Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Đề 14 (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2015 - 2016
Môn thi:Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
 Cho biểu thức: (Với x 0, x 1)
Rút gọn biểu thức P.
Tìm giá trị của P khi .
So sánh: P2 và 2P.
Bài 2: (2,0 điểm)
 a) Giải phương trình: 
 b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng (d1): y = 3x – m – 1 và (d2) : y = 2x + m - 1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, giao điểm của (d1) và (d2) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. 
Bài 3: (... điểm)
a) Tìm số nguyên a sao cho là số nguyên tố 
 b) Đặt 
Chứng minh rằng M = là số chính phương.
Bài 4: ( điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: 
 Tam giác đồng dạng với tam giác; 
Chứng minh rằng :
 c.Chứng minh rằng: .
Bài 5: ( điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi.
---------- HẾT ---------- 
(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:.....................................................; 
Số báo danh................................ 
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán - Lớp 9
Bài 1: ( 2 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
ĐKXĐ Với x 0, x 1
0.75
b)
=2(TM ĐKXĐ)
0.25
Thay x =2 vào P ta có 
0.25
Vậy khi x = 2 thì 
0.25
c)
 Vì >0 nên P >0 
Với x 0 thì nên 1
suy ra: 
0.25
Do 0 < P 2 nên P.(P – 2) 0 P2 2P
Vậy P2 2P
0.25
Bài 2: ( 2 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
( ĐKXĐ x )
0.25
0.25
(tmđk)
0.25
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
0.25
b)
Tìm được (d1) cắt (d2) tại M(2m ; 5m-1) với mọi m. 
Suy ra quan hệ : ym = xm - 1 với mọi m
0.75
Vậy khi m thay đổi, giao điểm M của (d1) và (d2) luôn nằm trên đường thẳng cố định (d) : y = x - 1. 
0.25
Bài 3: ( 2 điểm)
Ý/
Phần
Đáp án
Điểm
a)
Ta có : 
0.25
Vì 
Có
Và 
0.25
nên là số nguyên tố thì hoặc 
0.25
Nếu thử lại thấy thoả mãn
Nếu thử lại thấy thoả mãn
Vậy là số nguyên tố thì a=1 hoặc a= -1
0.25
b)
Từ 
 a3 = 3a +4 a3 - 3a = 4 
0.25
Mặt khác từ a3 = 3a +4 a(a2 - 3 ) = 4 a2 - 3 = 4 : a (vì a3 = 3a +4 nên a ≠0 )
0.25
Thay vào và rút gọn ta có M = = a3 - 3a = 4
Vậy M là số chính phương .
0.5
Bài 4: ( 3 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
A
B
C
F
E
H
D
 Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = 
Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = .
0.5
Suy ra = 
* Từ suy ra 
0.5
b)
Tương tự câu a, 
0.25
Từ đó suy ra 
Suy ra 
0.5
c)
Từ 
Tương tự: ; . Do đó: 
++=
0.25
Ta chứng minh được: (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) (*)
Áp dụng (*) ta có: 
Suy ra .
0.5
Bài : 5 (1 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
Gọi a, b, c lần lượt là cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông của D vuông.
	Khi đó: a, b, c Î N và a ³ 5; b, c ³ 3
	Ta có hệ phương trình: 
0.5
(1): 	a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c)
	Û 	a2 + 6a + 9 = (b + c)2 – 6(b + c) + 9
	Û 	(a + 3)2 = (b + c – 3)2
	Û 	a + 3 = b + c – 3
	Û 	a = b + c – 6
(2): 	bc = 3(b + c – 6 + b + c) = 3(2b + 2c – 6)
	Û 	(b – 6)(c – 6) = 18
	Nên ta có các trường hợp sau:
	1. b – 6 = 1 và c – 6 = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25
	2. b – 6 = 2 và c – 6 = 9 thì b = 8; c = 15 và a = 17
	3. b – 6 = 3 và c – 6 = 6 thì b = 9; c = 12 và a = 15
0.5