Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Đề 2 (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức .
Tìm x ñeå P xaùc ñònh, rút gọn P. 
Tính giá trị của P khi .
Tìm giá trị của x thỏa mãn đẳng thức .
Bài 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình
 a) 
 b) 
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2015 
và thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2015. 
b) Cho x và y thỏa mãn . Tính x + y.
Bài 4: (3,0 điểm)
 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD, G là giao điểm của CD và AO. Chứng minh:
 a) EG // AB b) OE CD
 c) SDAC + SBDO = SABC
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB < AC). Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường vuông góc với đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: BM = CN.
---------- HẾT ---------- 
(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh................................ 
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán - Lớp 9
Bài 1: (2 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
0,75 điểm
, ĐKXĐ: 
 = = 
= := = 
 0,25
 0,25
 0,25
b)
0,5 điểm
Với x = ĐKXĐ, x = 42 = 
Nên P = = = .
0,25
0,25
c)
0,75 điểm
ĐK: x 4
P. = 63
 . = 63
 = 63
 x + 2 + 1 = 63 (*)
Do x > 0; , x 4
Nên để (*) xảy ra thì và x = 4 (TM ĐKXĐ)
Kết luận
0,25
0,25
0,25
Bài 2: (2 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a) 
1 điểm
a,(1)
ĐK: 
 (1) + = + 
Đặt: 
(1) 	 a.b + c = b + a.c
 a(b - c) - (b - c) = 0
(a - 1)(b - c) = 0	 
Với a = 1 x - 1 = 1 x = 2 (thoả mãn đk)
Với b = c x - 2 = x + 3 0x = 5 vô nghiệm
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
1 điểm
Đặt (với )
Khi đó, ta có: 
Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là: 
0,25
0,5
0,25
Bài 3: (2 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
+) Nếu a + b = 0 thì suy ra c = 2015
+) Nếu b + c = 0 thì suy ra a = 2015
+) Nếu a + c = 0 thì suy ra b = 2015
Chứng tỏ trong 3 số a, b, c phải có một số bằng 0.
b)
1 điểm
 (hai nhaân töû v.traùi phaûi khaùc 0) Nên 
Tương tự  = 
Cộng vế theo vế, ta có
x + y + + = +xy
2(x + y) = 0 nên x + y = 0
0,5
0,5
Bài 4: (3 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
1 điểm
Vẽ hình chính xác
Chứng minh EG //AB:
Kẻ các đường trung tuyến CM, DN củaADC chúng cắt nhau ở E
Hai trung tuyến AO và CD cắt nhau tại G, nên G là trọng tâmABC
Xét MCD, ta có: EG // DM hay EG // AB
0,25
0,25
 0,5
b)
1 điểm
Chứng minh OE CD :
ODAB (Đường kính qua trung điểm D của dây AB) 
Mà EG // AB nên EGOD (1)
ABC cân tại A OG BC, mà BC // DN nên OG DN (2)
Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm ODE, do đó OE DG
hay OE CD
0,5
0,5
c)
1 điểm
Chứng minh: SDAC + SBDO = SABC:
Vậy SABC = 4 SODC hay SODC = SABC
Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – SABC = SABC
 0,5
 0,5
Bài 5: (1 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
1 điểm
Vẽ hình chính xác
Chứng minh: BM = CN
Gọi K là giao điểm của MN và đường phân giác của góc A
Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P
 AMN là tam giác cân tại A (AK vừa là đường cao vừa là đường phân giác) AM = AN (1)
BP//MN nên BP AK.Tương tự ABP cân tại A AB = AP (2)
BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra BM = PN (4)
Trong BCP, D là trung điểm của BC, DN// BP N là trung điểm
của CP hay NP = NC (5).
Từ (4),(5) BM = CN 
 0,25
 0,5
 0,25
Lưu ý: Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.