Đề tài Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố

hạn) của nếu bậc của trên là hữu hạn (vô hạn).
Ví dụ 2.1.1. Tìm bậc mở rộng của trên 
	Giải	
Ta có Rõ ràng là cơ sở của trên Do đó 
Ví dụ 2.1.2. Tìm bậc mở rộng của trên 
Giải
Ta có là một cơ sở của trên Do đó 
Ví dụ 2.1.3. Chứng minh rằng bậc mở rộng của trên là vô hạn.
Giải
Ta có là các phần tử độc lập tuyến tính trên Do đó là mở rộng bậc vô hạn của 
Định lý. Cho là mở rộng của Khi đó nếu và chỉ nếu 
Chứng minh
Giả sử và là một cơ sở của trên Ta có với Do đó Với mọi ta có với Vậy và do đó Nếu thì dễ dàng kiểm tra được là cơ sở của trên và do đó 
Định nghĩa. Cho các trường sao cho với mọi Ta nói rằng là một tháp của các trường 
Ví dụ 2.1.4. Ta có tháp các trường của là 
Định lý. Cho một tháp các trường Khi đó là một rộng bậc hữu hạn của nếu và chỉ nếu là một mở rộng bậc hữu hạn của và là một mở rộng bậc hữu hạn của Hơn nữa 
Chứng minh
Giả sử hữu hạn. Khi đó tồn tại một cơ sở của trên Với mọi , ta có trong đó Vì nên là một hệ sinh của trên và do đó Do nên ta có thể xem là một không gian con của trên và tất nhiên 
Đảo lại, giả sử và Khi đó tồn tại một cơ sở của trên và một cơ sở của trên Do mọi và khác nên cũng khác Rõ ràng tập hợp có đúng phần tử. Bây giờ, ta sẽ chứng minh là một cơ sở của một không gian véc tơ trên Nếu thì với Do là một cơ sở của trên nên với Khi đó ta có
Vậy là một hệ sinh của trên Giả sử
Vì là độc lập tuyến tính trên nên với mọi Mặt khác, vì là độc lập tuyến tính trên nên với mọi Vậy là một hệ độc lập tuyến tính của trên Điều này dẫn đến 
Hệ quả. Cho một tháp các trường Khi đó nếu là một mở rộng bậc hữu hạn của thì 
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh quy nạp theo Rõ ràng hệ quả đúng với và Nếu và hệ quả đúng với thì Bây giờ, ta xét tháp các trường Ta có
Mở rộng hữu hạn sinh
Định nghĩa. Cho là trường và là một tập con khác rỗng của Khi đó trường con của sinh bởi là giao của tất cả các trường con của chứa Trường con này là trường con nhỏ nhất của chứa và kí hiệu là 
Ví dụ 2.2.1. Tìm trường con của sinh bởi tập con 
Giải
Theo định nghĩa là một trường con của nên chứa trường con nguyên tố của Do là trường con nhỏ nhất của chứa và nên nó chứa tất cả các phần tử có dạng trong đó và do đó chứa Rõ ràng là một trường con của chứa nên nó cũng chứa Vậy là trường con của sinh bởi 
Định nghĩa. Cho là một mở rộng của và là một tập con của Trường con sinh bởi được gọi là trường con sinh bởi trên và được kí hiệu là Nếu thì ta viết thay cho Ta gọi là một mở rộng hữu hạn sinh của 
Ví dụ 2.2.2. Tìm trường con của sinh bởi 
Giải
Trường con của là trường con sinh bởi Khi đó chứa các phần tử có dạng trong đó Nếu đặt thì rõ ràng chứa Ta có thể chứng minh được là một trường con của chứa và nên chứa Vậy 
2.2.3. Định lý. Cho là một mở rộng của và Khi đó 
Chứng minh
Ta có là trường con sinh bởi Do đó chứa và Vậy chứa Do đó 
Trường con chứa Trường chứa và Do đó chứa và Vậy chứa Do đó Vậy 
Mở rộng đơn
Định nghĩa. Một mở rộng trường của được gọi là mở rộng đơn nếu tồn tại một phần tử sao cho còn được gọi là phần tử nguyên thủy của 
Ví dụ 2.3.1. Chứng minh rằng trường là mở rộng đơn của 
Giải
Trường chứa và nên 
 Chú ý rằng 
Do đó
Vậy và do đó Điều này dẫn đến là một mở rộng đơn của với là phần tử nguyên thủy của 
Ví dụ 2.3.2. Chứng minh rằng trường là mở rộng đơn của trong đó là một căn nguyên thủy bậc ba của đơn vị.
Giải
Giả sử là một căn nguyên thủy bậc ba của đơn vị trong trường số phức Nếu thì Khai triển đẳng thức này và chú ý ta nhận được
Vậy và do đó Rõ ràng Vậy là một mở rộng đơn của với là một phần tử nguyên thủy.
Định nghĩa. Giả sử là một mở rộng của trường Một phần tử được gọi là phần tử đại số trên nếu tồn tại một đa thức bậc dương nhận là nghiệm. Trong trường hợp không là nghiệm của bất kỳ một đa thức bậc dương nào trên thì được gọi là phần tử siêu việt trên 
Định lý. Cho là một mở rộng của trường Khi đó nếu là phần tử đại số trên thì tồn tại duy nhất một đa thức bất khả quy với hệ tử cao nhất bằng 1 nhận làm nghiệm. Hơn nữa, nếu nhận làm nghiệm thì chia hết cho 
	Chứng minh	
Trước hết ta sẽ chứng minh sự tồn tại của đa thức Muốn vậy ta đặt Do là phần tử đại số trên nên khác rỗng. Khi đó tập cũng khác rỗng và do đó tồn tại một số nguyên dương bé nhất sao cho và Nếu phần tử khác không thì đa thức có cùng bậc với đa thức và nhận làm nghiệm. Vì vậy ta có thể chọn là đa thức có bậc bé nhất với hệ tử cao nhất bằng 1 nhận làm nghiệm.
Ta sẽ chứng minh bất khả quy trên Thật vậy, giả sử với và Khi đó 
Vì là trường nên hoặc và do đó hoặc thuộc Điều này dẫn đến mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của Vậy là đa thức bất khả quy trên 
Giả sử nhận làm nghiệm. Lấy chia cho đa thức ta nhận được và hoặc Vì là nghiệm của và nên cũng là nghiệm của Nếu thì và điều này không thể xảy ra. Vậy và do đó chia hết cho 
Bây giờ, ta chứng minh tính duy nhất của Nếu là đa thức bất khả quy cao nhất với hệ tử bằng 1 nhận làm nghiệm. Theo chứng minh trên, chia hết cho Do và là các đa thức bất khả quy nên tồn tại một phần tử khác không sao cho Ta có ngay và do đó Vậy là duy nhất.
Định nghĩa. Đa thức trong định lý 2.3.3 được gọi là đa thức cực tiểu của trên 
Từ tính duy nhất của đa thức cực tiểu, ta có thể dễ dàng tìm đa thức cực tiểu của phần tử đại số trên bằng cách tìm một đa thức tùy ý bất khả quy trong với hệ số bằng 1 nhận làm nghiệm. Đa thức vừa tìm được chính là đa thức cực tiểu của trên 
Ví dụ 2.3.3. Tìm đa thức cực tiểu của trên 
Giải
Đặt ta có hay Vậy là nghiệm của đa thức Chú ý rằng đa thức bất khả quy trên Vậy là đa thức cực tiểu của trên 
Ví dụ 2.3.4. Tìm đa thức cực tiểu của trên 
Giải
Đặt ta có hay Vậy là nghiệm của đa thức Chú ý rằng đa thức bất khả quy trên Vậy là đa thức cực tiểu của trên 
Ví dụ 2.3.5. Tìm đa thức cực tiểu của trên 
Giải
Nếu thì hay Bình phương hai vế ta được tương đương Do đó là một nghiệm của đa thức Ta cũng dễ dàng chứng minh được đa thức bất khả quy trên Vậy là đa thức cực tiểu của trên 
Định lý. Cho là một mở rộng của trường và là một phần tử đại số trên Giả sử là đa thức cực tiểu bậc của trên Khi đó
(i) 
(ii) là một cơ sở của không gian vectơ trên 
(iii) 
Chứng minh
(i) Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ cho bởi là một đồng cấu vành. Rõ ràng Nếu thì Ta có chia hết cho và do đó Vậy Ta nhận được một đẳng cấu 
Vì bất khả quy nên là trường, suy ra cũng là trường chứa và Vậy 
(ii) Mọi phần tử của đều có dạng với Lấy chia cho ta được với và Khi đó 
trong đó Vậy là một hệ sinh của không gian vectơ trên Ta còn phải chứng minh độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử với Khi đó là nghiệm của đa thức Do đó chia hết cho Điều này chỉ xảy ra khi là đa thức 0 và do đó với mọi Vậy độc lập tuyến tính và nó là một cơ sở của không gian vectơ trên 
(iii) Hệ quả trực tiếp của (ii)
Ví dụ 2.3.5. Tìm bậc mở rộng của trên 
Giải
Ta có là đa thức cực tiểu của trên Do đó Khi đó 
 là cơ sở của trên 
Cho và là các trường và là đẳng cấu. Khi đó là một đẳng cấu xác định bởi 
Chú ý rằng với mọi Để tránh nhầm lẫn ta luôn kí hiệu bởi 
2.3.6. Định lý. Cho và là các trường và là đẳng cấu. Giả sử và lần lượt là các mở rộng đơn của và Gọi là đa thức cực tiểu của trên và là đa thức cực tiểu của trên Khi đó tồn tại một đẳng cấu sao cho với mọi và 
Chứng minh
Với mọi được viết duy nhất dưới dạng trong đó Định nghĩa ánh xạ 
Rõ ràng với mọi và Ta chứng minh là một đẳng cấu. Với mọi 
Ta cũng có Do đó là đẳng cấu thỏa mãn với mọi và 
2.3.7. Hệ quả. Giả sử là một mở rộng của trường và là hai nghiệm của cùng một đa thức cực tiểu trên Khi đó tồn tại một đẳng cấu sao cho và với mọi 
Mở rộng đại số
Định nghĩa. Cho là một mở rộng của Ta nói rằng là mở rộng đại số của nếu mọi phần tử đều là phần tử đại số trên 
Ví dụ 2.4.1. Chứng minh rằng là một mở rộng đại số của 
Giải
Giả sử với Rõ ràng là một nghiệm của đa thức Vậy là phần tử đại số trên và do đó là một mở rộng đại số của 
Ví dụ 2.4.2. Chứng minh rằng là một mở rộng đại số của 
Giải
Giả sử với Khi đó là một nghiệm của đa thức và do đó nó là phần tử đại số trên Vậy là một mở rộng đại số của 
Định lý. Nếu là mở rộng bậc hữu hạn của thì mở rộng đại số của 
Chứng minh
Giả sử hữu hạn. Nếu và với thì là nghiệm của đa thức Với mọi khác, ta có gồm có phần tử nên nó phụ thuộc tuyến tính. Khi đó tồn tại các phần tử không đồng thời bằng không sao cho Do đó là nghiệm của đa thức Vậy là một mở rộng đại số của 
Định lý. Nếu là mở rộng bậc hữu hạn của thì mở rộng hữu hạn sinh của 
Chứng minh
Gọi là một cơ sở của trên Khi đó tất cả các tổ hợp tuyến tính của các với hệ số trong đều thuộc và do đó 
Định lý. Cho là một mở rộng của Khi đó là mở rộng bậc hữu hạn của khi và chỉ khi là mở rộng đại số của và tồn tại các phần tử sao cho 
Chứng minh
Giả sử là một mở rộng bậc hữu hạn của Gọi là một cơ sở của trên Khi đó tất cả các tổ hợp tuyến tính của các với hệ số trong đều thuộc và do đó Do mọi mở rộng bậc hữu hạn đều là mở rộng đại số nên các phần tử là các phần tử đại số trên Đảo lại, giả sử là mở rộng đại số của Xét một tháp các trường
Chú ý rằng với mọi Do đó là một mở rộng đơn của Ta có là một mở rộng bậc hữu hạn của và do đó là một mở rộng bậc hữu hạn của 
Ví dụ 2.4.3. Tìm bậc mở rộng và một cơ sở của trường trên 
Giải
Vì các phần tử là đại số trên nên là một mở rộng đại số bậc hữu hạn của Ta có thể tính bậc mở rộng của trên như sau. Xét tháp các trường Khi đó 
Ta biết rằng và là một cơ sở của trên Để xác định bậc mở rộng của trên ta cần tìm đa thức cực tiểu của trên Rõ ràng là nghiệm của đa thức Đa thức này không có nghiệm trong nên nó bất khả quy. Do đó và do đó là một cơ sở của trên Vậy và là một cơ sở của trên 
Ví dụ 2.4.4. Tìm bậc mở rộng và một cơ sở của trường trên 
	Giải	
Trường là một mở rộng đại số bậc hữu hạn của Xét tháp các trường Chú ý rằng là đa thức cực tiểu của trên nên Ta có 
và là một cơ sở của trên 
Mở rộng bậc nguyên tố 
Định nghĩa. Cho là số nguyên tố và là một mở rộng của Ta nói rằng là một mở rộng bậc nguyên tố của nếu 
Ví dụ 2.5.1. Chứng minh rằng là mở rộng bậc nguyên tố 2 của 
Giải
Ta có là một mở rộng đại số của Ta có là đa thức cực tiểu của trên Do đó Vậy là mở rộng bậc nguyên tố 2 của 
Ví dụ 2.5.2. Chứng minh rằng là mở rộng bậc nguyên tố 3 của 
Giải
Ta có là một mở rộng của Ta có là đa thức cực tiểu của trên Do đó Vậy là mở rộng bậc nguyên tố 3 của 
Ví dụ 2.5.3. Cho là số nguyên tố. Chứng minh rằng là một mở rộng bậc nguyên tố của 
Giải
Ta có là một mở rộng của Ta có là đa thức cực tiểu của trên Do đó Vậy là mở rộng bậc nguyên tố của 
Định lý. Mọi mở rộng bậc nguyên tố đều là mở rộng đại số.
Chứng minh
Giả sử là một mở rộng bậc nguyên tố của Ta có hữu hạn. Do mọi mở rộng hữu hạn đều là mở rộng đại số nên là mở rộng đại số của 
Định lý. Mọi mở rộng bậc nguyên tố đều là mở rộng đơn.
Chứng minh
Giả sử là một mở rộng bậc nguyên tố của Ta có Gọi Xét tháp các trường Ta có 
Do đó chia hết cho Do là số nguyên tố nên hoặc Nếu thì kéo theo hay Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy hay và do đó là mở rộng đơn của 
Ví dụ 2.5.4. Chứng minh rằng mọi mở rộng bậc nguyên tố 2 trên đều có dạng trong đó là số nguyên không chứa nhân tử là số chính phương.
Giải
Giả sử là mở rộng bậc nguyên tố 2 của Khi đó Ta có là mở rộng đơn của nghĩa là tồn tại sao cho Gọi là đa thức cực tiểu của trên Ta có Giả sử Ta có Do đó có dạng với Ta có Giả sử với Ta có 
Ta viết dưới dạng với là số nguyên không chứa nhân tử chính phương. Do đó Đảo lại, mọi mở rộng trong đó là số nguyên không chứa nhân tử chính phương, đều là mở rộng bậc nguyên tố 2 của Thật vậy, ta có là đa thức cực tiểu của trên Do đó 
2.6. Trường phân rã
2.6.1. Định nghĩa. Cho là mở rộng của và Trường được gọi là trường phân rã hay trường nghiệm của trên nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
	(i) chẽ ra trên nghĩa là với 
	(ii) với là các nghiệm của 
Ví dụ 2.6.1. Tìm trường phân rã của đa thức 
Giải
Ta có và Do đó là trường phân rã của trên 
Ví dụ 2.6.2. Tìm trường phân rã của đa thức 
Giải
Ta có và 
Vậy là trường phân rã của đa thức trên 
2.6.2. Định lý. Cho là trường và Khi đó tồn tại một trường phân rã của đa thức trên 
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh quy nạp theo Nếu thì rõ ràng chính là trường phân rã của trên Nếu không chẽ ra trên thì có một nhân tử bất khả quy Khi đó tồn tại mở rộng là mở rộng của sao cho là một nghiệm của Trong ta có với Theo giả thiết quy nạp, chẽ ra và là trường phân rã của trên với là các nghiệm của Chú ý rằng cũng là các nghiệm của Ta có là trường phân rã của đa thức trên 
2.6.3. Định lý. Cho và là các trường. Giả sử là đẳng cấu. Nếu là trường phân rã của đa thức trên và là trường phân rã của đa thức trên thì tồn tại một đẳng cấu sao cho với mọi 
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh quy nạp theo Dễ thấy định lý đúng với Giả sử định lý đúng cho tất cả các đa thức bậc Gọi là một nhân tử bất khả quy với hệ tử cao nhất bằng 1 của Khi đó cũng là một nhân tử bất khả quy với hệ tử cao nhất bằng 1 của Chú ý rằng chứa tất cả các nghiệm của đa thức và tương tự chứa tất cả các nghiệm của Giả sử là một nghiệm của và là một nghiệm của Khi đó tồn tại một đẳng cấu sao cho và với mọi . Ta có thể viết dưới dạng với Khi đó 
Vì là một trường phân rã của đa thức trên nên và Ta có và do đó là một trường phân rã của đa thức trên Tương tự là một trường phân rã của đa thức trên Do nên từ đẳng cấu được mở rộng thành đẳng cấu bởi giả thiết quy nạp. Vậy phép quy nạp được hoàn thành và do đó định lý đã được chứng minh.
Chương 3. NHÓM GALOIS CỦA MỞ RỘNG BẬC NGUYÊN TỐ
3.1. Nhóm Galois
3.1.1. Định nghĩa. Cho là một mở rộng của Một tự đẳng cấu của được gọi là tự đẳng cấu của nếu với mọi 
3.1.2. Định lý. Cho là một mở rộng của Khi đó tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của lập thành một nhóm đối với phép nhân các ánh xạ.
Chứng minh
Giả sử và là các tự đẳng cấu của Rõ ràng là một tự đẳng cấu của Hơn nữa, với mọi ta có Vậy là một tự đẳng cấu của Đương nhiên ánh xạ đơn vị cũng là một tự đẳng cấu của Ta có cũng là một tự đẳng cấu của Hơn nữa, với mọi ta có Vậy là một tự đẳng cấu của Do đó tập các tự đẳng cấu của lập thành nhóm đối với phép nhân các ánh xạ
3.1.3. Định nghĩa. Cho là một mở rộng của Nhóm các tự đẳng cấu của được gọi là nhóm Galois của trên và kí hiệu là 
Ví dụ 3.1.1. Xác định nhóm Galois của mở rộng trên 
	Giải	
Nếu là một tự đẳng cấu của thì 
 hoặc 
Do đó, với mọi Ta có 
Vậy hoặc Ta có hai tự đẳng cấu của là cho bởi và cho bởi Thật vậy, rõ ràng là ánh xạ đồng nhất nên nó là tự đẳng cấu của Bây giờ, ta chứng minh là một tự đẳng cấu của như sau
Vậy là một tự đẳng cấu của Mặt khác với mọi Do đó là một tự đẳng cấu của Rõ ràng nên là một nhóm cyclic cấp 2.
Ví dụ 3.1.2. Xác định nhóm Galois của mở rộng trên 
Giải
Nếu là một tự đẳng cấu của thì 
Do đó, với mọi Ta có 
Vậy hoặc Do đó là một nhóm cyclic cấp 2, trong đó 
Ví dụ 3.1.3. Xác định nhóm Galois của mở rộng trên 
Giải
Xét mở rộng của Nếu là một tự đẳng cấu của thì 
Do đó là ánh xạ đồng nhất. Vậy chỉ có một phần tử là ánh xạ đồng nhất 
3.1.4. Định lý. Cho là một mở rộng của và Khi đó nếu là một nghiệm của và thì cũng là một nghiệm của 
Chứng minh
Giả sử Nếu là một nghiệm của thì Vì là một đồng cấu và với mọi nên
Vậy cũng là một nghiệm của 
3.1.5. Định lý. Cho là một mở rộng đại số của và Khi đó với sao cho thì Hay nói cách khác, với mỗi hoàn toàn được xác định bởi tác động của nó lên phần tử 
Chứng minh
Với mọi ta có được biểu diễn duy nhất có dạng trong đó 
Ta có
Vậy 	
Ví dụ 3.1.4. Xác định nhóm Galois của mở rộng trên 
Giải
Nếu thì hoàn toàn xác định bởi tác động của nó lên Vì là nghiệm của nên của là nghiệm của và do đó Nếu thì Vậy Nếu thì Vậy là nhóm cyclic cấp 2.
Ví dụ 3.1.5. Xác định nhóm Galois của trên 
Giải
Nếu thì hoàn toàn xác định bởi tác động của nó lên Rõ ràng là nghiệm thực duy nhất của nên Với mọi ta có với Vậy và do đó 
3.1.6 Định lý. Cho là một mở rộng đại số của Khi đó nếu sao cho với mọi thì Hay nói cách khác, mỗi hoàn toàn được xác định bởi tác động của nó lên các phần tử 
Chứng minh
Theo định lý 3.1.5, ta có với mọi .Chứng minh tương tự như định lý 3.1.5 bằng cách thay bởi và bởi ta cũng có với mọi Tiếp tục lập luận như vậy và sau hữu hạn bước ta sẽ có với mọi Do đó 
Ví dụ 3.1.6. Tìm nhóm Galois của mở rộng trên 
Giải
Đặt là một mở rộng của Với mỗi Vì là một nghiệm cuả đa thức nên cũng là nghiệm của đa thức này và do đó Tương tự ta cũng có Ta có hoàn toàn được xác định bởi tác động của nó trên và Do đó có nhiều nhất bốn phần tử ương ứng với bốn tác động trên và 
Ta sẽ chứng minh là một nhóm cấp bốn bằng cách thiết lập các tự đẳng cấu tương ứng với các tác động đó. Chẳng hạn, ta có thể thiết lập như sau : đa thức là đa thức cực tiểu của và trên Khi đó tồn tại một đẳng cấu sao cho và với mọi Chú ý rằng là đa thức cực tiểu của trên Khi đó được mở rộng thành đẳng cấu sao cho 
 và 
với mọi Như vậy, ta đã thiết lập được sao cho Tương tự, ta cũng thiết lập được các tự đẳng cấu tương ứng với những tác động như trên. Hơn nữa các phần tử đều có cấp 2. Chẳng hạn 
 Dễ dàng kiểm tra được và Do đó Vì mọi phần tử khác đơn vị của nhóm đều có cấp 2 nên là một nhóm Abel cấp 4.
3.2. Nhóm Galois của các mở rộng bậc nguyên tố
 3.2.1. Định nghĩa. Cho là mở rộng nguyên tố của Nhóm Galois của mở rộng trên được gọi là nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố của trên 
3.2.2. Định lý. Cho là mở rộng nguyên tố của Khi đó và nhóm Galois trong đó với là các nghiệm phân biệt của đa thức cực tiểu của trên 
Chứng minh
Cho là số nguyên tố và là một mở rộng bậc nguyên tố của Ta biết rằng là một mở rộng bậc hữu hạn của Hơn nữa là một mở rộng đơn của nghĩa là tồn tại sao cho Theo định lý 3.1.5, mỗi hoàn toàn được xác định bởi tác động của nó lên Gọi là đa thức cực tiểu của trên và là các nghiệm phân biệt của Khi đó tồn tại duy nhất đẳng cấu sao cho với mọi Vì nên nhưng suy ra Vậy và do đó 
Đảo lại, nếu thì cũng là nghiệm của Do nên với nào đó thuộc Do đó Vậy Chú ý rằng 
Ví dụ 3.2.1. Xác định nhóm Galois của mở rộng trên 
Giải
Ta có là nghiệm của đa thức Chú ý rằng bất khả quy trên Do đó là đa thức cực tiểu của trên có các nghiệm là trong đó là một căn nguyên thủy bậc của đơn vị trong trường số phức 
Nếu thì ta có là nghiệm thực duy nhất thuộc Do đó Nếu thì trong đó 
Ví dụ 3.2.2. Xác định nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố 2 trên 
Giải
Giả sử là mở rộng bậc nguyên tố 2 của Khi đó trong đó là số nguyên không chứa nhân tử là số chính phương. Ta có là đa thức cực tiểu của trên Nếu thì hoàn toàn xác định bởi tác động của nó lên Ta có và là hai nghiệm phân biệt của Do đó trong đó 
3.3. Trường điểm bất động của nhóm Galois
 3.3.1. Định nghĩa. Cho là một mở rộng của Một trường được gọi là một trường trung gian của mở rộng trên nếu 
 3.3.2. Định lý. Cho là một trường trung gian của mở rộng trên Khi đó là một nhóm con của 
Chứng minh
Nhóm là một nhóm các tự đẳng cấu của Nếu thì là một tự đẳng cấu của và với mọi Với mọi ta có do Vậy là một tự đẳng cấu của hay Do đó là một nhóm con của nhóm 
Chú ý. 
3.3.3. Định lý. Cho là một mở rộng của và là nhóm con của nhóm Khi đó là một trường trung gian của mở rộng trên nghĩa là 
Chứng minh
Với mọi và Ta có Do đó Vậy và do đó Ta sẽ chứng minh là trường con của Với mọi và Ta có
nếu khả nghịch. Do đó Vậy là trường con của và do đó là trường trung gian của mở rộng trên 
3.3.4. Định nghĩa. Cho là một mở rộng của và là một nhóm con của Trường trung gian được gọi là trường điểm bất động của nhóm con 
	Chú ý. Nếu thì 
Ví dụ 3.3.1. Tìm trường điểm bất động của các nhóm con của nhóm 
Giải
Đặt của Nhóm Galois trong đó
Giả sử là nhóm con của Với mọi đều viết dưới dạng Ta có 
Nếu thì và do đó Vậy Rõ ràng và do đó là trường điểm bất động của nhóm con Chứng minh tương tự, ta cũng có và lần lượt là trường điểm bất động của nhóm con và Đặt biệt là trường điểm bất động của nhóm con đơn vị 
Ví dụ 3.3.2. Tìm trường điểm bất động của nhóm 
Giải
Nhóm Galois trong đó Rõ ràng trường điểm bất động của nhóm con đơn vị là Nếu thì Khi đó nếu và chỉ nếu Vậy là trường điểm bất động của 
Ví dụ 3.3.3. Tìm trường điểm bất động của nhóm 
Giải
Nhóm Galois của mở rộng trên là Do đó trường điểm bất động của nhóm là 
3.4. Mở rộng chuẩn tắc
3.4.1 Định nghĩa. Cho là một mở rộng đại số của Ta nói rằng là một mở rộng chuẩn tắc của nếu mọi đa thức bất