Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Duy Tiên năm học 2013-2014 môn Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
DUY TIÊN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014
MÔN TOÁN 9
(Thời gian làm bài:150 phút)
Câu 1 (3 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau:
	a) A;
	b) B với x .
Câu 2 (4 điểm): 
	Cho biểu thức P =
	a) Rút gọn biểu thức P;
	b) Tìm giá trị của x để biểu thức Q = nhận giá trị nguyên.
Câu 3 (3 điểm): 
	Cho đường thẳng () có phương trình: 3(m - 1)x +( m - 3)y = 3
	a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m;
	b) Tìm m để đường thẳng (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. 
Câu 4 (3,5 điểm): 
	a) Giải phương trình sau:
	;
	b) Giải hệ phương trình sau:
Câu 5 ( 6,5 điểm): 
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Đường thẳng chứa đường kính của đường tròn song song với EF cắt ME, MF lần lượt tại C và D. Dây EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.
	a) Chứng minh rằng OA.OB không đổi.
	b) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d.
	c) Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích của HBO lớn nhất.
	d) Lấy điểm I thuộc cung nhỏ EF, vẽ tiếp tuyến qua I của (O) cắt ME, MF lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng PC.DQ.
---------------- HẾT ---------------- 
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN 9
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(3 điểm)
a) A
 +
	=+
	=
b) Ta có: x= 
= 
B= 
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.25
Câu 2
(4 điểm)
Điều kiện: x > 0, x1
a) Rút gọn được biểu thức P = x +1
b) Q = 
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương và ta có:> 0
. Hay Q2 (1) 
0.25
1.25
0.5
0.5
Mặt khác:> 0
Hay Q > 0 (2) 
Từ (1) và (2) ta có: 0 <Q2 mà QZ 
- Nếu Q = 1thì 
	Tìm được 
 - Nếu Q =2 thì (Loại)
Vậy với hoặc thì biểu thức Q nhận giá trị nguyên.
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
Câu 3
(3 điểm)
a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi giá trị của m là . Khi đó ta có:
	 đúng với mọi m
	 đúng với mọi m 	
Vậy với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định là 
0.25
0.25
0.25
0.25
b)-Với m = 1 thì đường thẳng (d) có dạng: y = .Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là (1)
- Với m = 3 thì đường thẳng (d) có dạng: x = .Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là (2)
- Với thì đường thẳng (d) giao với Oy tại A ,giao với trục Ox tại điểm B
.
0.25
0.25
0.25
Trong tam giác OAB có 
	Þ 
Ta có > 0
	 .Hay 
Dấu bằng xảy ra khi (thỏa mãn)
Vậy với thì (3) 
Từ(1)(2)(3) tacó khi 
0.5
0.25
0.25
0.25
Câu 4
(3,5 điểm)
	a) Giải phương trình sau:
ĐKXĐ:
	(1)
- Nếuthì pt(1) có dạng: 
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
	(Thỏa mãn)
- Nếu thì pt(1)có dạng (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của pt là 
0.25
0.25
b) ) 
Từ pt(1) ta có: 
=0
 hoặc x = -1-y
- Nếu x =2y thì pt(2) có dạng 
	hoặc y =
	hoặc
0.25
0.25
0.5
- Nếu x= -1- y thì hpt có nghiệm là hoặc 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
	(x;y) = (-1;0);(0;-1);();()
0.25
0.25
Câu 5
(6,5 điểm)
0.25
0.25
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
a)Ta có:OM là trung trực của EF
(1)
 vuông tại E,đường cao EH ta có:
 (2)
Từ (1)(2)ta có: OA.OB = = (không đổi )
b)Vì OA.OB = mà R không đổi ,OA không đổi do đó OB không đổi mà O cố định nên B cố định .
 Vậy khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d thì EF luôn đi qua điểm cố định B.
c) Gọi K là trung điểm của OB mà tam giác BHO vuông tại H nên ta có HK= 
mà OB không đổi nên HK không đổi 
Kẻ HNBO , ta có
Vì BO không đổi Þ. 
Mà , dấu “=” xảy ra 
Vậy max vuông cân tại H 
MO tạo với OA một góc 
d) Chứng minh được 
Ta có 
Ta có ( vì cùng phụ với )
(vì )
 (3)
Mặt khác:
(4)
Từ (3) (4)(5)
Trong tam giác MCD có MO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác MCD cân tại M (6)
Từ (5) (6) 
0.25
0.25
0.25