Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán học 6

Chuyên đề  :
Sử dụng tính chất: +) Nếu a d và b d thì ma nb d với m, n Z
 +) Nếu a m thì a md d .
 với m Z
 +) là tối giản khi (a, b) = 1
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau.
7n +10 và 5n + 7
2n +3 và 4n +8.
Hướng dẫn
a) Gọi (7n + 10, 5n + 7) = d 7n + 10d và 5n + 7d
 5(7n + 10) – 7(5n + 7) = 1d d = 1
Vậy 7n +10 vµ 5n + 7 nguyên tố cùng nhau
b) Gọi (2n + 3, 4n + 8) = d 2n + 3d và 4n + 8d
 (4n + 8) – 2(2n + 3) = 2d 
Mặt khác: 2n + 3 là số lẻ d là số lẻ d = 1
Vậy 2n +3 vµ 4n + 8 nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm các số tự nhiên n > 0 để là phân số tối giản
Hướng dẫn
 Ta có: = 
Để tối giản thì tối giản 
Mà 21 chia hết cho 3 và chia hết cho 7 nên n – 2 phải không chia hết cho 3 và không chia hết cho 7.
 n – 2 3k (kN) và n – 2 7p (pN) 
 n 3k + 2 (kN) và n 7p + 2 (pN) 
Vậy với n 3k + 2 (kN) và n 7p + 2 (pN) thì tối giản
Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để có thể rút gọn được.
Hướng dẫn
Để có thể rút gọn được thì 4n + 5 và 5n + 4 có ƯCLN là d > 1 
 4n + 5 d và 5n + 4 d 5(4n + 5) – 4(5n + 4) d hay 9 d 
 4n + 5 3 và 5n + 4 3 n – 1 3 n – 1 = 3k n = 3k + 1 (kN)
Vậy với n = 3k + 1 (kN) thì có thể rút gọn được
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên để là số tự nhiên
Hướng dẫn
Ta có: = 
Vì n N nên n2N Để là số tự nhiên thì n – 2 Ư(3)
 n – 2 n
Vậy với n thì là số tự nhiên
Bài 5: Chứng tỏ rằng là phân số tối giản.
Hướng dẫn
Gọi d là ước chung của 12n + 1và 30n + 2 12n + 1 d và 30n + 2 d
 5(12n +1) - 2(30n + 2) =1 d
Vậy d =1 nên 12n+1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau
Do đó là phân số tối giản 
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số 
a) Có giá trị là số tự nhiên 
b) Là phân số tối giản
c) Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được.
Hướng dẫn
Ta cú: 
a) Để A N thì 187 4n + 3 4n +3 
+) 4n + 3 = 1 không có n N 
+) 4n + 3 = 11 n = 2 
+) 4n +3 = 187 n = 46
+) 4n + 3 = 17 4n = 14 không có n N 
Vậy n 
b) A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1
 4n + 3 11k (k N) và 4n + 3 17m (m N) 
 4n + 3 - 11 11k (k N) và 4n + 3 - 51 17m (m N) 
 4(n – 2) 11k (k N) và 4(n – 12) 17m (m N) 
 n11k + 2 (k N) và n17m +12 (m N)
c) A rút gọn được khi n =11k + 2 hoặc n =17m +12 
Vỡ 150 < n < 170 n 
Bài 7:	 Cho phân số A 	( )
Tìm để A có giá trị nguyên.
Tìm để A là phân số tối giản.
Hướng dẫn
Ta cú: 	
 có gá trị nguyên n-3 	
n - 3
1
-1
2
-2
4
-4
n
4
2
5
1
7
-1
Vậy n	
b) Muốn cho là phân số tối giản thì ƯCLN(n+1; n-3) = 1	
Ta có : (n+1; n-3) = 1 (n-3; 4) = 1 n-32 n là số chẵn	
Bài 8: Cho phân số: . Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số nguyên 
Hướng dẫn
Giả sử d = ƯCLN (21n + 4, 14n + 3) 
Khi đó 21n + 4d và 14n + 3d	
Suy ra 2(21n + 4) –3(14n + 3) = -1d	 d = 1	
Vậy là phõn số tối giản
Bài 9: Cho biểu thức 	
a) Rút gọn biểu thức
b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a 
là một phân số tối giản.
Hướng dẫn
 a) Ta có: = (a ≠ -1)
b) Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác: 2 = [a2+a +1 – (a2 + a – 1)] d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. 
Vậy biểu thức A là phân số tối giản. 
* * * * * * * * * * * * * * * * * * *
CÁC CHUYÊN ĐỀ VỀ PHÂN SỐ
A) Tóm tắt kiến thức cần nắm:
Chuyên đề 1: Khái niệm phân số
+ Ta gọi với a ; b ; b 0 là một phân số 
+ Chú ý : số nguyên a cũng là một phân số : a = 
Bài tập áp dụng: Tìm số nguyên n sao cho phân số là số nguyên
Chuyên đề 2: Phân số bằng nhau
	+ Hai phân số nếu a.d = b.c
Bài tập áp dụng: 
	Bài 1: Tìm số nguyên x biết 
	a) 	b) 
	Bài 2: Tìm các số nguyên x ; y ; z biết 
	Bài 3* : Tìm các số nguyên x ; y biết và x + y = 20
	Bài 4*: Có hay không số nguyên n để các phân số đồng thời nhận giá trị nguyên.
Chuyên đề 3: Tính chất cơ bản của phân số - Rút gọn phân số 
Tính chất cơ bản của phân số 
+ Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì được phân số mới bằng phân số đã cho. 
	 ( với m ; m 0 ) 
+ Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số với một ước chung của chúng thì đươc một phân số mới bằng phân số đã cho
	 ( với n ƯC(a ; b ) )
Rút gọn phân số : Ta dùng tính chất 2 để rút gọn phân số 
+ Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của nó với một ước chung của chúng ( ước chung này khác 1 và – 1) 
+ Phân số tối giản là phân số không còn rút gọn được nữa. Ưóc chung của tử và mẫu chỉ có thể là 1 hoặc – 1 
+ Muốn rút gọn một phân số đến tối giản ta chia cả tử và mẫu của chúng với ước chung lớn nhất của chúng.
Bài tập áp dụng: 
	Bài 1: Chứng tỏ rằng các phân số sau đây bằng nhau
	a) 	b) 
	Bài 2: Tìm phân số bằng phân số biết tổng của tử và mẫu của nó bằng 2002. 
	Bài 3: Tìm một phân số bằng phân số sao cho 
Tử của nó bằng 8 ; bằng 24 ; bằng 14
Mẫu của nó bằng 9 ; bằng 21 ; bằng 60
Bài 4: Tìm phân số tối giản biết 
Cộng tử với 4 , cộng mẫu với 10 thì giá trị phân số không đổi
Cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu của phân số thì được phân số mới 
bằng hai lần phân số đã cho. 
B) Bài tập tổng hợp
Bài 1: Cho biểu thức A = ( với n Z ) 
Số nguyên n phải có điều kiện gì để A là phân số 
Tìm các số nguyên n để A có giá trị nguyên
Bài 2: Cho phân số B = ( với n Z ) 
Tìm số nguyên n để B là một phân số
Tìm tất cả các số nguyên n để B có giá trị nguyên
Bài 3: Chứng minh rằng các phân số sau có giá trị là số tự nhiên
	a) 	b) 
Bài 4: Tìm các số nguyên x ; y biết 
	a) 	b) 
Bài 5: Tìm các số nguyên x ; y biết
	a) 	b) 
Bài 6: Tìm các số nguyên x ; y biết
	a) 	b) 
Bài 7: Lập các phân số bằng nhau từ 4 số - 6 ; - 2 ; 3 và 9
Bài 8: Rút gọn các phân số sau
	a) ( có 10 chữ số 9 ở tử và 10 chữ số 9 ở mẫu )
	b) 	c) 
Bài 9*: Tìm các phân số có giá trị bằng 
	a) và BCNN (a ; b ) = 300	b) và ƯCLN( a;b ) = 30
	c) biết ƯCLN( a ; b ) x BCNN (a ; b ) = 3549
Bài 10: Cho phân số 
Rút gọn phân số đó
Hãy xóa đi một số hạng ở tử và xóa đi một số hạng ở mẫu để được phân số có giá 
trị bằng phân số đã cho
Bài 11*: 
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số là phân số tối giản
Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số là phân số tối giản
Tìm các số tự nhiên n để phân số rút gọn được
Bài 12*Cho p = ( với n Z ) . Tìm các giá trị của n để p là số nguyên tố 
Bài 13: Tìm các số nguyên n để các phân số sau nhận giá trị nguyên
	a) 	b*) 	c) 
Bài 14*: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau tối giản
	a) 	b) 	c) 
Bài 15: Chứng minh rằng mọi số phân số có dạng :
	a) ( với n là số tụ nhiên )
	b) ( với n là số tụ nhiên ) đều là phân số tối giản
Bài 16: Rút gọn cá phân số sau:
	a) 	b) 	c) 	
Bài 17: Rút gọn cá phân số sau:
	a) 	b) 	c) 
Bài 18: Tìm các số nguyên x ; y biết 
Bài 19*: Tìm số tự nhiên n sao cho phân số A = 
Có giá trị là số tự nhiên
Là phân số tối giản
Với giá trị nào của n ( 150 n 170 ) thì phân số A rút gọn được
Bài 20* : Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho các phân số sau đều là phân số tối giản
Bài 21 : So sánh các phân số và