Giáo án Đại số 10 - Bài 3: Hàm số bậc hai và một số bài toán liên quan (Tiết 1)

§3. HÀM SỐ BẬC HAI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN (TIẾT 1) 
A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA 
1. Định nghĩa 
Hàm số bậc hai là hàm số cho bằng biểu thức có dạng y = f(x) = ax2 + bx + c, 
trong đó a, b, c là các hằng số và a ≠ 0. 
2. Đồ thị 
a) Đồ thị của hàm số y = ax2 
Đồ thị của hàm số y=ax2 là một parabol (P) có: 
–Đỉnh là gốc tọa độ O 
–Trục đối xứng là trục Oy 
–Bề lõm hướng lên khi a > 0 và hướng xuống dưới khi a < 0 
b) Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 
Tính chất của đồ thị: 
–Đỉnh ;
2a 4a
b
I
 
  
 
–Trục đối xứng là đường thẳng 
2a
b
x   
–Bề lõm hướng lên trên khi a > 0 
 hướng xuống dưới khi a < 0 
3. Sự biến thiên 
 a > 0: 
x –∞ 
2a
b
 
+∞ 
y +∞ +∞ 
4a

 
 a < 0: 
x –∞ 
2a
b
 
+∞ 
y 
4a

 
–∞ –∞ 
B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
Vấn đề 1: Vẽ đồ thị của hàm số bậc hai và của hàm số bậc hai chứa dấu giá 
trị tuyệt đối 
1. Phƣơng pháp 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 
Ta thực hiện như sau: 
 Tập xác định: D = ℝ. 
 Tìm tọa độ đỉnh S: 
;
2a 4a
S S
b
x y

    ( hay thay xS vào phương trình (P) để tìm yS) 
 Xác định dấu của a và lập bảng biến thiên của hàm số. 
 Lấy các điểm đặc biệt. 
 Vẽ parabol. 
b) Để vẽ đồ thị có chứa dấu giá trị tuyệt đối ta thực 
hiện: 
 Trường hợp tổng quát: 
Ta bỏ dấu giá trị tuyệt dối, viết hàm số bằng nhiều 
biểu thức trên từng khoảng rồi vẽ đồ thị trong mỗi 
khoảng đó. 
 Trường hợp đặc biệt: y = |ax2 + bx + c| 
–Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = ax2 + bx + c 
–Giữ nguyên phần của (P) nằm phía trên trục Ox, gọi 
phần này là (A). 
–Phần của (P) nằm dưới trục Ox thì lấy đối xứng qua 
Ox, gọi phần này là (B). 
Khi đó: đồ thị của hàm số y = |ax2 + bx + c| là hợp của hai phần (A) và (B). 
2. Các ví dụ 
Ví dụ 1: 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số y = f(x) = x2 – 2x –3. 
b) Vẽ đồ thị (G) của hàm số y = g(x) = |x2 – 2x – 3|. 
Giải 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) hàm số y = x2 – 2x –3 
–Tập xác định: D = ℝ. 
–Tọa độ đỉnh: S(1;–4). 
–Vì a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trong khoảng (–∞;1) và đồng biến 
trong khoảng (1;+∞). 
Bảng biến thiên: 
x –∞ 1 +∞ 
y +∞ +∞ 
 –4 
–Trục đối xứng: x = 1. 
–Bảng giá trị đặc biệt: 
x –1 0 1 2 3 
y 0 –3 –4 –3 0 
Đồ thị hàm số là một parabol (P) quay bề lõm lên trên. 
b) Vẽ đồ thị (G) của hàm số y = g(x) = |x2 – 2x –3|. 
Ta có: g(x) = |f(x)| =
( ) khi f(x) 0
( ) khi f(x)<0
f x
f x



Do đó đồ thị (G) gồm 2 phần: 
–Phần 1 là phần của (P) không nằm phía dưới trục Ox. 
–Phần 2 là phần đối xứng qua trục Ox của phần đồ thị (P) nằm dưới trục Ox. 
Ta có đồ thị (G) có dạng như sau: 
 3. Bài tập 
Bài 1. Không vẽ đồ thị, hãy mô tả đồ thị (P) của mỗi hàm số bậc hai trong bảng 
dưới đây: 
Hàm số Tọa độ 
đỉnh 
Phương 
trình trục 
đối xứng 
Bề lõm Tọa độ 
giao điểm 
của (P) và 
Oy 
Tọa độ 
giao điểm 
của (P) và 
Ox 
y = –x2 + 4 
y = x
2 – 4x+5 
y=–2x2+4x+16 
y = x
2
+2x–8 
Giải 
Hàm số Tọa độ 
đỉnh 
Phương 
trình 
trục đối 
xứng 
Bề lõm Tọa độ 
giao điểm 
của (P) và 
Oy 
Tọa độ giao 
điểm của (P) 
và Ox 
y = –x2 + 4 S(0;4) x=0 Xuống dưới (0;4) (±2;0) 
y = x
2 – 4x+5 S(2;1) x=2 Lên trên (0;5) Không có 
y=–2x2+4x+16 S(1;18) x=1 Xuống dưới (0;16) (–2;0), (4;0) 
y = x
2
+2x–8 S(–1;–9) x=–1 Lên trên (0;–8) (2;0), (–4;0) 
Bài 2. Vẽ đồ thị (G) và lập bảng biến thiên của mỗi hàm số sau đây: 
a) 
2 4x 5 (x 1)
1 (x<1)
x
y
x
   
 

 b) 
2
2
4x (x 0)
x 2x (x<0)
x
y
  
 

Giải 
a) Ta có với x≥1 thì y = x2 – 4x + 5 là parabol (P) có đỉnh S(2;1) và khi x < 
1 thì y = x+1 là đường thẳng qua hai điểm (–1;0) và (1;2). 
Ta có đồ thị (G) có dạng sau: 
b) Ta có với x≥0 thì y = –x2 + 4x là parabol (P) có đỉnh S(2;4) và khi x < 0 
thì y = x2 + 2x là parabol (P’) có đỉnh S’(–1;–1). 
Ta có đồ thị (G) có dạng sau: 
Bài 3. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của mỗi hàm số sau đây: 
a) y = |x–2|(x+2) b) y = –x2+2|x|+3 
Giải 
a) Ta có: 
2
2
( 2)( 2) khi x 2 4 khi x 2
(-x+2)(x+2) khi x<2 4-x khi x<2
x x x
y
     
  
 
Với x≥2 thì y = x2 – 4 có đồ thị là parabol (P) có đỉnh S(0;–4) 
 Và khi x<2 thì y = 4 – x2 có đồ thị là parabol (P’) có đỉnh S’(0;4) 
Ta có đồ thị (G) có dạng sau: 
b) Ta có: 
2
2
2x 3 khi x 0
2x 2 khi x<0
x
y
x
   
 
  
Với x≥0 thì y = –x2+2x+3 có đồ thị là parabol (P) có đỉnh S(1;4) và khi x < 0 
thì y = –x2–2x+3 có đồ thị là parabol (P’) có đỉnh S’(–1;4) 
Ta có đồ thị (G) có dạng sau: 
Vấn đề 2: Xét sự biến thiên của hàm số y = ax2 + bx + c trên một 
khoảng. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = ax2 + bx + c trên một đoạn. 
Tìm tập hợp các giá trị của x sao cho y > 0 (hoặc y < 0) 
1. Phƣơng pháp 
–Ta có thể dùng đồ thị hoặc lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận 
về sự biến thiên hoặc xác định GTLN, GTNN của hàm số trong khoảng, 
đoạn tương ứng. 
–Khi tìm giá trị x sao cho y > 0 hoặc y < 0, ta cần tính hoành độ giao 
điểm của (P) và Ox bằng cách giải phương trình ax2+bx+c=0 (gọi là 
phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục Ox) và ghi giá trị này 
vào bảng biến thiên hay xác định các điểm này trên đồ thị để suy ra kết 
luận. 
2. Các ví dụ 
Ví dụ 1: 
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x2 – 4x + 3 trên đoạn [0;4], từ đó suy ra 
sự biến thiên của hàm số y trên đoạn này. 
b) Tìm GTLN và GTNN của y trên [0;4]. 
c) Tìm tập hợp các giá trị của x ∈ [0;4] sao cho y ≥0. 
Giải 
a) Tọa độ đỉnh của (P) là S(2;–1). 
Bảng giá trị đặc biệt: 
x 0 1 2 3 4 
y 3 0 –1 0 3 
Đồ thị: 
Đồ thị hàm số là một parabol (P) quay bề lõm lên trên. 
Dựa vào đồ thị (P) ta có sự biến thiên của hàm số trên [0;4] như sau: 
–Với x ∈ (0;2) đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến trong (0;2). 
–Với x ∈ (2;4) đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến trong (2;4). 
b) Dựa vào đồ thị (P) của hàm số ta thấy: 
–GTLN của hàm số trên đọan [0;4] bằng 3 đạt tại x = 0 hay x = 4. 
–GTNN của hàm số trên đoạn [0;4] bằng –1 đạt tại x = 2. 
c) Dựa vào đồ thị ta có: 
Tập hợp các giá trị của x ∈ [0;4] sao cho y ≥ 0 là T = [0;1] ∪ [3;4]. 
3. Bài tập 
Bài 1. Hãy đánh dấu X vào ô thích hợp: 
Trong 
khoảng 
Hàm số Đồng 
biến 
Nghịch 
biến 
Không có 
kết luận 
(–1;0) y = 2x2 + 1 
(–3;–2) y=–x2–2x+3 
(1;2) y=x
2–x+3 
(–1;1) y=–2x2+x–1 
Giải 
Trong 
khoảng 
Hàm số Đồng 
biến 
Nghịch 
biến 
Không có 
kết luận 
(–1;0) y = 2x2 + 1 X 
(–3;–2) y=–x2–2x+3 X 
(1;2) y=x
2–x+3 X 
(–1;1) y=–2x2+x–1 X 
Bài 2. Cho hàm số y = x2 + 2x – 3 có đồ thị (P) 
a) Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng và bề lõm của đồ thị (P). 
b) Lập bảng biến thiên của hàm số trên. Vẽ đồ thị (P) 
c) Xác định GTNN của hàm số và giá trị tương ứng của x. 
Giải 
a) * Tọa độ đỉnh: S(–1;–4). 
* Phương trình trục đối xứng x = –1. 
* Vì a > 0 nên (P) quay bề lõm lên phía trên. 
b) Bảng biến thiên: 
x –∞ –1 +∞ 
y +∞ +∞ 
 –4 
 Đồ thị (P) có dạng sau: 
 c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là –4, đạt tại x = –1. 
Bài 3. Với mỗi hàm số dưới đây có đồ thị (P), hãy: 
 –Xác định tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng và bề lõm của (P). 
 –Lập bảng biến thiên của hàm số. 
 –Tìm tọa độ giao điểm của (P) và trục tung, trục hoành, nếu có. 
 –Vẽ đồ thị (P) 
 –Dùng đồ thị để xác định tập hợp các giá trị của x sao cho y ≥ 0. 
a) y = –x2 + 1 
b) y = x2 –4x + 3 
c) y = –(x + 2)2 + 4 
Giải 
a) *Tọa độ đỉnh: S(0;1) 
*Phương trình trục đối xứng: x = 0. 
*Vì a < 0 nên (P) quay bề lõm xuống phía dưới. 
*Bảng biến thiên 
x –∞ 0 +∞ 
 1 
y 
 –∞ –∞ 
*Giao điểm của đồ thị với trục Ox là: M(–1;0) và N(1;0) 
*Đồ thị (P) có dạng sau: 
*Dựa vào đồ thị ta có: y ≥ 0 ⇔ –1 ≤ x ≤ 1. 
b) *Tọa độ đỉnh: S(2;–1) 
*Phương trình trục đối xứng: x = 2 
*Vì a > 0 nên (P) quay bề lõm lên phía trên 
*Bảng biến thiên 
x –∞ 0 +∞ 
 +∞ +∞ 
y 
 –1 
*Giao điểm của đồ thị với trục Ox là: M(1;0) và N(3;0) 
*Đồ thị (P) có dạng sau: 
*Dựa vào đồ thị ta có: y ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 hay x ≥ 3. 
c) *Tọa độ đỉnh: S(–2;4) 
*Phương trình trục đối xứng: x = –2 
*Vì a < 0 nên (P) quay bề lõm xuống phía dưới 
*Bảng biến thiên 
x –∞ –2 +∞ 
 4 
y 
 –∞ –∞ 
*Giao điểm của đồ thị với trục Ox là: M(–4;0) và O(0;0) 
*Đồ thị (P) có dạng sau: 
*Dựa vào đồ thị ta có: y ≥ 0 ⇔ –4 ≤ x ≤ 0. 
Bài 4. Cho hàm số y = x2 – 4x + 3 có đồ thị (P) 
a) Vẽ đồ thị (P) 
b) Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng (0;1) 
c) Xác định giá trị của x sao cho y ≤ 0 
d) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [0;3] 
Giải 
a) *Tọa độ đỉnh: S(2;–1) 
*Phương trình trục đối xứng: x = 2 
*Vì a > 0 nên (P) quay bề lõm lên phía trên 
*Bảng biến thiên 
x –∞ 2 +∞ 
 +∞ +∞ 
y 
 –1 
*Giao điểm của đồ thị với trục Ox là: M(1;0) và N(3;0) 
*Đồ thị (P) có dạng sau: 
b) Dựa vào đồ thị ta có: Trong khoảng (0;1) thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải 
nên trong khoảng (0;1) thì hàm số đã cho nghịch biến. 
c) Dựa vào đồ thị ta có: y ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3. 
d) Dựa vào phần đồ thị (P) trên đọa [0;3], ta có: 
–GTLN của hàm số trên [0;3] bằng 3, đạt tại x = 0. 
–GTNN của hàm số trên [0;3] bằng –1, đạt tại x = 2.