Kiến thức cơ bản nâng cao phần căn bậc hai, căn bậc ba
Bài 4 (7 điểm ):
Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A chuyển động trên nửa đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.
a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.
b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng.
c) Chứng minh tỷ số không đổi.
d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn sách này là phiên bản in của sách điện tử tại Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®. Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau: 1. Vào trang 2. Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng ký. 3. Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc. 4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn. Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất. 5. Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào. Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới. Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm để tiện truy cập. Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado® Tilado® CÁC PHÉP TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI BÀI TẬP LIÊN QUAN 1. Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x a. √−3x + 2 b. 4 2x + 3 c. √x(x + 2) d. 1 √x2 + 4x + 4 Xem lời giải tại: 2. So sánh a. 3 và √3 + 1 b. 3√11 và 12 c. √7 + √15 và 7 d. 1 − 2 √23 và 3 5 Xem lời giải tại: 3. Tính a. 5.√( − 2)4 b. √252 − 242 c. √49 + √25 − 4.√0, 25 √ d. √169 − √121 − √81 :√0, 49 Xem lời giải tại: 4. Giải phương trình a. √x − 1 = 3 b. √x = √3 c. √x2 + x + 1 = 1 d. √x2 + 1 = − 3 Xem lời giải tại: 5. Phân tích đa thức thành nhân tử a. x2 − 11 b. x2 − 2√2x + 2 c. 5 − 7x2 (với x > 0) d. x2 + 4√5x + 20 Xem lời giải tại: 6. Rút gọn biểu thức a. 2√x2 (với x < 0); 1 2√x 10 (với x < 0) b. √(a − 5)2 với (a ≤ 5);√(x − 10)10 với (x > 10) c. x − 4 + √x2 − 8x + 16 với x < 4 d. √x − √y 2. √x + √y 2 với 0 ≤ x ≤ y Xem lời giải tại: ( ) √( ) ( ) 7. Rút gọn biểu thức a. 3 − √x x − 9 (với x ≥ 0, x ≠ 9) b. x − 5√x + 6 √x − 3 (với x ≥ 0, x ≠ 9) c. 4x − √x2 − 4x + 4 (với x ≥ 2) d. 6 − 2x − √9 − 6x + x2 (với x < 3) Xem lời giải tại: 8. Chứng minh đẳng thức a. 9 + 4√5 = √5 + 2 2 b. √23 + 8√7 − √7 = 4 c. 11 + 6√2 = 3 + √2 2 d. √a + 4√a − 2 + 2 + √a − 4√a − 2 + 2 = 4 (với 2 ≤ a ≤ 6) Xem lời giải tại: 9. Cho biểu thức A = √x2 − 6x + 9 − 2x + 1 a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm x để A = √2 Xem lời giải tại: 10. Tìm x biết a. √(x − 3)2 = 3 − x ( ) ( ) b. x2 − 1 2 x + 1 16 = 1 4 − x c. √x2 + 6x + 9 = x − 1 d. √x + 2√x − 1 = 2 Xem lời giải tại: 11. Rút gọn các biểu thức sau: a. √19 − 6√2 − √3 + 2√2 b. 1 − √2 2 − √3 + 2√2 + √( − 2)6 c. √7 + 4√3 + √13 − 4√3 Xem lời giải tại: 12. Chứng minh : a2 + 3 √a2 + 2 > 2 với mọi giá trị của a Xem lời giải tại: 13. Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ đôi một khác nhau Chứng minh rằng : 1 (a − b)2 + 1 (b − c)2 + 1 (c − a)2 là số hữu tỉ Xem lời giải tại: 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = √x2 + 4x + 4 + √x2 − 4x + 4 √ √( ) √ Xem lời giải tại: 15. Giải các bất phương trình sau a. √x + 2 > x b. √4 − x2 + x2 > 4 Xem lời giải tại: LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN 16. Áp dụng các quy tắc nhân các căn bậc hai hãy tính a. √10. √40 b. √5. √45 c. √52. √13 d. √2. √162 Xem lời giải tại: 17. Áp dụng quy tắc khai phương của một thương hãy tính a. 9 169 b. 25 144 c. 1 9 16 d. 2 7 81 Xem lời giải tại: 18. Áp dụng quy tắc khai phương hãy tính: a. √45.80 b. √2, 5.14, 4 √ √ √ √ c. √2300 √23 d. √12, 5 √0, 5 Xem lời giải tại: 19. Rút gọn các biểu thức sau: a. √4(a − 3)2 với a ≥ 3 b. √9(b − 2)2 với b < 2 c. √a2(a + 1)2 với a > 0 d. √b2(b − 1)2 với b < 0 Xem lời giải tại: 20. Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hãy so sánh a. √2 + √3 và √10 b. 16 và √15. √17 Xem lời giải tại: 21. Tìm x biết a. √x − 2015 = 1 b. √2x − 1 = √x c. √x − 2016 = − 2 Xem lời giải tại: 22. Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi hãy so sánh √2014 + √2016 và 2√2015 Xem lời giải tại: 23. Với x ≥ − 2015 chứng minh rằng: x + 1 x + 2015 ≥ − 2013 Xem lời giải tại: 24. Tìm x thỏa mãn điều kiện sau: a. √4x2 − 9 = 2√2x + 3 b. 9x − 7 √7x + 5 = √7x + 5 Xem lời giải tại: 25. Với n là số tự nhiên hãy chứng minh √n + 1 − √n 2 = √(2n + 1)2 − √(2n + 1)2 − 1 Xem lời giải tại: 26. Rút gọn a. √6 + √14 2√3 + √28 b. √2 + √3 + √6 + √8 + √16 √2 + √3 + √4 Xem lời giải tại: ( ) 27. Tính giá trị của biểu thức A = 1 √3 + √5 + 1 √5 + √7 + 1 √7 + √9 + . . . + 1 √97 + √99 Xem lời giải tại: 28. Cho x + √x2 + 2016 y + √y2 + 2016 = 2016. Tính S=x+y Xem lời giải tại: 29. Tính giá trị của biểu thức B = 2 3 + 5 − √13 + √48 √6 − √2 Xem lời giải tại: 30. Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức sau: A = 4 + √10 + 2√5 + 4 − √10 + 2√5 Xem lời giải tại: ( )( ) √ √ √ √ BIẾN ĐỔI, RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI BÀI TẬP LIÊN QUAN 31. Rút gọn các biểu thức sau a. √98 − √72 + 0.5√8 b. √99 − √18 − √11 √11 + 3√22 c. 2 3 − √24 + 2 3 8 + 1 6 d. 2√a − 5 a√9a 3 + a 4 a − 2 a2√25a 2 với a>0 Xem lời giải tại: 32. So sánh a. 2√3 và 3√2 b. 1 3√6 và 6 1 3 c. √7 − √5 và √5 − √3 d. 3√12 và 2√18 Xem lời giải tại: 33. Tính a. 3 √5 − √2 ( ) √ √ √ √ √ b. √5 − √3 √5 + √3 c. 1 + √a 2 − √a với a > 0 và a ≠ 4 d. 2√10 − 5 4 − √10 Xem lời giải tại: 34. Phân tích đa thức thành nhân tử a. 3 − √3 + 15 − 3√5 b. √1 − a + √1 − a2 với ‐1 < a < 1 c. √a3 − √b3 + √a2b − √ab2 với a > 0, b > 0 d. x − y + √xy2 − √y3 với x > 0; y > 0 Xem lời giải tại: 35. Tính a. √2 − 1 √2 + 2 − 2 2 + √2 + √2 + 1 √2 b. 2 √3 + 1 − 1 √3 − 2 + 6 √3 + 3 c. 2 + √5 √2 + √3 + √5 + 2 − √5 √2 − √3 − √5 Xem lời giải tại: 36. Tìm x biết a. 5√12x − 4√3x + 2√48x = 14 b. √4x − 20 + √x − 5 − 1 3√9x − 45 = 4 c. 3√x − 5 2 − 2√x − 7 3 + 1 = √x d. √9x2 + 45 − 1 12√16x 2 + 80 + 3 x2 + 5 16 − 1 4 25x2 + 125 9 = 9 Xem lời giải tại: 37. Rút gọn biểu thức a. √12 − 2√18 + 5√3 √3 + 5√6 b. 3√√20 − 2 2√80 + 2√6√45 c. 5 − √13 + √48 d. √15 + √60 + √180 + √84 Xem lời giải tại: 38. Chứng minh các đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến a. √x + √y √x − √y − √x − √y √x + √y : √xy x − y với x>0, y>0, x ≠ y b. 1 + a + √a 1 + √a 1 − a − √a √a − 1 + a với a ≠ 1; a ≥ 0 Xem lời giải tại: 39. Chứng minh đẳng thức: √ √ ( ) √ √ ( ) ( )( ) a. √a2 + x2 + √a2 − x2 √a2 + x2 − √a2 − x2 − a4 x4 − 1 = a2 x2 ; với |a| > |x| b. 5 + 2√6 √3 + √2 2 − 5 − 2√6 √3 − √2 2 = 4√6 c. x√x − y√y √x − √y + √xy : √x + √y 2 = 1 ; với (x > 0; y > 0; x ≠ y) Xem lời giải tại: 40. Cho biểu thức: A = √x + 1 √x − 2 + 2√x √x + 2 + 2 + 5√x 4 − x a. Rút gọn A nếu x ≥ 0; x ≠ 4 b. Tìm x để A = 2 Xem lời giải tại: 41. Tính giá trị của các biểu thức sau a. 1 + √x 2 − 4√x 1 − √x ; với x = 2 b. √x − √y 2 + 4√xy 1 + √xy ; với x = ‐ 2; y = ‐3 c. x + y y . x3y2 + 2x3y2 + xy4 x2 + 2xy + y2 với x = 2; y = 1 Xem lời giải tại: √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ 42. Cho biểu thức R = √x √x − 2 − 4 x − 2√x . 1 √x + 2 + 4 x − 4 với x > 0; x ≠ 4 a. Rút gọn R b. Tính giá trị của R khi x = 4 + 2√3 c. Tìm giá trị của x để R > 0 Xem lời giải tại: 43. Cho biểu thức A = 1 2√a − 2 − 1 2√a + 2 + √a 1 − a a. Rút gọn A b. Tính giá trị của A biết a = 4 9 c. Tìm a để |A| = 1 2 Xem lời giải tại: 44. Cho biểu thức C = √x − 2 x − 1 − √x + 2 x + 2√x + 1 . (1 − x)2 2 a. Rút gọn C nếu x ≥ 0; x ≠ 1 b. Tìm x để C dương c. Tìm giá trị lớn nhất của C Xem lời giải tại: 45. So sánh A và B ( ) ( ) ( ) A = 1 √1 + √2 + 1 √2 + √3 + . . . + 1 √35 + √36 ; B = 3 + 4√3 √6 + √2 − √5 Xem lời giải tại: CÁC BÀI TOÁN PHỤ CỦA RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BÀI TẬP LIÊN QUAN 46. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau a. A = 1 √x + 2 + 2 x − 4 b. B = √x − 2 √x − 1 c. C = x − 2 x − 1 d. D = 1 x√x − 1 Xem lời giải tại: 47. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a. A = √x + 1 + 1 √x + 1 b. B = x + 2016 √x Xem lời giải tại: 48. Cho biểu thức P = 4x √x − 3 ; (x ≠ 9) a. Tìm giá trị của x để P=‐1 b. Tính giá trị của P biết x=4 √ c. Tính giá trị của P biết x = 7 − 4√3 Xem lời giải tại: 49. Cho biểu thức P = √x √x + 2 a. Điều kiện xác định P. b. Tìm các giá trị của x nguyên để P đạt giá trị nguyên. Xem lời giải tại: 50. Tìm a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x − √x + 1 b. Giá trị lớn nhất của biểu thức B = 1 x − √x + 1 Xem lời giải tại: 51. Cho biểu thức P = √x + 1 √x − 3 a. Tìm điều kiện xác định b. Tìm số x nguyên để P nguyên Xem lời giải tại: 52. Cho biểu thức P = 4x √x − 3 ; (x ≠ 9). Tìm m để với mọi x > 9 ta có m √x − 3 P > x + 1 Xem lời giải tại: ( ) 53. Cho biểu thức P = x + 2√x + 1 √x a. Chứng minh rằng P > 0 với ∀x > 0; x ≠ 1 b. Tính giá trị của P biết x = 2 2 + √3 Xem lời giải tại: 54. Cho biểu thức P = √x + 1 √x − 5 a. Tìm giá trị của x để P < 2 b. Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên Xem lời giải tại: 55. Cho biểu thức P = a − √a a. Biết a > 1 , hãy so sánh P và Q = |P| b. Tìm a để P = 2 c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P Xem lời giải tại: 56. Cho biểu thức P = √x + 1 √x − 1 a. Tìm các giá trị nguyên của x để P đạt giá trị nguyên b. Tìm các giá trị của x để P = √x Xem lời giải tại: 57. Cho biểu thức A = √x + √y 2 xy Biết x.y =16. Hãy xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhât. Xem lời giải tại: 58. Cho biểu thức P = √x + 1 2 √x > 0 với ∀x > 0 . Tìm giá trị của x thỏa mãn P. √x = 6√x − 3 − √x − 4 Xem lời giải tại: 59. Cho biểu thức P = 1 − √x + x √x với x > 0; x ≠ 1 a. Tính giá trị của P biết x = 7 − 4√3 b. Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a Xem lời giải tại: 60. Cho biểu thức A = √x − 1 10x + 2√x a. Tìm các giá trị của x để A > A2 b. Tìm các giá trị của x để |A| > 1 4 Xem lời giải tại: ( ) ( ) BÀI TẬP TỔNG HỢP BÀI TẬP LIÊN QUAN 61. Thực hiện phép tính a. 2√6 − 4√3 + 5√2 − 1 4√8 .3√6 b. 2√2 2 − 3√3 + 1 − 2√2 2 + 6√6 c. 20√300 − 15√675 + 5√75 :√15 d. 1 3 1 2 − 2 3 3 2 + 2 7 1 6 : 2 7 1 8 Xem lời giải tại: 62. Tính: a. √6 + 2√5 + √6 − 2√5 b. 2√12 − √6 2√6 − √3 + 10 + √5 2√15 + √3 c. 3 + 2√2 17 + 12√2 + 3 − 2√2 17 − 12√2 d. √9 − 2√18. 9 + 6√ √5 − √3 √5 + √3 Xem lời giải tại: 63. Chứng minh các đẳng thức sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( √ √ √ ) √ √ √ √ ( )( ) a. a + b − 2√ab √a − √b : 1 √a + √b = a − b với a > 0; b > 0 và a ≠ b b. 3√2 + √6 √12 + 2 − √54 3 . 2 √6 = − 1 c. 2 + a − √a √a − 1 . 2 − a + √a 1 + √a = 4 − a với a > 0 và a ≠ 1 d. 3 + 2√3 √3 + 2 + 2 + √2 √2 + 1 : √2 + √3 = 1 Xem lời giải tại: 64. Thực hiện phép tính a. 1 √5 − √2 − 1 √5 + √2 + 1 . 1 √2 + 1 2 b. 3 + 2√3 √3 + 2 + √2 √2 + 1 − 2 + √3 c. 0, 1√( − 3)2. 6. − 1 3 2 − √3 − 2 2 2 d. 3 9 5 − 3 3 − 9 5 + 4 3 1 3 : 2 3 1 3 Xem lời giải tại: 65. Giải các phương trình sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ √( ) √( ) ] (√ √ √ ) √ a. √48x − 75x 4 + x 3 − 5 x 12 = 12 b. √3 − x − √27 − 9x + 1, 25√48 − 16x = 6 c. 5√x − 2 8√x + 2, 5 = 2 7 d. √9x2 + 12x + 4 = 4 Xem lời giải tại: 66. Rút gọn các biểu thức sau a. 2 − √3 2 + 1 − √3 2 b. 3√2 + √6 √6 − 3√3 c. √7 − 4√3 √6 − 2√2 d. √9 + 4√5 5 + √20 Xem lời giải tại: 67. Cho biểu thức P = 10√x x + 3√x − 4 − 2√x − 3 √x + 4 − √x + 1 1 − √x a. Rút gọn P b. Chứng minh P > ‐ 3 c. Tìm GTLN của P Xem lời giải tại: √ √ √ √ ( ) 68. Cho biểu thức P = √x √x − 1 + 3 √x + 1 − 6√x − 4 x − 1 a. Rút gọn P b. Tìm x để P < 1 2 Xem lời giải tại: 69. Cho hai biểu thức P = x + 3 √x − 2 và Q = √x − 1 √x + 2 + 5√x − 2 x − 4 với x > 0; x ≠ 4 a. Tính giá trị biểu thức P khi x = 9 b. Rút gọn biểu thức Q c. Tìm giá trị của x để P Q đạt giá trị nhỏ nhất Xem lời giải tại: 70. Cho biểu thức: A = 2√x − 9 x − 5√x + 6 − √x + 3 √x − 2 − 2√x + 1 3 − √x a. Rút gọn A b. Tính giá trị biểu thức của P khi x = 2 3 − √5 c. Tìm x để P < 1 d. Tìm x để P có giá trị nguyên Xem lời giải tại: 71. Cho biểu thức M = a2 + √a a − √a + 1 − 2a + √a √a + 1 a. Rút gọn P b. Biết a > 1. Hãy so sánh M và √M c. Tìm a để P = 2 d. Tìm giá trị nhỏ nhất của P Xem lời giải tại: 72. Tìm các số x, y, z biết x + y + z + 11 = 2√x + 4√y − 1 + 6√z − 2 Xem lời giải tại: 73. Cho a > 0, b > 0 và 1 a + 1 b = 1. CMR: √a + b = √a − 1 + √b − 1 Xem lời giải tại: 74. Cho a >0 ; b>0 ; c>0. Chứng minh a. a + b ≥ 4ab 1 + ab b. a b + b c + c a ≥ 3 Xem lời giải tại: 75. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = √x − 2 + √y − 3 biết x + y = 6 Xem lời giải tại: NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG BÀI TẬP LIÊN QUAN 76. So sánh các số sau: A = 2√1 + 2√3 + 2√5 + . . . + 2√19 và B = 2√2 + 2√4 + 2√6 + . . . + 2√18 + 2√20 Xem lời giải tại: 77. Tìm x, y nguyên thỏa mãn √x + √xy − √y = 2 Xem lời giải tại: 78. Cho xy + √ 1 + x2 1 + y2 = a Hãy tính S = x√1 + y2 + y√1 + x2 theo a. Xem lời giải tại: 79. Chứng minh rằng: 2 + √3 √2 + √2 + √3 + 2 − √3 √2 − √2 − √3 = √2 Xem lời giải tại: 80. Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức sau: A = 3 √20 + 14√2 + 3 √20 − 14√2 ( )( ) Xem lời giải tại: 81. Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức sau: A = 20 3 + √5 + √2 + 2√5 Xem lời giải tại: 82. Tính giá trị của biểu thức B = 1 + 1 12 + 1 22 + 1 + 1 22 + 1 32 + . . . + 1 + 1 992 + 1 1002 Xem lời giải tại: 83. Với mỗi k nguyên dương ta đặt Sk = √2 + 1 k + √2 − 1 k Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m, n (m>n) thì: Sm+ n + Sm− n = Sm. Sn Xem lời giải tại: 84. Chứng minh rằng: 3 3 √2 − 1 = 3 1 9 − 3 2 9 + 3 4 9 Xem lời giải tại: 85. Cho biểu thức sau: A = 1 1 − √x + 1 1 + √x : 1 1 − √x − 1 1 + √x + 1 1 − √x √ √ √ ( ) ( ) √ √ √ √ ( ) ( ) a. Rút gọn A b. Tìm giá trị của A khi x = 7 + 4√3 c. Với giá trị nào của x thì nghịch đảo của A có giá trị nhỏ nhất. d. Với giá trị nào của x thì A. √x nhận giá trị nguyên. e. Tìm giá trị của A khi |x| = 1 9 Xem lời giải tại: 86. Chứng minh rằng nếu |x| ≥ |y| thì |x + y| + |x − y| = x + √x2 − y2 + x − √x2 − y2 . Xem lời giải tại: 87. Cho biểu thức P = √a + 6 + 6√a − 3 + √a + 6 − 6√a − 3 Tính giá trị của biểu thức với a ≥ 3 Xem lời giải tại: 88. Chứng minh rằng phương trình x5 + x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất là x = 1 3 1 − 3 25 + √621 2 − 3 25 − √621 2 Xem lời giải tại: 89. Chứng minh rằng số x0 = 2 + √2 + √3 − 6 − 3√2 + √3 là một nghiệm của phương trình x4 − 16x2 + 32 = 0 | | | | ( √ √ ) √ √ Xem lời giải tại: 90. Chứng minh rằng x = 3 √9 + 4√5 + 3 √9 − 4√5 là nghiệm của phương trình x3 − 3x − 18 = 0 từ đó hãy tìm x. Xem lời giải tại:
File đính kèm:
- KIEN_THUC_CO_BAN_NANG_CAO_PHAN_CAN_BAC_HAI_CAN_BAC_BA.pdf