Đề thi olympic lớp 8 năm học: 2014 – 2015 - Trường THCS Kim An

PHÒNG GD- ĐT THANH OAI
 Trường THCS Kim An ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8
 Năm học: 2014 – 2015
 Môn thi: Toán
 Thời gian làm bài: 120 phút
 (không kể thời gian giao đề)
Bài 1.(6,0 điểm)
 1. Cho 
 Chứng minh rằng: Trong ba số a,b,c có một số bằng tổng của hai số kia.
 2. Giải các phương trình sau :
 a, (a là hằng số )
 b, .
Bài 2.(4.0 điểm)
1. Tìm số nguyên dương x,y sao cho : x3 + y3 = 3xy – 1.
 2. Cho P = n4 – 27n2 + 121. Tìm để P là số nguyên tố .
Bài 3.(3.0 điểm)
 Tìm giá trị lớn nhât của tổng x+y+z biết rằng: 
 x +5y =21; 2x + 3z =51; .
Bài 4 .(6.0 điểm)
 Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE , BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M, N.
 a, Chứng minh rằng CM.DN = a
 b, Gọi K là giao điểm NA và MB. Chứng minh rằng : MKN = 900.
 c, Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất?? 
Bài 5. (1.0 điểm)
 Tìm mọi giá trị n nguyên dương để 2n – 1 chia hết cho 7.
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Người kiểm tra: Người ra đề:
Nguyễn Thị Thu Hường
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN LỚP 8 
NĂM HỌC 2014 - 2015
Bài
ý
Nội dung
Điểm
Bài 1
(6đ)
1.
(2đ)
 Để chứng tỏ trong ba số a,b,c có một số bằng tổng hai số kia, ta đi chứng minh : (a + b – c ) (a+c – b) (b +c – a) = 0.
 Từ giả thiết, ta có : 
()c + ()a + ()b = 2abc
Thêm bớt abc , ta được : 
 ()c + ()a +()b = 0
(a +b +c )(a +b–c) c +(b– c+ a)(b –c –a)a +(c– a +b)(c –a–b)b=0
 ( a +b –c) () = 0 
 ( a + b – c) (c + a – b) (c – a + b ) = 0 
c= a+b; b= a +c; a = b+c.
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
 2.
(4đ)
a, - Nếu x thì x – 4 –x = 2a 0x = a + 2
 + Nếu a :phương trình vô nghiệm 
 + Nếu a = :phương trình có vô số nghiệm 
Nếu x < 4 thì 
 Ta có 
Kết luận : Nếu a > -2 thì 
 Nếu a = -2 thì pt có vô số nghiệm x 
 Nếu a < -2 thì pt vô nghiệm 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b, 
Giải (1) ta được 
Giải (2) ta được
 Vậy pt có 3 nghiệm phân biệt 
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2
(4đ)
 1. (2đ)
vì x,y nên x + y + 1 0. vậy 
Ta có , , 
Vậy x =1 , y =1
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
2. (2đ)
 n nên 
P nguyên tố thì 
 n = 2 và n = 5
Với n = 2 thì P = 29 là số nguyên tố .
Với n = 5 thì P = 71 là số nguyên tố .
Vậy n = 2 hoặc n = 5 thì P là số nguyên tố .
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Bài 3
(3đ)
 Cộng từng vế các đẳng thức x + 5y =21 và 2x + 3z = 51 
ta được 3 ( x + y + z ) + 2y = 72.
 3 ( x+ y+ z )lớn nhất 2y nhỏ nhất
Vì y nên 2y nhỏ nhất bằng 0 y = 0; x = 21, z = 3.
Do đó 3( x +y + z ) lớn nhất bằng 72 x + y + z lớn nhất bằng 24 
Vậy x + y + z lớn nhất bằng 24 x = 21 , y = 0 , z = 3.
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4
(6đ)
a. (2đ)
 K
 A B
 F
 E
 N D C M
a, ABCD là hình vuông (gt) => AB //CD mà M,N CD
=> AB //MN
=> (hệ quả của định lý ta-let )
=>.
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
b. (2đ)
b, Theo câu a, ta có :
 nên (vì AB = CB = AD )
Do đó 
=>
Do đó : 
Vậy .
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
c.
(1,5đ
c, MN nhỏ nhất khi và chỉ khi CM + DN nhỏ nhất 
 mà CM . DN = ( không đổi ) (theo câu a )
 nên CM + DN nhỏ nhất CM = DN .
 khi đó ; CM = DN = a
độ dài MN nhỏ nhất bằng 3a E , F theo thứ tự là trung điểm của BC,AD.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5
(1đ)
Nếu n = 3k thì chia hết cho 7
Nếu n = 3k +1 thì )+ 1 
 không chia hết cho 7 .
Nếu n = 3k + 2 thì = không chia hết cho 7 .
Vậy chia hết cho 7 khi và chỉ khi n là bội của 3
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Chú ý: Học sinh làm cách khác vẫn cho điểm tối đa