Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Hiệp Hòa (Có hướng dẫn chấm)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC: 2020-2021
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm):
1) Tính giá trị của biểu thức: 
2) Giải phương trình: 
Câu 2 (2,0 điểm):
1) Rút gọn biểu thức: với 
2) Cho hệ phương trình: , với m là tham số. 
Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x; y). Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2
Câu 3 (2,0 điểm):
1) Tìm m để đường thẳng y = 2x – m + 1 và y = x + 2m – 5 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. 
2) Hai giá sách trong một thư viện có tất cả 450 cuốn sách. Nếu chuyển 50 cuốn sách từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số cuốn sách ở giá thứ hai bằng số cuốn sách ở giá thứ nhất. Tính số cuốn sách ban đầu của mối giá sách.
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ BH vuông góc với AO (), trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho HC = HB. 
1) Chứng minh rằng C thuộc đường tròn tâm O và AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
2) Vẽ cát tuyến AMN với đường tròn tâm O (AM < AN, tia AM nằm giữa hai tia AO và AC). Chứng minh rằng AM.AN = AH.AO.
3) Gọi I là trung điểm của dây MN. Tia CI cắt đường tròn tâm O tại K. Chứng minh rằng BK song song với MN.
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng .
---------------- Hết -------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM 
THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
NĂM HỌC: 2020-2021
MÔN: TOÁN
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang
Câu
Đáp án
Điểm
1
(2,0 điểm)
1) 
0,5
0,5
2) 
0,25
0,25
0,25
x = 5
Vậy nghiệm của phương trình là x = 5
0,25
2
(2,0 điểm)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
M = x2 + y2 = m2 + (m + 1)2
M = 2m2 + 2m + 1
0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng khi m = .
0,25
3
(2,0 điểm)
1) Đường thẳng y = 2x – m + 1 và y = x + 2m – 5 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung khi 
0,25
 - m + 1 = 2m - 5
0,25
 3m = 6 
 m = 2
0,25
Vậy với m = 2 thì đường thẳng y = 2x – m + 1 và y = x + 2m – 5 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.
0,25
Gọi số cuốn sách ở giá thứ nhất là x (cuốn) ; 50<x<450, 
Số cuốn sách ở giá thứ hai là 450 – x (cuốn) 
0,25
Sau khi chuyển thì số sách của giá thứ nhất là x – 50 (cuốn) 
Số sách giá thứ hai là 500 – x (cuốn)
0,25
Theo bài ra ta có phương trình 
2500 – 5x = 4x – 200
 9x = 2700
 x = 300 (thỏa mãn)
0,25
Vậy số cuốn sách ban đầu của giá thứ nhất là 300 (cuốn sách)
Số cuốn sách ban đầu của giá thứ hai là 450 – 300 = 150 (cuốn sách)
0,25
4
(3,0điểm)
Xét và có :
OH (cạnh chung)
HB = HC (gt)
Do đó = (c.g.c)
0,25
Suy ra OB = OC (hai cạnh tương ứng).
 Vậy C thuộc đường tròn tâm O.
0,25
Xét và có :
OA (cạnh chung)
 (góc tương ứng của = )
OB = OC (chứng minh trên)
Do đó = (c.g.c)
0,25
Suy ra (hai góc tương ứng)
Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
0,25
Xét và có :
 (góc chung)
 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn của (O))
0,25
Do đó (g.g) (1)
0,25
Xét vuông tại B, có BH là đường cao
Suy ra AB2 = AH.AO (Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra AM.AN = AH.AO
0,25
Gọi D là trung điểm của AO. 
Ta có BD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABO (3)
Tương tự (4)
0,25
I là trung điểm của MN (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) vuông tại I
ID là trung tuyến ứng với cạnh huyền AO (5)
0,25
Từ (3), (4) và (5) DA = DB=DO=DI=DC
 A, B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO
0,25
 (góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn đường kính AO)
Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC của đường tròn tâm O)
Mà ở vị trí đồng vị BK//MN.
0,25
5
(1,0điểm)
Vì x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác 
 x, y, z > 0 và 2y + 2z –x > 0; 2z + 2x – y > 0; 2x + 2y – z > 0
0,25
Ta có: 
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 
Suy ra .
0,25
Đẳng thức xẩy ra khi 
Vậy MinS = khi đó tam giác đã cho là tam giác đều.
0,25
Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nếu đúng vần cho điểm tối đa.
 Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai câu 4 thì không cho điểm cả câu.
---------------- Hết -------------