Đề thi đề xuất chọn học sinh giỏi môn Toán – lớp 9

Phòng giáo dục – đào tạo
Huyện Thanh Liêm
 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn Toán – Lớp 9 
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: (4,0 điểm) 
Cho biểu thức 
 Với 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi 
c) So sánh A với.
Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng
a) Biết a; b; c là ba số thực thỏa mãn điều kiện: 
a = b + 1 = c + 2 ; c >0. 
b) Biểu thức có giá trị là một số tự nhiên.
Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình
a) 
b) .
Bài 4.(8,0 điểm)
Cho AB là đường kính của (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R).
c) Chứng minh K là trung điểm của CH.
d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
Bài 5: (1,5 điểm) Cho 
a) Chứng minh M có giá trị nguyên.
b) Tìm chữ số tận cùng của M. 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015
MÔN TOÁN LỚP 9
Bài 1 (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức (2 điểm) 
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
b) Tính giá trị của A khi (1 điểm).
 Tính 
0.5
0.5
c) So sánh A với (1 điểm).
 Biến đổi 
 Chứng minh được với mọi 
0.25
0.25
0.5
Bài 2 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng Biết a; b; c là ba số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (2 điểm).
Ta có : .
. (c > 0 theo (gt))
Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0.
Mặt khác 
 (Với a >b>0)
.
Chứng minh tương tự: .
 Vậy (đpcm).
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
b) Biểu thức có giá trị là một số tự nhiên. (1 điểm).
Ta có : .
.
.
Vậy B có giá trị là một số tự nhiên.
0.5
0.75
0.25
Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình
a) (1.75 điểm)
Điều kiện 
x = 2 thỏa mãn đk. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
b) (1). (1.25 điểm).
Điều kiện .
 (2)
(Với nên x + 3 > 0).
Giải tiếp phương trình (2) ta được nghiệm của phương trình là x = 2.
0.25
0.25
0.25
0.5
Bài 4 (8 điểm)
1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. (2 điểm)
Chứng minh OI AC.
Suy ra OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính OC.
CHAB (gt) CHO vuông tại H H thuộc đường tròn đường kính OC.
Suy ra I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC. hay C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn.
0.75
0.25
0.75
0.25
2) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R). (2 điểm)
- Chứng minh .
- Chứng minh AOM = COM
- Chứng minh 
MC là tiếp tuyến của (O; R).
0.75
0.75
0.25
0.25
3) Chứng minh K là trung điểm của CH.. ( 2 điểm)
MAB có KH//MA (cùng AB) (1)
Chứng minh cho CB // MO (đồng vị).
C/m MAO đồng dạng CHB (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH CK = KH K là trung điểm của CH.
1
0.75
0.25
4) Xác định vị trí của C để chu vi ACB có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó.
Chu vi tam giác ACB là 
Ta lại có 
(Pitago)
.
Đẳng thức xảy ra khi AC = CB M là điểm chính giữa cung AB.
Suy ra , Dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB
Vậy max khi M là điểm chính giữa cung AB.
0.5
0.75
0.25
0.25
0.25
Bài 5 (1,5 điểm)
a) Chứng minh M có giá trị nguyên. (1 điểm)
Biến đổi .
Đặt ; với .
Đặt với . Khi đó M = U1004
Ta có 
 (vì ab = 1).
 (*).
Ta thấy U0 = 2 Z ; U1 = a + b = 10 Z.
 .
Theo công thức (*) thì mà U1, U2 suy ra .
Lại theo (*) cũng có giá trị nguyên.
Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n .
Suy ra M = U1004 có giá trị là một số nguyên.
0.25
0.25
0.25
0.25
a) Tìm chữ số tận cùng của M.. (0.5 điểm)
Từ (*) suy ra 
vµ Ur
Có chữ số tận cùng giống nhau.
 1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống nhau.
Mà U0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng là 2. 
0.25
0.25