Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Thuận Lộc (Có đáp án)

 TRƯỜNG THCS THUẬN LỘC. 
 ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 
 Năm học 2018 - 2019
 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
I. Phần trác nghiệm
Bài 1. Rút gọn. A= + 
 Bài 2: Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: a1000 + b1000 = a1001+ b1001 = a1002 + b1002 .
 Tính giá trị biểu thức: P = 
Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 4 Cho ∆ABC có , BC = 12 cm, AB = 6 cm. Đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D. Tính độ dài đường phân giác BD?
Bài 5 Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức có giá trị bé nhất ? Cho biết giá trị bé nhất đó.
Bài 6 Cho ABC đều điểm M nằm trong ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. 
 Tính số đo góc BMC ?
Bài 7 Tìm dư của phép chia đa thức chia hết cho đa thức 
Bài 8 Tìm x, y biết: 
Bài 9 Cho dãy số Tìm số hạng thứ 10 của dãy
Bài 10 Tìm tập nghiệm của phương trình: 
II. Phần tự luận
Bài 11. a. Giải phương trình: 
 b. Giải hệ phương trình: 
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB; AC. Gọi I là giao điểm của BE và CD.
So sánh SADIE và SBIC ; b. Chứng minh rằng ; 
c. Giả sử Ĉ = 300. Tính tỷ số .
Bài 13: a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
 b) Cho thỏa mãn . 
Tính giá trị của biểu thức 
Hướng dẫn chấm
Phần I. Trắc nghiêm 10 điểm ( Mỗi câu đúng 1 điểm)
Bài
Kết quả đúng
Điểm
Bài 1

1 điểm
Bài 2
2
1 điểm
Bài 3
GTNN 1/3, GTLN 3
1 điểm
Bài 4
4
1 điểm
Bài 5
 
1 điểm
Bài 6

1 điểm
Bài 7
0
1 điểm
Bài 8
x = 2; y = 3 và .
1 điểm
Bài 9

1 điểm
Bài 10

1 điểm

Phần II. Tự luận (10 điểm)
Bài 11 (4 điểm) 
 a. ĐK: 
+ Sử dụng bất đẳng thức cô si hoặc Bu nhi a đánh giá VT 2
+ Đánh giá VP 
Do đó: PT 
 b. Hệ phương trình:
Hệ này tương đương với tuyển của hai hệ phương trình sau:
 (I) và (II)
* Giải hệ (I) có nghiệmb (x,y) = ()
* Xét hệ (II) từ x+y = -1 ta có y = - x-1 thay vào phương trình đầu của hệ (II) ta được x2 +x -2 = 0
Phương trình này có hai nghiệm: x = -1 và x = - 2
Từ đó ta thấy h ệ (II) có hai ghiệm: (1; - 2); (2; -1)
Kết luận: Hệ đã cho có nghiêm (x;y) l à: (); (1; - 2); (2; -1)
Bài 12 (4 điểm) 
a. Do HD//AC Þ SADC = SAHC 
Do HE // AB Þ SAHC = SBEC ( = SABC - SAHB = SABC - SABE )	
Suy ra: SADC = SBEC Þ SADC - SEIC = SBEC - SEIC  ( Đpcm)	
b. (1)
 Do HE // AB Þ ( Hệ quả định lý Ta - lét) (2)
Từ (1) và (2) Þ 
c. Với Ĉ = 300 Þ AB = ½ BC
 Với Ĉ = 300 Þ ÐBAH = 300 Þ BH = ½ AB Suy ra: BH = ¼ BC 
Vậy BH/CH = 1/3
Bài 13 (2 điểm) 
 a) Với n = 0 ta có A(0) = 19 19
Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19
Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh:
A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 19
Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 
	 = 7.52k.52 + 12.6n. 6 
	 = 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6
	 = 6.A(k) + 7.52k .19 19
Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n
b. Ta có: 
(yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz
xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz
(xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = 0
x(yz + zx + y2+ yx)+ z(y2 + yz + xz + xy) = 0
(yz + zx + y2+ yx)( x+ z) = 0 
 Thay vào B tính được B = 0