Đề thi Olympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Trường Tiểu học Phú Thứ (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Thời gian làm bài:150 phút
( Đề gồm có: 5 câu, 01 trang)
Câu 1: (2,0 điểm) 
	1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2(x4 - 1)(x2 + 2) + 1.
	2) Biết 4a2 + b2 = 5ab với 2a > b > 0. Tính giá trị biểu thức: 
Câu 2: (2,0 điểm) 
Giải các phương trình sau:
1) ;
	2) .
Câu 3: (2,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0.
2) Cho đa thức . Với giá trị nguyên nào của x thì giá trị của đa thức chia hết cho giá trị của đa thức .
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D.
	1) Chứng minh AB2 = 4 AC.BD;
	2) Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM;
	3) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH.
Câu 5: (1,0 điểm)
	Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = .
------------------ Hết ------------------
UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018
MÔN: TOÁN- LỚP 8
 ( Hướng dẫn chấm gồm: 5 câu, 3 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(2 điểm)
1. (1điểm) 
x2 (x4 - 1)(x2 + 2) + 1
= x2 (x2 - 1)(x2 + 1)(x2 + 2) + 1
0,25
= (x4 + x2)(x4 + x2 – 2) + 1
0,25
= (x4 + x2)2 – 2(x4 + x2) + 1
0,25
= (x4 + x2 – 1)2
0,25
2. (1điểm)
4a2 + b2 = 5ab 
(a – b)(4a – b) = 0
0,5
Do 2a > b > 0 nên 4a = b loại
0,25
Với a = b thì 
0,25
2
(2điểm)
1. (1điểm)
* Víi x³ 1 (*) ta cã ph­¬ng tr×nh: 
 x2 -3x + 2 + x-1 = 0
0,25
( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*))
0,25
* Víi x < 1 (**) ta cã ph­¬ng tr×nh:
 x2 -3x + 2 + 1 - x = 0
0,25
+ x - 1 = 0 ( Kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn **)
 + x - 3 = 0 ( Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn **)
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: x = 1
0,25
2. (1điểm)
- Xét x = 0 không phải là nghiệm của PT
- Xét x khác 0
0,25
Đặt :
 , ta có phương trình: 
ĐKXĐ: 
0,25
0,25
=> PT vô nghiệm
0,25
3
(2 điểm)
1. (1điểm)
Ta có: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0
 4x2 + 8xy + 28x + 28y + 8y2 + 40 = 0
 (2x + 2y + 7)2 + 4y2 = 9 (*)
0,25
Ta thấy (2x + 2y + 7)2 0 nên 4y2 9 
do y nguyên nên 
0,25
Với y = 0 thay vào (*) ta được: tìm được 
Với y = 1 thay vào (*) ta có : (2x + 9)2 = 5 - không tìm được x nguyên 
Với y = -1 thay vào (*) ta có (2x + 5)2 = 5 - không tìm được x nguyên
0,25
Vậy (x;y) nguyên tìm được là (-2 ; 0) ; (-5 ; 0).
0,25
2. (1điểm)
Chia cho được thương là x - 3 dư x + 2.
0,25
để chia hết cho thì x + 2 chia hết cho 
=> (x + 2)(x - 2) chia hết cho x2 + 2
=> x2 - 4 chia hết cho x2 + 2
=> x2 + 2 - 6 chia hết cho x2 + 2
=> 6 chia hết cho x2 + 2
=> x2 + 2 là ước của 6
0,25
mà 
=> 
=> 
0,25
Thử lại ta thấy x = 1; x = -2 thỏa mãn
Vậy với x = 1 ; x = -2 thì chia hết cho 
0,25
4
(3 điểm)
Vẽ hình và ghi GT, KL
0,25
1. (1điểm)
Chứng minh: )
0,25
0,25
 (đpcm)
0,25
2. (1điểm)
Theo câu a ta có: 
Mà 
0,25
+) Chứng minh: 
0,25
+) Chứng minh: (đpcm)
0,5
3. (1điểm)
Ta có OC là trung trực của AM
ÞOC ^ AM.
Mặt khác OA = OM = OB Þ∆AMB vuông tại M
ÞOC // BM (vì cùng vuông góc AM) hay OC // BI
0,25
Chứng minh được C là trung điểm của AI
0,25
Do MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:
0,25
Mà IC = AC Þ MK = HK ÞBC đi qua trung điểm MH (đpcm)
0,25
5
(1điểm)
Theo BĐT Cô Si ta có: dấu “=” khi y = 2x;
Tương tự: dấu “=” khi z = 4x; dấu “=” khi z = 2y; 
Þ P . Dấu “=” xảy ra khi x = ; y = ; z = 
Vậy Min P = khi với x = ; y = ; z = 
0,25
0,25
0,25
0,25
*Chú ý: Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.