời giải tại:
81. Tìm một số biết rằng nếu thêm vào số đó 
2
3
 của nó rồi trừ đi 
1
3
 tổng vừa
nhận được thì ta được 10.
Xem lời giải tại:
82. Tìm các số a, b, c biết a lớn hơn số ‐ 24 là 120 đơn vị. Số b bằng 3
7
12
 của số a.
Số c bằng 25 % tổng hai số a và b.
Xem lời giải tại:
83. Bạn Ngọc đọc cuốn sách dày 120 trang trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đọc
được 
1
4
 số trang. Ngày thứ hai đọc được 
4
9
 số trang còn lại. Hỏi ngày thứ ba
Ngọc đọc được bao nhiêu trang sách
Xem lời giải tại:
84. Tìm số
a.  Mà 3
1
7
 của nó bằng 
55
14
;
b.  Mà 75% của nó bằng −4
5
7
.
Xem lời giải tại:
85. 
2
5
 của số M là 120. Hỏi 75% của số M là bao nhiêu.
Xem lời giải tại:
86. Một bể chứa đầy nước, sau khi dùng hết 350 lít nước thì trong bể còn lại một
lượng nước bằng 
13
20
 dung tích bể. Hỏi bể này chứa được bao nhiêu lít nước?
lượng nước dùng chiếm bao nhiêu phần bể?
Xem lời giải tại:
87. Tìm A biết rằng 
11
6
 của A là 
29
7
30
− 27
5
18
: 4%
2
2
3
.
Xem lời giải tại:
88. Một bà đi chợ bán trứng, lần đầu bà bán được 
2
5
 số trứng, lần thứ hai bà bán
được 
2
3
 số trứng còn lại, cuối cùng còn lại 10 quả. Hỏi số trứng lúc đầu bà đem đi
bán là bao nhiêu quả?
Xem lời giải tại:
89. Hiện nay tuổi cháu bằng 
5
14
 tuổi bà, cách đây 10 năm tuổi bà gấp 4 lần tuổi
cháu. Tính tuổi bà và tuổi cháu hiện nay.
Xem lời giải tại:
90. Tìm 2 số biết rằng 70% số lớn hơn 85% số bé là 1 đơn vị và 68% số lớn hơn
42,5% số bé là 17 đơn vị.
Xem lời giải tại:
91. Ban đầu trong thư viện có số sách khoa học tự nhiên bằng 
4
5
 số sách khoa
học xã hội, vì thư viện mới cho mượn 40 quyển sách khoa học tự nhiên nên số
sách khoa học tự nhiên bằng 
4
15
 số sách khoa học xã hội. Hỏi ban đầu thư viện
có bao nhiêu quyển sách mỗi loại.
( )
a.  3
2
5
kg và 
3
5
kg b. 
4
5
dm2 và 240 cm2
Xem lời giải tại:
92. Tính tỉ số của:
Xem lời giải tại:
93. Thời gian để chế tạo một sản phẩm giảm 20%. Hỏi năng suất lao động tăng
bao nhiêu phần trăm?
Xem lời giải tại:
94. a) Trên một bản đồ, khoảng cách giữa hai tỉnh là 5cm. Trong thực tế, hai tỉnh
ấy cách nhau 40 km. Hỏi tỉ lệ xích của bản đồ là bao nhiêu?
b) Muốn phóng to bản đồ ấy thành bản đồ mới có tỉ lệ xích là 
1
500000
 bằng cách
kẻ ô vuông, trên bản đồ cũ ta chia nó thành những ô vuông có cạnh là 4mm. Hãy
tính cạnh của ô vuông kẻ trên bản đồ mới.
Xem lời giải tại:
95. Một đội máy cày ngày thứ nhất cày được 50% cánh đồng và thêm 3ha nữa.
Ngày thứ 2 cày được 25% phần còn lại của cánh đồng và 9 ha cuối cùng. Hỏi
diện tích cánh đồng đó là bao nhiêu hécta ?
Xem lời giải tại:
96. Nước biển chứa 6% muối (về khối lượng) . Hỏi phải thêm bao nhiêu kilogam
nước thường vào 50 kg nước biển để cho hỗn hợp đó có 3% muối ?
Xem lời giải tại:
97. Hai anh em có tất cả 45 000 đồng. Anh tiêu mất 2000 đồng , em được thêm
6000 đồng và bây giờ số tiền của anh bằng 
3
4
 số tiền của em . Hỏi số tiền lúc đầu
của mỗi người ?
Xem lời giải tại:
98. Tìm các số tự nhiên có hai chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số
là nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
99. Hai người có số tiền là 122000 đồng, người thứ nhất tiêu mất 
1
5
 số tiền của
mình, người thứ hai tiêu mất 
1
6
 số tiền của mình. Hỏi lúc đầu mỗi người có bao
nhiêu tiền ? Biết rằng số tiền còn lại của người thứ hai hơn người thứ nhất
10000 đồng.
Xem lời giải tại:
KIẾN THỨC NÂNG CAO
KIẾN THỨC NÂNG CAO
NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG VỀ PHÂN SỐ
100. Tìm n ∈  Z để các phân số sau 
−12
n
;
15
n − 2
;
8
n + 1
 đồng thời nhận các giá trị
là số nguyên.
Xem lời giải tại:
101. Cho p=
n + 4
2n − 1
 (n ∈ Z). Tìm các giá trị của n để p là số nguyên tố.
Xem lời giải tại:
102. Cho các phân số sau 
6
n + 8
;
7
n + 9
;
8
n + 10
; . . . ;
34
n + 36
;
35
n + 37
.
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số trên tối giản.
Xem lời giải tại:
103. Tìm phân số tối giản 
a
b
 biết rằng: Nếu lấy tử cộng với 6 và lấy mẫu cộng với
14 thì được một phân số bằng 
3
7
Xem lời giải tại:
104. Một phân số có tử và mẫu đều là số nguyên dương . Nếu cộng tử và mẫu
của phân số đó với cùng một số tự nhiên n # 0 thì phân số ấy thay đổi thế nào ?
Xem lời giải tại:
105. Tìm một phân số tối giản biết rằng nếu cộng thêm cả tử và mẫu với 1 đơn
vị thì giá trị phân số không đổi.
Xem lời giải tại:
106. Cho A =
1011 − 1
1012 − 1
; B =
1010 + 1
1011 + 1
. Hãy so sánh A với B.
Xem lời giải tại:
107. Cho a, b, m ∈ N∗ . Hãy so sánh 
a + m
b + m
 với 
a
b
.
Xem lời giải tại:
108. So sánh A và B biết rằng:
A =
1015 + 1
1016 + 1
. 
B =
1016 + 1
1017 + 1
.
Xem lời giải tại:
109. So sánh các phân số A =
17
21
 và B =
17171
21211
⋅
Xem lời giải tại:
110. Tìm phân số 
a
b
 trong các trường hợp sau
a. 
a
b
=
−15
25
 và b − a = 32.
b. 
a
b
=
21
35
 và ƯCLN(a, b) = 30.
Xem lời giải tại:
111. Tính:
A =
1
7
+
1
72
+
1
73
+ . . . +
1
7100
B = −
4
5
+
4
52
−
4
53
+ . . . +
4
5200
Xem lời giải tại:
112. Tìm phân số dương nhỏ nhất mà khi chia phân số này cho các phân số 
42
275
;
63
110
 ta được kết quả là một số tự nhiên.
Xem lời giải tại:
113. Một công nhân đánh máy chữ phải đánh một quyển sách, ngày đầu tiên
người đó đánh được 
1
4
 quyển sách và 15 trang, ngày thứ hai người đó đánh
được 
5
9
 số trang còn lại và 20 trang. Ngày thứ ba người đó đánh được 75 % số
trang còn lại và 20 trang cuối. Hỏi quyển sách có bao nhiêu trang.
Xem lời giải tại:
114. Một vòi nước chảy trong 6 giờ thì đầy bể. Một vòi khác, có thể chảy trong 8
giờ thì đầy bể. Một vòi chảy ra, nếu nước đầy đến 
2
3
bể thì mất 6 giờ sẽ cạn hết số
nước ấy. Hỏi nếu mở cả ba vòi cùng một lúc thì bao nhiêu lâu sẽ đầy bể.(Tính
theo giờ)
Xem lời giải tại:
115. Hiện nay tuổi cháu bằng 
5
14
 tuổi bà, cách đây 10 năm tuổi bà gấp 4 lần tuổi
cháu. Tính tuổi bà và tuổi cháu hiện nay.
Xem lời giải tại:
116. Tìm 2 số biết rằng 70% số lớn hơn 85% số bé là 1 đơn vị và 68% số lớn
hơn 42,5% số bé là 17 đơn vị.
Xem lời giải tại:
117. Ban đầu trong thư viện có số sách khoa học tự nhiên bằng 
4
5
 số sách khoa
học xã hội, vì thư viện mới cho mượn 40 quyển sách khoa học tự nhiên nên số
sách khoa học tự nhiên bằng 
4
15
 số sách khoa học xã hội. Hỏi ban đầu thư viện
có bao nhiêu quyển sách mỗi loại.
Xem lời giải tại:
118. Hai can có dung tích là 145 lít và 72 ít có chứa lượng dầu không biết bao
nhiêu. Nếu rót dầu từ can nhỏ sang can lớn cho đầy thì can nhỏ còn lại 2 lít. Nếu
rót dầu từ can lớn sang can nhỏ cho đầy thì lượng dầu bên trong can lớn còn lại
bằng 
3
4
 lượng dầu ban đầu. Hỏi mỗi can chứa bao nhiêu lít dầu?
Xem lời giải tại:
a. 
18
109
 và 
5
30
b. 
1313
9191
 và 
1111
7373
c. 
1
32
7
 và 
1
16
9
d. 
1
243
9
 và 
1
83
13
119. Một ô tô đi từ A đến B trong 4 giờ. Giờ thứ nhất đi được quãng đường bằng
11
29
 quãng đường đi được trong 3 giờ còn lại. Giờ thứ hai ô tô đi được quãng
đường bằng 
6
19
 quãng đường đi được trong 3 giờ còn lại. Giờ thứ 3 đi được
quãng đường bằng 
1
3
 quãng đường đi được trong 3 giờ còn lại. Giờ thứ 4 ô tô đi
được 47 km. Hỏi trong 3 giờ đầu, mỗi giờ đi được bao nhiêu km?
Xem lời giải tại:
120. So sánh:
Xem lời giải tại:
121. Tìm x biết: 
1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
2008
x=
2009
1
+
2010
2
+
2011
3
+ . . . +
5016
2008
‐2008
Xem lời giải tại:
122. Cho A =
1
2
.
3
4
.
5
6
. . .
199
200
Chứng minh rằng : A2 <
1
201
( ) ( ) ( ) ( )
( )
a.  A >
7
12
b.  A >
5
8
a.  A 50
Xem lời giải tại:
123. Cho A =
1
101
+
1
102
+
1
103
+ . . . +
1
200
Xem lời giải tại:
124. Chứng minh rằng 1 <
a
a + b
+
b
b + c
+
c
a + c
< 2
Xem lời giải tại:
125. Cho A = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ . . +
1
2100 − 1
Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
126. Với giá trị nào của số nguyên x thì biểu thức A = 2014 + | 2015 − x |  đạt giá
trị nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
127. Tính giá trị của biểu thức S =  
1
5.9
+
1
9.13
+
1
13.17
+ ⋅   ⋅   ⋅ +
1
41.45
Xem lời giải tại:
128. Tìm n biết: 
1 +
1
2
. 1 +
1
22
. 1 +
1
24
. . . 1 +
1
22
2009 =2 1 −
1
22
n
Xem lời giải tại:
129. Chứng minh rằng: 
1
n + 1
+
1
n + 2
+
1
n + 3
+ . . . +
1
n + n
>
1
2
 với mọi 
n ∈ N∗
Xem lời giải tại:
130. Hãy so sánh A và B biết:
A =
1 + 10 + 102 + . . . + 10100
1 + 10 + 102 + . . . + 1099
B =
1 + 5 + 52 + . . . + 5100
1 + 5 + 52 + . . . + 599
Xem lời giải tại:
131. Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn:
1
x
+
y
3
=
1
6
.
Xem lời giải tại:
132. Rút gọn phân số A =
1 +
1
3
+
1
5
+ . . . +
1
99
1
1 × 99
+
1
3 × 97
+ . . . +
1
49 × 51
Xem lời giải tại:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
133. Chứng minh rằng 1 +
2
2
+
3
22
+
4
23
+ . . . +
2014
22013
+
2015
22