Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán Lớp 9 - Năm học 2009-2020 - Ngô Đức Đồng

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II TOÁN 9
NĂM HỌC: 2009 – 2010
GVBM: Ngô Đức Đồng
A. LÝ THUYẾT
I./ ĐẠI SỐ:
Câu 1. Nêu định nghĩa và các tính chất của hàm số bậc nhất?
Câu 2. Cho hai đường thẳng (d) và (d’) có phương trình tương ứng là:
y = ax + b và y = a’x + b’
Khi nào thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau? Song song nhau? Trùng nhau?
Câu 3. Nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?
Câu 4. Nêu dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số.
Câu 5. Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?
Câu 6. Phát biểu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương. Áp dụng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số bằng phương pháp cộng, phương pháp thế?
Câu 7. Nêu tính chất của hàm số ?
Câu 8. Nêu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn và viết công thức tính các nghiệm của phương trình bậc hai đó?
Áp dụng: tìm nghiệm của phương trình:
a./ x2 - 5x + 3 = 0
 b./ .
Câu 9. Phát biểu và viết công thức của hệ thức viét?
Áp dụng : .Tính x1+ x2 và x1 x2
Câu 10. Cho phương trình : có hai nghiệm x1 và x2 .Chứng minh : 
Câu 11. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm có tổng là S và có tích là P (không cần chứng minh ) 
Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:và 
Câu 12. Viết dạng tổng quát của phương trình bậc hai .
 Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của phương trình 
II./ HÌNH HỌC:
Câu 1. Chứng minh định lí: “Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì:
sđ 
trong trường hợp điểm C nằm trên cung nhỏ AB.
Câu 2. Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: 
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.”
Câu 3. Nêu định nghĩa về góc nội tiếp của một đường tròn.
Chứng minh định lí: “trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn”
Câu 4. Chứng minh định lí: “Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn” (Chỉ chứng minh trong trường hợp tâm của đường tròn nằm bên ngoài góc)
Câu 5. Chứng minh định lí: “Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy”
Câu 6. Chứng minh định lí: “Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu của số đo hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy”
Câu 7. a) Chứng minh định lí: Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng hai góc vuông”
 b) Nêu định lí đảo của định lí trên (không yêu cầu chứng minh)
Câu 8. Nêu công thức tính độ dài đường tròn, cung tròn, diện tích hình tròn, hình quạt tròn?
Câu 9. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn (O). Chứng minh: 
 AB + CD = AD + BC.
Câu 10. Nêu cách tính độ dài cung của hình quạt tròn bán kính R. Áp dụng: Cho đường tròn ( O; R = 3 cm). Tính độ dài cung AB có số đo bằng 60?
Câu 11. Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong một đường tròn để giải bài toán sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bán kính OM, ON sao cho:. So sánh: AM, MN và NB ?
B. BÀI TẬP
I. ĐẠI SỐ:
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a) 	 b) 	
 c) 	 d) 
 e) f) 
 g) h) 
 i) k) 
 m) n) 
 p) q) 
Bài 2. Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình 
Có nghiệm là 
Bài 3. Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình 
nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm.
Bài 4. Cho hệ phương trình: 
 Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 5. Tìm giá trị của a để hệ phương trình
 a/ Có một nghiệm duy nhất
 b/ Vô nghiệm.
Bài 6. Cho hệ phương trình 
 Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm.
Bài 7. Xác định hàm số biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm 
 a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4)
 b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)
Bài 8. Xác định đường thẳng biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm
 A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng và 
Bài 9. Cho hàm số y = -x2 có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d)
 a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hoành độ bằng 1.
 b/ Trong trường hợp m = -3 .Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm của chúng .
 c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P) 
Bài 10. Giải các phương trình bậc hai sau: 
a) 	 ; b) 	
c) ; d) 3x2 + 75 = 0
e) x2 – 384 = 0 ; f) x(x – 15 ) = 3( 27 – 5 )
g) x(2x – 7 ) – 12 = - 4( 3 – x ) ; h) ( 3x – 2 )2 – 2( x – 1 )2 = 2
Bài 11. Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn )
Bài 12. Giải phương trình bậc hai bằng cách nhẩm nhanh nhất:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	g) 
Bài 13. Định m để phương trình :
Bài 14. Cho phương trình :x2 + (m+1)x + m = 0 (1)
 a./ Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m .
 b./ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm . Tính nghiệm còn lại .
 c./ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau 
 d./ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau 
 f./ Tìm m sao cho x1 - x2 = 2
 g./ Tìm m để đạt gía trị lớn nhất 
 h./ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương 
 i./ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m.
 k./ Tính 
Bài 15. Giải phương trình :
Bài 16. Tìm các giá trị của k để phương trình 
a) Có hai nghiệm phân biệt	
b) Có nghiệm kép.	
c) Vô nghiệm.
Bài 17. Cho phương trình bậc hai: (1) 
a) Giải và biện luận (về số nghiệm) của phương trình (1)
b) Tìm m để (1) có hai nghiệm cùng dấu.
Bài 18. Cho phương trình (2) 
a) Tìm m để (2) có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để (2) có 1 nghiệm duy nhất
c) Giải (2) với m = 3
Bài 19. Cho phương trình bậc hai: 
a) Không dùng công thức nghiệm chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) không giải phương trình hãy tính: ; ; 
Bài 20. Cho phương trình bậc hai: (2) 
a) Tìm điều kiện của m để phương trình (2) có nghiệm..
b) Tìm m sao cho x1, x2 thỏa mãn: 
x1, x2 đối nhau; ; ; 
Bài 21. Cho phương trình (3) 
a) Chứng minh rằng (3) có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
b) Gọi hai nghiệm của (3) là x1, x2. Tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 22. Giải các phương trình sau: 
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 23. Cho phương trình bậc hai đối với x: (1) 
a) Tìm các giá trị của m để (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng (-2)
Bài 24. Cho phương trình bậc hai: (2) 
a) Tìm giá trị của m để phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm giá trị của m để (2) có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 4. 
Bài 25. Cho phương trình bậc hai: (3) 
a) Chứng minh rằng (3) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ≠ -1
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
c) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai nghiệm đó có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 26. Cho phương trình bậc hai: (4) 
a) Giải (4) khi cho biết m = 1
b) Chứng minh rằng (4) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
c) Gọi x1, x2 là hia nghiệm của (4) đã cho. Chứng minh rằng đa thức: 
A = không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 
và đường thẳng (d) y = x + 2 
a) Vẽ đồ thị (P) và đồ thị (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm A và B của (P) và (d) bằng đồ thị và phép tính.
Bài 28. a) Xác định hệ số a của hàm số y = ax2, biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm (-2; 2) 
b) Tìm giao điểm của (P) có phương trình và đường thẳng (d) có phương trình bằng phép tính.
c) Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.
II. HÌNH HỌC:
Bài 1. Trên dây AB của một đường tròn tâm O, ta lấy một điểm bất kỳ C ở giữa A và B. Vẽ đường tròn qua A, C, O. Gọi D là giao điểm thứ hai của hai đường tròn.
a) Chứng minh góc: 
b) Chứng minh: CB = CD
Bài 2. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ các tiếp tuyến AB, AC và các tuyến AMN với đường tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN.
a) Chứng minh: năm điểm A, B, I, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh: Tia AI là tia phân giác của 
c) Cho góc BAO = 300. Tính diện tích tứ giác ABOC theo R.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A và AC > AB. Kẻ đường cao AH và lấy trên đoạn HC một điểm D sao cho HD = HB. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AD (kéo dài) tại điểm E.
a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác AHE cân.
c) Chứng minh: CB là tia phân giác của 
Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C, D là hai điểm nằm trên nửa đường tròn ấy và C, D khác với A, B (D nằm giữa C và B), AC cắt BD ở E, AD cắt BC ở F. 
a) Chứng minh tứ giác ECFD nội tiếp trong một đường tròn, xác định tâm của đường tròn đó.
b) Chứng minh rằng: 
c) Nếu cho số đo cung CD = 600 và AD = 5cm. Hãy tính diện tích tam giác ADE.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông ở A, có đường cao AH và trung tuyến AM. Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB ở D và AC ở E. Chứng minh rằng: 
a) D, H, E thẳng hàng
b) MA ^ DE
c) D, B, E, C nằm trên một đường tròn. Hãy chỉ cách xác định tâm O của đường tròn này.
d) Tứ giác AMOH là hình gì?
Bài 6. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn đã cho, kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D.
a) Chứng minh rằng: CD = AC + BD
b) Gọi P là giao điểm của OC và AM; Q là giao điểm của AD và BM. Chứng minh tứ giác OPMQ là hình chữ nhật.
c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn đã cho để tổng AC + BD có giá trị nhỏ nhất.
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BFEC là hình thang cân, định tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang này.
b) Tứ giác DHEC nội tiếp được trong đường tròn, từ đó suy ra BE là đường phân giác của góc DEF.
c) Gọi I là trung điểm AH. Chứng minh rằng: IF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp hình thang BFEC.
Bài 8. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O có và chiều cao AA’ = h. Các tiếp điểm thuộc các cạnh AB, AC, BC lần lượt là M, N, P.
a) Chứng minh: AB + AC – BC = 2AM
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tính các chiều cao BB’, CC’.
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A, AH) đó. Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E. Gọi I là hình chiếu của A trên BE. Chứng minh rằng:
a) Tam giác BEC cân.
b) AI = AH
c) BE là tiếp tuyến của đường tròn (A, AH)
d) BE = BH + DE
Bài 10. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O, R) 
a) Tính số đo của cung AB, góc ở tâm AOB và độ dài cung AB.
b) Vẽ đường kính AA’ cắt BC tại H. Chứng minh OH ^ BC. Tính AB và OH theo R.
c) Tính diện tích hình quạt ứng với cung AB, và diện tích phần hình tròn không nằm trong tam giác.
Bài 11. Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh :
 a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn.
 b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
 c/. Tích CM.CN không đổi.
Bài 12. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao cho BA = R. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia CM tại D. 
 a/. Chứng minh: DI BC.
 b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn.
 c/. Giả sử .Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM.
Bài 13. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho CA > CB. Vẽ hình vuông ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC. Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F ( khác điểm C). 
 a/. Chứng minh : OF AB.
 b/. Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F.
 c/. CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M. Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng hàng.
Bài 14. Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H, M cạnh BC ). Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB tại P và AC tại Q.
 a/. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.
 b/. Chứng minh: MA PQ.
 c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn.
Bài 15. Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây AE đi qua trung điểm P của OC, ED cắt CB tại Q.
 a/. Chứng minh tứ giác CPQE nôi tiếp được một đường tròn.
 b/. Chứng minh : PQ // AB.
 c/. So sánh diện tích tam giác CPQ với diện tích tam giác ABC
HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ
A. LÝ THUYẾT: 
(SGK)
B. BÀI TẬP:
I. ĐẠI SỐ: 
1. 	a) 	b) 
c) 	d) ĐK x ¹ 0, y ¹ 0. Đặt u = ; v = . KQ: 
2. 	a) 	b) 	c) 
3. 	a) Hai nghiệm cùng dấu, có tổng bằng 11, có tích bằng 21 vậy x1 = 5 ; x2 = 6
	b) x1 = 3 ; x2 = 7
	c) x1 = 3 ; x2 = 9
	d) Vì a + b + c = 0 nên x1 = 1 ; x2 = 
	e) Vì a – b + c = 0 nên x1 = - 1 ; x2 = 
	g) x1 = 1 ; x2 = 
4. 	
	a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
	b) Phương trình có nghiệm kép 
	c) Phương trình vô nghiệm 
5. 	a) 
	Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt 
	Khi phương trình có nghiệm kép x = 1
	Khi phương trình vô nghiệm.
	b) Ta có x1x2 = P; x1, x2 cùng dấu Û P > 0
	(1) có hai nghiệm cùng dấu Û (1) có nghiệm và P > 0 Û 0 < m < 1
6. 	a) Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt Û 
	b) Với m = 4 thì (2) trở thành -8x + 2 = 0 có nghiệm duy nhất x = 
	 thì (2) có nghiệm duy nhất Û 
	c) m = 3 thì (2) trở thành x2 + 6x – 1 = 0 
7. 	a) hệ số a và c trái dấu 
	b) Theo hệ thức vi-ét ta có: 
8. 	a) Điều kiện để (2) có nghiệm 
	b) x1, x2 đối nhau => x1 + x2 = 0 không có giá trị nào thỏa mãn vì x1 + x2 = 4
	* 
	Với m = 2 phù hợp với điều kiện có nghiệm của (2)
* 
	* 
9. 	Đặt S = 
a) < 0 với mọi m. 
	b) 
10. 	a) Đặt u = x2, ta có phương trình bậc hai đối với u (ĐK u ³ 0): u2 – 7u – 4 = 0 
 (loại)
Với u = 4 = x2 
b) Phương trình vô nghiệm.
c) phương trình vô nghiệm
d) 
11. 	a) (1) có hai nghiệm phân biệt 
	b) Phương trình có 1 nghiệm là -2 nên: thỏa điều kiện 
12. 	a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu 
	b) 
13.	b) m > 3 hoặc m < -1
	c) m = - 5 hoặc m = 7
14. 	a) 
	c) A = 
15.	b) Nhìn vào đồ thị ta thấy (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm A(-1; 1) và B(2; 4)
	Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x2 –x – 2 = 0 
	* x = -1 => y = 1
	* x = 2 => y = 4
16. 	a) a = 	b) A và B(4; 8)
II. HÌNH HỌC: 
1.a) 
Mặt khác: 
(góc ở tâm và góc nội tiếp chắn cung AD)
Từ đó suy ra: 
b) là góc ngoài của tam giác DCB 
nên 
Nhưng do nên 
Vậy tam giác DCB cân tại C.
2. a) Ta có I là trung điểm của MN 
nên OI ^ MN (1)
Mặt khác: AB, AC là tiếp tuyến với (O), nên: 
 (2) 
và (3) 
Từ (1), (2) và (3) suy ra B, I, C nằm trên đường tròn đường kính OA. 
b) Trong đường tròn đường kính OA ta có: 
 chắn cung AB, chắn cung AC 
mà AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến của 1 đt)
Vậy = hay IA là đường phân giác của 
Xét DABO vuông tại B, ta có: 
Diện tích tam giác ABO là: 
Mà nên diện tích tứ giác ABOC là: 
3. a) Theo đề bài, ta có: 
=> H và E nằm trên đường tròn đường kính AC
Vậy tứ giác AHEC nội tiếp.
b) Từ giả thuyết suy ra DABD cân tại A 
(vì AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến)
=> (1) 
Mặt khác BA ^ CA 
nên BA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC
Suy ra (2) 
Từ (1) và (2) suy ra . 
Vậy tam giác AHE cân tại H
c) Ta có: (góc nội tiếp chắn cung HE)
 (góc nội tiếp chắn cung AH)
Mà (cmt) => 
Vậy CH hay CB là phân giác 
4. a) Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra 
Tương tự: 
Vậy tứ giác ECFD nội tiếp đường tròn. 
Tâm I của đường tròn là trung điểm đoạn EF.
b) Ta có: (góc nội tiếp cùng chắn cung CF)
(góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Vậy 
Vì AD ^ EB và BC ^ AE 
nên AD và BC là các đường cao của tam giác ABE và F là trực tâm của nó. 
Suy ra EF là đường cao thứ 3 hay EF ^ AB.
c) Nếu sđ
Trong tam giác vuông ADE, ta có: 
Diện tích tam giác ADE là: S
5. a) Ta có: DABC vuông tại A nên 
Vậy DE là đường kính của đường tròn tâm H,
 	bán kính HA. Do đó D, H, E thẳng hàng.
b) Ta có: DAHE cân tại H nên (1) 
DAMC cân tại M nên (2)
Mà (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (3) 
Từ (2) và (3) ta có: (4)
Từ (1) và (4) ta có:
Do đó AM ^ DE tại I.
c) Ta có DAHD cân tại H nên 
mà (do (3)) 
Vậy C và D cùng nhìn BE dưới một góc không đổi 
=> D, B, E, C nằm trên một đường tròn.
* Xác định tâm O.
Vẽ trung trực Mx của đọan BC.
Vẽ trung trực Hy của DE 
Gia điểm O của Mx và Hy là tâm đường tròn qua D, B, E, C 
d) Ta có AH và Mx cùng vuông góc với BC => AH // Mx 
AM và Hy cùng vuông góc với DE => AM // Hy 
Vậy tứ giác AMOH là hình bình hành.
6. a) Chứng minh CD = AC + BD 
Ta có: CA = CM (1) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) 
 	DB = DM (2) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: 
CA + DB = CM + DM = CD 
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm,
 ta có CO là phân giác của góc ACM.
DCAM cân tại C nên phân giác CO cũng là đường cao hay:
 CO ^ AM tại P 
Chứng minh tương tự ta được: 
Góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn, nên 
Tứ giác có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
c) Định M để AC + BD nhỏ nhất. 
theo giả thuyết ta có: 
Do tứ giác ABDC là hình thang vuông, AB là cạnh góc vuông, CD là cạnh xuyên nên CD ³ AB hay AC + BD ³ AB
Hệ thức trên chứng tỏ AC + BD nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất, 
mà CD nhỏ nhất khi CD = AB. 
Lúc đó ABDC là hình chữ nhật và M chính là điểm giữa của cung AB.
7. a) Ta có: DBEC = DCFB => BF = CE (1) 
Suy ra AF = AE (vì AB = AC)
Do đó: (2) 
Từ (1) và (2) ta có BFEC là hình thang cân. 
Ta có: nên BFEC nội tiếp đường tròn tâm D.
b) Ta có: 
Do đó DHEC nội tiếp đường tròn đường kính HC.
Ta có: (cùng chắn cung BF của đường tròn (D))
cùng chắn cung HD của đường tròn đường kính HC)
Do đó suy ra BE là đường phân giác của 
c) Ta có: DFDC cân tại D => 
mà (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Vậy (1) 
Ta có DAIF cân tại I => (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 
Ta có: 
Vậy IF ^ FD hay IF là tiếp tuyến của đường tròn (D).
8. a) Ta có AM = AN (định lí về tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
BM = BP (định lí về tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
CP = CN 
Suy ra: AB + AC – BC = (AM + MB) + (AN + NC) – (BP + CP) 
 = AM + MB + AN + NC – BP – CP
 = AM + MB + AM + NC – BM – CN
 = 2AM + (MB – BM) + (CN – NC) = 2AM.
b) Xét DABA’ vuông tại A’ có cạnh AA’ = h và 
AB = ; 
Tam giác DAA’C vuông cân nên A’C = AA’ = h 
Từ đó suy ra: BC = 
Vậy 
c) Trong tam giác BB’C có: BB’ = BC.sin450 
Trong tam giác vuông CC’B có: CC’ = BC.sin600 
9. a) DAHC = DADE (g.c.g)
=> ED = HC (1) và AE = AC (2) 
Vì AB ^ CE (gt), do đó AB vừa là đường 
trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác BEC. 
Suy ra DBEC là tam giác cân.
b) Hai tam giác vuông ABI và ABH có:
Cạnh huyền chung AB
Do đó DABI = DABH => AI = AH 
c) Theo trên AI = AH và BE ^ AI tại I
=> BE là tiếp tuyến của đường tròn tâm A, bán kính AH.
d) Ta có: DE = EI (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
IB = BH (nt) 
BE = BI + IE = BH + ED
10. a) Do AB = BC = CA 
nên các góc ở tâm 
Suy ra sđ = sđ
Độ dài cung là: l = 
b) Ta có O các đều AB và AC nên AO hay AA’ là phân giác của , 
mà DABC đều nên AA’ còn là đường cao, trung tuyến DABC
=> AA’ ^ BC => HO ^ BC. 
Tương tự ta cũng có BO là trung tuyến DABC
Vậy O là trọng tâm DABC 
=> AH = và OH = 
DAHB vuông tại H nên 
c) Diện tích hình quạt giới hạn bởi cung AB và hai bán kính OA, OB là:
Diện tích hình tròn (O,R) là: 
Stròn = 
Diện tích tam giác ABC là: 
SABC = 
Diện tích phần hình tròn nằm trong tam giác: 
S = Stròn – SABC =