Đề tài Một số phương pháp giải toán cực trị

MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề:
Trong thực tế chúng ta thường gặp những bài toán là đi tìm cái "nhất" trong những ràng buộc nào đó (nhiều nhất, ít nhất, nhanh nhất, chậm nhất, ngắn nhất, tốt nhất, rẻ nhất, đẹp nhất...).
Vì vậy, các bài toán tìn giá trị lớn nhất (cực đại) và giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) của một đại lượng gọi chung là bài toán tìm cực trị thường xuyên có mặt trong các kì thi tốt nghiệp THCS, thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học cũng như các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm, các bài toán này rất phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách hợp lí, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. ở bậc THCS ( chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã được làm quen với loại toán này với dạng chuyên đề. Tuy nhiên khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì thấy nó cũng không dễ dàng với học sinh .
Căn cứ vào những lí do trên, đề tài được chọn là: "Một số phương pháp giải toán cực trị ". Do nhiều điều kiện cũng như kinh nghiệm còn hạn chế, hơn nữa, đây là vấn đề tương đối rộng nên không thể tránh khỏi sai sót. Rất mong sự chí bảo quí báu của các thầy cô và sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc !
KIẾN THỨC CƠ BẢN
I - Định nghĩa:
1- Định nghĩa 1:
Cho biểu thức f(x,y,...)xác định trên miền D, ta nói m là giá trị lớn nhất của f(x,y,...) trên D nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:
Với mọi x,y,...thuộc D thì f (x,y,...) £ m với m là hằng số.
Tồn tại xo, yo...thuộc D sao cho f (x,y,...) = m
2- Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f(x,y,...) xác định trên miền D, ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,...) trên D nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:
Với mọi x ,y,...thuộc D thì f(x,y,...) ³ m với m là hằng số
Tồn tại xo, yo,..thuộc D sao cho f(x,y,...) = m.
Chú ý: Để tránh sai lầm thường mắc phải khi làm loại toán này , ta cần nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa, rèn những phản xạ sau:
	+ Chứng tỏ f(x,y,...) £ m (hoặc f (x,y,...) ³ m )với mọi x,y,...thuộc D.
	+ Chỉ ra sự tồn tại xo ,yo ,...thuộc D để f(x,y,...) đạt cực trị.
Chú ý: Đến miền giá trị của biển.
	Ta kí hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của A, MinA là giá trị nhỏ nhất của A.
II - Một số tính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàn số:
1: Tính chất 1: Gỉa sử A Ì B khi đó ta có :
	a) Max f(x) £ max f(x)A
	 x Î A x Î B
	b) Min f(x) ³ min f(x)
	 xÎ A xÎ B
2: Tính chất 2 :"Nguyên lý phân rã "
	 Giá sử D = D1È D2 ,khi đó ta có công thức sau:
	a) Max f(x) =Max í Max f(x) , Max f(x) ý
	 xÎD x ÎD1 xÎD2
	b) Min f(x) =Min í Min f(x) ,Min f(x) ý
	 xÎD xÎD1 xÎD2
Chú ý : Từ tính chất trên cho phép chuyển việc tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một hàm số trên tập hợp D phức tạp về các giá trị tương ứng các tập D1,D2 đơn giản hơn .Chính vì vậy tính chất này được gọi là "Nguyên lý phân rã".
3: Tính chất 3: Nếu f(x,y) ³ 0 với mọi x thuộc D, ta có :
	a) Max f(x) = Max f(x) = 
	 xÎ D xÎ D xÎ D xÎ D 
4: Tnh chất 4:
	a) Max (f(x) +g(x) ) £ Maxf(x) + Max g(x) (1)
	 xÎ D xÎ D1 xÎD2
	b)Min (f(x) + g(x) ) £ Min f(x) + Min g(x) (2)
	 xÎ D xÎ D1 xÎD2
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi có ít nhất một điểm x0 mà ta lại có f(x) và g(x) cũng đạt giá trị lớn nhất.Tương tự nếu tồn tại x0 thuộc D mà tại đó f, g cũng đạt giá trị nhỏ nhất thì (2) cũng có dấu bằng
5: Tính chất 5:
	 Max f(x) = - £ Min (f(x))
 xÎ D xÎ D
Khi dạy phần này, giáo viên nên hướng dẫn học sinh chứng minh các tính chất ( dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức và tránh được sai lầm khi vận dụng giải bài tập.
Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ cũng phải tìm TXĐ. Cùng một hàm số f(x) nhưng xét trên hai TXĐ khác nhau thì nói chung giá trị lớn nhất tương ứng khác nhau. Để cho phù hợp với chương trình các lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại gái trị cực trị trên một tập hợp nào đó.
II. Vận dụng BĐT Cô-Si:
Với hai số không âm : thì dấu “=” xảy ra a = b.
Với n số không âm: dấu “=” xảy ra
IV - Những sai lầm thường gặp khi gải toán cực trị.
1 - Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 	
Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
	Ta có:	4x2 - 4x + 5 = ( 2x - 1)2 + 4 ³ 4 ,"x
Phân tích sai lầm : Tuy đáp số không sai nhưng khi khẳng định "A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu số giá trị nhỏ nhất" mà chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương.
	Ta đưa ra một ví dụ:	Xét biểu thức:
	Với lập luận " phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất", do mẫu nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 0, ta sẽ đi đến 	 không phải là giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x = 3 thì 
Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh sai phân số có tử số, và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4x2 - 4x + 5 = ( 2x - 1)2 + 4 ³ 4 nên tử và mẫu của A là các số dương. Hoặc từ nhận xét trên suy ra A > 0, do đó A lớn nhất khi và chỉ khi mẫu số nhỏ nhất 
 Û 4x2 - 4x + 5 nhỏ nhất. Vậy giá trị lớn nhất của A là khi 
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biết x + y = 4
Lời giải sai:	Theo BĐT Cô-Si ta có: A = x2 + y2 ³ 2xy
Do đó A nhỏ nhất Û x2 + y2 = 2xy Û x = y = 2
Khi đó Min A = 22 + 22 = 8
Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng minh được f(x,y) ³ g(x,y) chữ chưa chứng minh được f(x,y) ³ m với m là hằng số.
	Ta đưa ra một ví dụ với lập luận như trên từ bất đẳng thức đúng x2 ³ 4x - 4 sẽ suy ra x2 nhỏ nhất Û x2 = 4x - 4 Û (x - 2)2 = 0 Û x = 2
Dẫn đến x2 = 4 Û x = 2
Dễ thấy kết quả đúng phải là: min x2 = 0 Û x = 0
Cách giải đúng: Ta có x + y = 4 x2 + 2xy + y2 = 16	(1)
Ta lại có ( x - y)2 ³ 0 Þ x2 - 2xy + y2 ³ 0	(2)
Từ (1) và (2): 	2(x2 + y2) ³ 16 Þ x2 + y2 ³ 8 
Vậy min A = 8 Û x = y = 2
2 - Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời giả sai: 
 vậy min A = 
Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh f(x)³ chưa chỉ ra trường hợp dấu đẳng thức f(x) ³ xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi (Vô lý)
 Giái đúng: 	Để tồn tại phải có x0
	Do đó A = x + ³ 0 
	min A= 0 Û x = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của
	A = xyz( x + y)( y + x)( z + x)
	Với x,y,z ³ 0 và x + y + z = 1
Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab £ ( a + b)2
	4( x + y)z £ ( x + y + z)2 = 1
	4( y + z)x £ ( y + z + x)2 = 1
	4( z + x)y £ ( z + x + y)2 = 1
Nhân từng vế ( do hai vế đều không âm):
	64xyz( x + y)( y + x)( z + x) £ 1
Max A = 
 Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chổ chưa chỉ ra được trường hợp xẩy ra dấu đẳng thức. 
Điều kiện để A = là 	 
	 mâu thuẫn
	Cách gải đúng: áp dụng bất đẳng thức côsin cho 3 số không âm
	1 = x + y + z ³ 3 . (1)
	2 = ( x + y) + ( y + x) + ( z + x) ³ 3 . 	(2)
	Nhân từng vế (1) với (2)( do hai vế đều không âm):
 Þ 
vậy MaxA=Dấu “=” xảy ra Û x = y = z = 
 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
A - Phương pháp tam thức bậc hai:
1- Nội dung:	
 Sử dụng trức tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai về dạng bình phương một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do.
2 - Các ví dụ: Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai.
Tìm gia strị nhỏ nhất của A =x2 - 8x + 1
Tìm giảtị nhỏ nhất của B = 2x2 - 4x + 1
Tìm cực trị nếu có của C = - 3x2 - 4x + 1
Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Hướng dẫn giải: Nhận xét các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hại.
	1. A = x2	9x + 1 = ( x - 4)2 - 15 ³ - 15	Þ min A = - 15 Û x = 4
	2. B = 2x2 - 4x + 1 = 2( x -1)2 - 1 ³ -1	Þ min B = - 1 Û x= 1
b
a
b
a
2
3
7
3
7 7
3 3
£
2
32
	3. C = - 3x2 - 4x + 1 = -3 ( x - )2 + 	Þ c =	Û x = 
b2 - 4ac
 4a
b
2a
	4. P = ax2 + bx + c = a( x2 + x + ) =a( x - )2 - 
b
2a
b
2a
b2 - 4ac
 4a
	+ Nếu a > 0: min P = -	 Û x =
b2 - 4ac
 4a
	+ Nếu a < 0: max P = - 	Û x = 
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = ( x2 + x + 1)2
Hướng hdẫn giải: Min A Û Min (x2 + x + 1)
	Bài toán trên là dạng đặc biệt của một bài toán sau: B = [f(x)]2	(k ÎN)
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x( x - 3)(x - 4)(x - 7)
Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp đổi biến.
 3
4x2 - 4x + 5
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng số, có mẫu là tam thức bậc hai.
Ví dụ: 	Tìm giá trị lớn nhất của M = 
	Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức.
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình phương nhị thức:
x2 + x + 1
 ( x + 1)2
Ví dụ: Tìm giả trị nhỏ nhất của P = 
 1
(x + 1)2
 1
x + 1
Hướng dẫn giải: P = 1 - 	 +
3
4
3
4
1
2
 1
x + 1
Đặt y = 	 , có P = y2 + y - 1 - ( y - )2 + 	 ³ 
1
2
3
4
Min P = 	Û y = 	Û x = 1
Cách 2: Viết N dưới dạng tổng của một số với mọi biểu thức không âm.
3
4
 x - 1
2(x - 1)
4x2 + 4x + 4
 4(x + 1)2
	P = 	= 	 + 	 2 ³ 
3
4
	Min P =	 Û x = 1
Dạng 5: Tìm giá trị nỏ nhất, lớn nhất của một biếu thức biết quan hệ giữa các biến.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức:	A = 3xy - x2 - y2
	Biết x, y là nghiệm của phương trình: 5x + 2y = 10 
1
4
10 - 5
 2
	Ta có 5x + 2y = 10 Û y = 	Þ A = 	(- 59x2 + 160x - 100)
59
4
160
 59
	 =	 - x2 - 	 - 25
 59 80 2 6400
 = - 	- x - + 	- 25
 4 59 3481
 59 80 2 1600
 = -	 x - + 	- 25
 4 59 59
Û 	 125 59 80 2 125
 A = - x - £ 
 59 4 59 59
 80
x = 
 59
125 
 59
 95
y = 
 59
Vậy Max A = 	 Û
một số bài tập tự giải
	1 - Tìm giá trị nhỏ nhất	(lớn nhất) của biểu thức sau:
	a) A = 4x2 - 20x + 35	b) B = - 2x2 + 3x + 1
	2 - Tìm giá trị nhỏ nhất của biuể thức sau:
	a) A = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)	b) B = x2 - 2x + y2 + 4y + 5
	3 - Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
	P = 2x2 + 5y2	với	4x - 3y = 7
	Q = a3 + b3 + ab	với 	a + b = 1
* Tiểu kết: Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp tam thức bậc hai là cơ bản nhất, hiúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kĩ năng giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai.
2 - Phương pháp miền giá trị của hàm số:
Nội dung phương pháp:
Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) với x Î D.
	Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ phương trình ẩn (x) sau có nghiệm:
	f(x) = y0	(1)
	x Î D	(2)
	Tuỳ dạng của hệ (1),(2) mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp. Trong nhiều trường hợp, điều kiện ấy sẽ đưa về dạng a £ y0 £ 3	(3)
	Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta tìm được Min f(x) = 3 và Max f(x) = b trong đó x Î D.
	Như vậy thực chất của phương pháp này là đưa về phương trình bậc hai và sử dụng dạng điều kiện D ³ 0
Các ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
 x2 - x + 1
 x2 + x + 1
A = 
 x2 - x + 1
 x2 + x + 1
 x2 - x + 1
 x2 + x + 1
Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:	 a = 	(1)
Do x2 + x + 1 ¹ 0 nên (1) Û ax2 + ax + a = x2 - x + 1
Û (a - 1)x2 + (a + 1)x + (a - 1) = 0 	(2)
TH1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
TH2: Nếu a ¹ 1 thì để (2) có nghiệm, cần và đủ là D ³ 0, tức là:
(a + 1)2 - 4(a - 1)2 ³ 0
Û (a + 1 + 2a - 2)(a + 1 - 2a + 2) ³ 0
Û (3a - 1)(a -3) £ 0
1
3
Û	 £ a £ 3 	(a ¹ 1)
1
3
Với a =	 hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là:
 a + 1
2(a - 1)
-(a + 1)
2(a - 1)
	x = 	=
1
3
 Với a =	 thì x = 1, với a = 3 thì x = -1
Gộp cả hai trường hợp (1) và (2) ta có:
1
3
Min A =	 Û x = 1 Max A = 3 Û x = -1
Bài tập tự giải: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
 x2 + 3x + 1
 x2 + 1
 x2 + x + 1
 x2 + 1
a)	y= 	b) 
* Tiểu kết: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu thức có thể đưa về hàm số bằng phương pháp miền giá trị thường được đưa về phương trình và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. phương pháp này có ưu điểm là tìm cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, thông qua việc này giúp cho học sinh rèn kĩ năng giải phương trình.
3 - Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc:
Nội dung phương pháp:
Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
f(x) £ M, "x Î D
$ x0 Î D: f(x0) = M
	M = Max f(x) Û 
f(x) ³ m, "x Î D
$ x0 Î D: f(x0) = M
	m = Min f(x) Û
Như vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên miền D nào đó, ta tiến hành theo hai bước:
+ Chứng minh một bất đẳng thức.
+ Tìm x0 Î D sao cho ứng với gía trị ấy, bất đẳng thức tìm được trở thành đẳngt thức.
Nếu sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như côsi, trêbưsop, Bunhia côpski thì các điểm như vậy thường được tìm thấy nhờ phần 2 trong cách pháp hiện ra dấu đẳng thức ấy, cần có một nhận xét thích hợp.
Các bất đẳng thức thường dùng:
a2 ³ 0 tổng quát a2k ³ 0, k nguyên dương.
xẩy ra dấu đẳng thức Û a = 0.
 - a2 ³ 0 tổng quát a2k ³ 0, k nguyên dương.
xẩy ra dấu đẳng thức Û a = 0.
3 . ½a ½³ 0 xẩy ra dấu đẳng thức Û a = 0
4. - ½a½ £ a £ ½a½ xẩy ra dấu đẳng thức Û a = 0
5. ½a + b½£ ½a½+½b½ xẩy ra dấu đẳng thức Û ab ³ 0 (a, b cùng dấu).
½a -b½£ ½a½-½b½ xẩy ra dấu đẳng thức Û ab ³ 0 (a, b cùng dấu).
½a + b + c½ £½a½+½b½+½c½.
xẩy ra dấu đẳng thức Û ab ³ 0; bc ³ 0; ac³ 0
1
b
6. a ³ b ; ab ³ 0 Þ a £	Xảy ra dấu đắng thức Û a = b
a
b
b
a
7. 	+ ³ 2 với a, b cùng dấu 
Xảy ra dấu đẳng thức Û a = b
8. Bất đẳng thức Côsi:
a - b 
 2
 ³ Ö ab ( hoặc a2 + b2 ³ 2ab)
 Xảy ra dấu đẳng thức Û a = b
 + Đối với " a ³ 0; i = 1 , ..., n
a1 + a2 + an
 n
 ³ nÖa1, a2,...an
 9.Bất đẳng thức Bunhia côxki:
Nếu (a1, a2,...an) và ( b1, b2 ... bn) là những số tuỳ ý , ta có :
aj
bj
a1
b1
Dấu bằng xảy ra Û =	( Với quy ước rằng nếu a1 = 0 thì b1 = 0)
a1 ³ a2 ³... ³ an
b1³ b2 ³ ...³ bn
 10. Bất đẳng thức Trêbusep
Nếu thì
n( a1b1 + a2b2 ....+ anbn)£ ( a1 + a2 +...+an) .( b1 + b2 + ...+ bn) 
Dấu bằng xảy ra Û ai = ajhoặc bi = bj; ai, bj tuỳ ý.
c)các ví dụ:
Ví dụ 1: cho biểu thức xy + yz + zx = 1 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x4 +y4 + z4
Giải:
 áp dụng bất đẳng thức Bunha côpxki đối với ( x, y, z) và ( y ,z, x)
 1= ( xy + yz + zx )2 £( x2 + y2 + z2 ) ( y2 + z2 + x2) 
 Þ 1£ ( x2 + y2 + z2 )2 	 (1)
Mặt khác , đối với ( 1,1 1) và ( x2 , y2 , z2 ), ta có :
1. (1. x2 +1. y2 + 1. z2 ) £ ( 12 + 12 + 12 ).( y4 + z4 + x4) (2)
y
x
1
3
1
3
1
1
3
1
3
Từ (1) và (2) suy ra : 1£ 3 (y4 + z4 + x4) = 3P Þ P ³ 
z
x
x
y
1
3
Vậy Min P = Û = =
1
z 2 2
y
1
x2
y
1
2
y
1
y2
1
2
 = = = Þ x = y = z
 Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của :
Öy - 1
 y
a, A = Ö x-1 + Ö y - 2 biết x + y = 4
Öx - 1
 x
Öx - 
Öx - 
b. B = +
Giải:
a . Điều kiện x³ 1 ; y³ 2 
a+ b
 2
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng ³ Öab
ở đây lại muốn tăng một tổng . Ta dùng bất đẳng thức 
a + b £ Ö2( a2 + b2)
A = Öx-1 + Öy - 2 £ Ö2( x-1 + y -2) = Ö2
x= 1,5
y = 2, 5
x- 1 = y-2
x + y =4
 Max A = Ö2 Û Û
Cách khác : Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Côsi
b . Điều kiện : x³ 1 ; y ³ 2
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng