Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử bằng nhiều phương pháp và bài tập áp dụng

5x)
	= (x2 + 3) (x2 + 5x - 3)
 C¸ch 2: 	x4 + 5x3 + 15x - 9.
	= x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - 9
	= x2 (x2 + 5x - 3) + 3 (x2 + 5x - 3)
	= (x2 + 3) (x2 + 5x - 3)
 Bµi nµy cÇn l­u ý häc sinh trong tËp hîp sè h÷u tØ ®a thøc x2 + 5x - 3 kh«ng ph©n tÝch ®­îc n÷a.
 - VÝ dô 2: Phân tích đa thức x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz thành nhân tử
Gi¶i: 	 §a thøc ®· cho cã 7 h¹ng tử l¹i kh«ng ®Æt nh©n tö chung ®­îc mµ cã h¹ng tö 3xyz nªn ta t¸ch h¹ng tö 3xyz thµnh 3 h¹ng tö ®Ó sö dông ph­¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö.
 x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz
 = x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz
 = x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy)
 = (xy + xz + yz) (x + y + z).
 - VÝ dô 3: Phân tích đa thức x2 + 6x + 8 thành nhân tử
 Víi c¸c ph­¬ng ph¸p ®· biÕt nh­ ®Æt nh©n tö chung, nhãm sè h¹ng, dïng h»ng ®¼ng thøc ta kh«ng thÓ ph©n tÝch ®­îc ®a thøc nµy. NÕu t¸ch mét sè h¹ng thµnh hai h¹ng tử ®Ó ®a thøc trë thµnh 4 h¹ng tử th× cã thÓ nhãm c¸c h¹ng tö ®Ó xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc xuÊt hiÖn c¸c h»ng ®¼ng thøc ... Tõ ®ã cã nhiÒu kh¶ n¨ng biÕn ®æi ®a thøc ®· cho thµnh tÝch.
C¸ch 1: x2 + 6x + 8 = x2 + 2x + 4x + 8 
 = x (x+2) + 4 (x+2) = (x+2) (x+ 4)
C¸ch 2: x2 + 6x + 9 - 1 = (x + 3)2 - 1
	 = (x + 3 - 1) (x + 3 +1) = (x + 2) (x + 4)
C¸ch 3: x2 - 4 + 6x + 12 = (x - 2) (x + 2) + 6 (x + 2)
	 = (x + 2) (x + 4)
C¸ch 4: x2 + 6x + 8 = x2 - 16 + 6x + 24 
	= (x - 4) (x + 4) + 6 (x + 4) = (x + 4) (x - 4 + 6) = (x+2) (x+4).
Cách 5: x2 - 6x +8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4= ( x- 2)2 - 2(x-2)  = ( x-2 ) ( x- 4)
- VÝ dô 4: Phân tích đa thức x3 - 7x – 6 thành nhân tử.
Ta cã thÓ t¸ch nh­ sau:
C¸ch 1: 	x3 - 7x - 6 = x3 - x - 6x - 6 = x (x2 - 1) - 6 (x + 1)
	= x (x - 1) (x + 1) - 6 (x + 1) = (x + 1) (x2 - x - 6)
	= (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1) [ x (x - 3) + 2 (x - 3)] 
	= (x + 1) (x + 2) (x - 3)
	C¸ch 2: x3 - 7x - 6 = x3 - 4x - 3x - 6 = x (x2 - 4) - 3 (x + 2) = x (x - 2) (x + 2) - 3 (x + 2) 
= (x + 2) (x2 - 2x - 3) = (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1)
C¸ch 3: 	x3 - 7x - 6 = x3 - 27 - 7x + 21 = (x -3)(x2 + 3x + 9) – 7 (x- 3)
 = (x - 3) (x2 + 3x + 9 - 7) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) 
 = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2) = (x - 3) (x + 2) (x + 1)
C¸ch 4: 	x3 - 7x - 6 = x3 + 1 - 7x - 7 = (x + 1) (x2 - x + 1) - 7 (x + 1)
	 = (x + 1) (x2 - x + 1 - 7) 
 = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6)
 = (x + 1) (x + 2) (x - 3)
C¸ch 5: 	x3 - 7x - 6 = x3 + 8 - 7x - 14 = (x +2) (x2 -2x +4) – 7 (x+2)
 = (x + 2) (x2 - 2x + 4 - 7) = (x + 2) (x2- 2x - 3) 
 = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3) = (x + 2) (x + 1) (x - 3)
C¸ch 6: 	x3 - 7x - 6 = x3 - 9x + 2x - 6 = x (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 3)
	= (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2).
 Chó ý: CÇn l­u ý häc sinh khi ph©n tÝch ®a thøc nµy ph¶i triÖt ®Ó, tøc lµ kÕt qu¶ cuèi cïng kh«ng thÓ ph©n tÝch ®­îc n÷a. TÊt nhiªn yªu cÇu trªn chØ cã tÝnh chÊt t­¬ng ®èi v× nã cßn phô thuéc tËp hîp sè mµ ta ®ang xÐt. NÕu ph©n tÝch kh«ng triÖt ®Ó häc sinh cã thÓ gÆp t×nh huèng lµ mçi c¸ch ph©n tÝch cã thÓ cã mét kÕt qu¶ kh¸c nhau. Ch¼ng h¹n ë bµi tËp trªn c¸ch 1, c¸ch 4 cã thÓ cho ta kÕt qu¶ lµ:
 x3 - 7x - 6 = (x + 1) (x2 - x - 6). 
C¸ch 2, c¸ch 5 cho kÕt qu¶ lµ:
	x3 - 7x - 6 = (x + 2) (x2 - 2x - 3)
C¸ch 3, c¸ch 6 cho kÕt qu¶ lµ:
	x3 - 7x - 6 = (x - 3) (x2 + 3x + 2)
Gi¸o viªn cÇn nhÊn m¹nh cho häc sinh chó ý sau: 
- Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức :
 mpx2 + ( mq + np )x + nq =(mx + n)(px + q).
Như vậy trong tam thức ax2 +bx +c , hệ số b được tách thành b = b1 + b2  sao cho b1b2 = ac 
Trong thực hành ta làm như sau:  
1. Tìm tích ac 
2. Phân tích ac ra tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
3. Chọn hai thừa số mà tổng bằng b .
 Trong đa thức 9x2 + 6x - 8 thì a = 9 , b = 6 , c = - 8 
Bước 1: Tính ac = 9 (- 8) = -72 .
Bước 2: Phân tích -72 ra tích hai thừa số trái dấu ,trong đó thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ( để tổng hai thừa số bằng 6).
-72 = (-1)72 = (-2)36 = (-3)24 = (-4)18 = (-6)12 = (-8)9
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng 6 . Đó là - 6 và 12.
Trong trường hợp tam thức ax2+ bx + c có b là số lẻ ,hoặc a không là bình phương của một số nguyên thì giải  theo cách 1 gọn hơn  so với cách 2.
Còn đối với  phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt hạng tử ta chỉ cần hướng dẩn HS cách làm khi gặp bài dạng A2+ B2 thì các em chỉ cần thêm 2AB thì trở thành hằng đẳng thức (A + B)2, nhưng phải bớt đi 2AB  . Sau đó tiếp tục áp dụng hằng đẳng thức A2- B2 =(A- B)(A + B)  để phân tích .
- Ví dụ 5 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a. x4 + 4=(x4+ 2.2x2+ 22) - 2.2x2=(x2+2)2- (2x)2 =( x2-2x + 2)(x2+2x +2) 
b. x4+ 64 =(x4+2.8x2+ 82 )- 2.8x2+ 82 =(x2 + 8)2- (4x)2 = (x2  - 4x + 8)( x2 + 4x + 8)
- VÝ dô 6: Phân tíc đa thức bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) thành nhân tử . §a thøc trªn ta cã thÓ dù ®o¸n cã 1 nh©n tö lµ b + c hoÆc c - a hoÆc a + b.
Ta cã c¸c c¸ch ph©n tÝch nh­ sau:
 C¸ch 1: 	bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
	= bc (b + c) ac2 - a2c - a2b - ab2.
	= bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b)
	= bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c + b)
	= (b + c) (bc + ac - ab - a2)
	= (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a2) ] = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)] 
	= (b + c) (b + a) (c -a)
 C¸ch 2: 	bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
	= b2c + bc2 + ac (c - a) - a2b - ab2
	= ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2)
	= ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a)
	= (c - a) (ac + b2 + bc + ab)
	= (c - a) (a + b) (c+ b)
 C¸ch 3: 	bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
	= b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b)
	= c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b)
	= c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b)
	= (a + b) (cb - ca + c2 - ab) = (a + b) [c (b + c) - a (c + b)]
	= (a + b) (b + c) (c - a)
 C¸ch 4: 	NhËn xÐt: c - a = (b + c) - (a + b)
 bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
	= bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b)
	= c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b)
	= (b + c) (a + b) (c - a)
 C¸ch 5: NhËn xÐt: b + c = (c - a) + (a + b)
 Ta cã:	bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b)
	= bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b).
	= c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b).
 C¸ch 6: 	NhËn xÐt: a + b = (b + c) - (c - a)
	bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a)
	= b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b)
	= (c - a) (c + c) (b + a).
- VÝ dô 7: Phân tích đa thức a5 + a + 1thành nhân tử .
Sè mò cña a tõ 5 xuèng 1 nªn gi÷a a5 vµ a cÇn cã nh÷ng sè h¹ng víi sè mò trung gian ®Ó nhãm sè h¹ng lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung.
C¸ch 1: 	a5 + a + 1
	= a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + 1
	= a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1
	= a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + 1 
	= (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1) 
C¸ch 2:	 a5 + a + 1
	= a5 - a2 + a2 + a + 1 = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1)
	= (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1).
2 - Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô.
- VÝ dô 1: Phân tích đa thức (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 thành nhân tử 
 §Æt	 x = b - c; 	y = c - a;	z = a - b.
Ta thÊy: x + y + z = 0 	=> z = - x - y
 (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3
= x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3
= x3 + y3 - x3 - y3 - 3x2y - 3xy2 = - 3xy ( x + y)
= 3xyz = 3 (b - c) (c - a) (a - b)
- VÝ dô 2:Phân tích đa thức (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) – 12 thành nhân tử .
Th«ng th­êng khi gÆp bµi to¸n nµy häc sinh th­êng thùc hiÖn phÐp nh©n ®a thøc víi ®a thøc sÏ ®­îc ®a thøc bËc 4 víi n¨m h¹ng tử. Ph©n tÝch ®a thøc bËc 4 víi n¨m h¹ng tử nµy th­êng rÊt khã vµ dµi dßng. NÕu chó ý ®Õn ®Æc ®iÓm cña ®Ò bµi: Hai ®a thøc x2 + x + 1 vµ x2 + x + 2 chØ kh¸c nhau bëi h¹ng tö tù do, do ®ã nÕu ta ®Æt y = x2 + x + 1 hoÆc y = x2 + x th× biÕn ®æi ®a thøc thµnh ®a thøc bËc hai sÏ ®¬n gi¶n h¬n nhiÒu.
§Æt y = x2 + x + 1.
Ta cã: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12
 = y2 + 4y - 3x - 12 = (y + 4 ) (y - 3)
= (x2 + x + 1 + 4) (x2 + x + 1 - 3) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2)
= (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1)
= (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5).
- VÝ dô 3: Phân tích đa thức (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 thành nhân tử
NhËn xÐt: Ta cã: 1 + 7 = 3 + 5 cho nªn nÕu ta nh©n c¸c thõa sè x + 1 víi x +7 vµ x + 3 víi x + 5 ta ®­îc c¸c ®a thøc cã phÇn biÕn gièng nhau.
 (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
 = (x2 + 7x + x + 7) (x2 + 5x + 3x + 15) + 15
 = (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15.
 §Æt x2 + 8x + 7 = y ta ®­îc:
 y (y + 8) + 15
 = y2 + 8 y + 15
 = y2 + 3 y + 5 y + 15	
 = (y + 3) (y + 5)
 =(x2 + 8x + 7 + 3) (x2 + 8x + 7 + 5)
 = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12)
 = (x2 + 6x + 2x + 12) (x2 + 8x + 10)
 = (x + 6) (x + 2) (x2 + 8x + 10)
3- Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
a C¸ch t×m nghiÖm cña mét ®a thøc
 - Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm nguyªn cña ®a thøc:NghiÖm nguyªn (nÕu cã ) cña mét ®a thøc ph¶i lµ ­íc cña h¹ng tö tù do.
 VD. T×m nghiÖm nguyªn cña ®a thøc sau:
 x3 + 3x2 - 4
Gi¶i:
 Cách 1)C¸c ­íc cña 4 lµ : 1;2;4;-1;-2;-4 .Thö c¸c gi¸ trÞ nµy ta thÊy x = 1 vµ x = -2 lµ nghiÖm cña ®a thøc ®· cho.
 Cách 2) Tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc b»ng 0 nªn ®a thøc ®· cho cã nghiÖm x = 1.
- Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm h÷u tØ cña mét ®a thøc: Trong ®a thøc víi hÖ sè nguyªn,nghiÖm h÷u tØ (nÕu cã) ph¶i cã d¹ng trong ®ã p lµ ­íc cña hÖ sè tù do;q lµ ­íc d­¬ng cña sè h¹ng cã bËc cao nhÊt.
Ví dụ  : T×m nghiÖm cña ®a thøc sau:
 2x3 + 5x2 + 5x + 3
Gi¶i: C¸c ­íc cña 3 lµ : 1;-1;3;-3 (p)
	 C¸c ­íc d­¬ng cña 2 lµ : 1;2 (q)
 XÐt c¸c sè ±1; ±3;±1/2; ±3/2 ta thÊy lµ nghiÖm cña ®a thøc ®· cho.
Chó ý: 
 - NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× ®a thøc ®ã cã mét nghiÖm b»ng 1.
 VÝ dô: §a thøc
 a) 3x4 - 4x +1 cã 3+ (- 4) + 1 = 0 nªn cã mét nghiÖm x = 1.
 b) 4x3 +5x2 - 3x - 6 cã 4 + 5 + (-3) + (-6) = 0 nªn cã mét nghiÖm x = 1.
 - NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc lÎ th× ®a thøc ®ã cã mét nghiÖm lµ -1 .
VÝ dô: §a thøc a) 4x5 + 5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - 3
Tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc ch½n b»ng : 5 + 11 + (-3) = 13
Tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc lÎ b»ng : 4 + 7 + 2 = 13
Ta thÊy tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc lÎ nªn ®a thøc ®ã cã mét nghiÖm lµ -1
 b) x3 + 3x2 + 6x + 4
Tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc ch½n b»ng : 3 + 4 = 7
 Tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc lÎ b»ng : 1 + 6 = 7
Ta thÊy tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc lÎ nªn ®a thøc ®ã cã mét nghiÖm lµ -1
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
NÕu ®a thøc F(x) cã nghiÖm x = a th× sÏ chøa nh©n tö x- a do ®ã khi ph©n tÝch cÇn lµm xuÊt hiÖn c¸c nh©n tö chung sao cho cã nh©n tö x-a.
VD: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö.
 a. x3 + 3x2 - 4
 b. 2x3 + 5x2 + 5x + 3
Gi¶i :
 a)Cách 1: §a thøc x3 + 3x2 - 4 cã nghiÖm lµ x= 1 nªn chøa nh©n tö x-1
Ta cã : x3 + 3x2 - 4 = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - 4
 = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1)
 = (x-1)(x2 + 4x + 4)
 = (x-1) (x+2)2
 Cách 2 : §a thøc x3 + 3x2 - 4 cã nghiÖm lµ x= -2 nªn chøa nh©n tö x + 2
 Ta cã x3 + 3x2 - 4 = x3 + 2x2 + x2 + 2x - 2x - 4
 = x2(x + 2) + x(x + 2) - 2(x + 2)
 = (x + 2) (x2 + x -2)
	 = (x +2) (x2 - x + 2x -2)
	 = (x + 2)[ x(x - 1) + 2(x - 1)]
	 = (x + 2)(x - 1)(x + 2) = (x - 1) (x + 2)2
 b, §a thøc 2x3 + 5x2 + 5x + 3 cã nghiÖm lµ x = -3/2 nªn chøa nh©n tö 2x+3 .
Ta cã 2x3 + 5x2 + 5x + 3 = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x + 2x +3
	 = x2(2x + 3) + x(2x + 3) + (2x + 3)
	 = (2x + 3) (x2 + x + 1)
* C¸c d¹ng bµi tËp øng dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö .
 D¹ng 1: Rót gän biÓu thøc
§Ó gi¶i bµi to¸n rót gän mét biÓu thøc ®¹i sè (d¹ng ph©n thøc) ta ph¶i ph©n tÝch tö thøc ,mÉu thøc thµnh nh©n tö råi chia c¶ tö vµ mÉu cho nh©n tö chung cña chóng.
VÝ dô: Rót gän biÓu thøc:
Gi¶i : Ta cã
Ta thÊy tö thøc cña ph©n thøc cã c¸c nghiÖm lµ 2; 3 ; 4 ; -5
MÉu thøc cña ph©n thøc cã c¸c nghiÖm lµ -1 ; 3 ; -4;-5
Do ®ã 	
VÝ dô 2 :Rót gän biÓu thøc
Gi¶i: Ta thÊy tö thøc cã nghiÖm lµ 1; mÉu thøc còng cã nghiÖm lµ 1 ;nªn ta cã
=
 =.Ta thÊy c¶ tö vµ mÉu ®Òu kh«ng ph©n tÝch ®­îc n÷a.
D¹ng 2 : Chøng minh chia hÕt
§Ó gi¶i bµi to¸n chøng minh ®a thøc A chia hÕt cho ®a thøc B cã nhiÒu c¸ch gi¶i nh­ng ë ®©y t«i chØ tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p vËn dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®Ó gi¶i.
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn x ,ta cã:
 [(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15] (x + 6)
Gi¶i: Ta cã (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) +15
 = (x + 1)(x + 7) (x + 3)(x + 5) + 15
 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15
§Æt t = x2 + 8x +11
 (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - 1 = (t + 1)(t - 1)
Thay t = x2 + 8x +11 , ta cã
 (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10)
 = (x2 + 8x +10)(x + 2)(x + 6) (x+6).
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn x ta cã
 (4x + 3)2 - 25 chia hÕt cho 8.
C¸ch 1: Ta ph©n tÝch biÓu thøc (4x + 3)2 - 25 ra thõa sè
	(4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + 3 + 5) (4x + 3 - 5)
	= (4x + 8) (4x - 2) = 4 (x + 2) 2 (2x - 1) = 8 (x + 2) (2x - 1)
Do x lµ sè nguyªn nªn (x + 2) (2x - 1) lµ sè nguyªn.
Do ®ã 8 (x + 2) (2x - 1) chia hÕt cho 8. Ta suy ra §PCM.
C¸ch 2: (4x + 3)2 - 25 
 = 16x2 + 24x + 9 - 25
 = 16x2 + 24x - 16 
 = 8 (2x2 + 3x - 2).	
V× x lµ sè nguyªn nªn 2x2 + 3x - 2 lµ sè nguyªn
Do ®ã 8 (2x2 + 3x - 3) chia hÕt cho 8.Ta suy ra §PCM.
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n biÓu thøc.
A= lµ sè nguyªn.
Ta cã: 
Muèn chøng minh biÓu thøc lµ sè nguyªn chØ cÇn chøng minh 2n + 3n2 + n3 chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn n.
Ta cã: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2)
= n (2 + 2n + n + n2) = n [ 2 (1 + n) + n (1 + n)]
= n (n + 1) (n + 2).
 Ta thÊy n (n + 1) (n + 2) lµ tÝch cña ba sè nguyªn liªn tiÕp nªn Ýt nhÊt cã mét thõa sè chia hÕt cho 2 vµ mét thõa sè chia hÕt cho 3 . Mµ 2 vµ 3 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau 
nªn tÝch nµy chia hÕt cho 6.
VËy mäi sè nguyªn n biÓu thøc A= lµ sè nguyªn.
VÝ dô 4: Chøng minh ®a thøc: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hÕt cho ®a thøc x16+ x15
+ ... + x2 + x + 1.
Ta thÊy ®a thøc bÞ chia cã 51 sè h¹ng, ®a thøc chia cã 17 sè h¹ng, ta ph©n tÝch ®a thøc 
bÞ chia nh­ sau:
x50 + x49 + ... + x2 + x + 1
= (x50 + x49 + ... + x35 + x34) +(x33 + x32 + ... + x18 + x17) + x16 ... x2 + x + 1.
= (x34) (x16 + x15 + ... + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + ... + x2 + x + 1)
	+ x16 ... +x2 + x + 1
= (x16 + x15 + ... +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1)
Râ rµng: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hÕt cho x16 + x15 + ... x + 1. KÕt qu¶ cña phÐp chia lµ : x34 + x17 + 1 
 VÝ dô 5: Chøng minh ®a thøc a3 + b3 +c3 - 3abc chia hÕt cho ®a thøc a +b +c
§Æt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c.Dù ®o¸n ®a thøc A ph©n tÝch thµnh nh©n tö cã mét nh©n tö lµ a + b + c.
Ta cã: A = a3 + b3 + c3 - 3abc 
 = a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb - ac2 - acb - b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c)
= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
= B. (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
VËy ®a thøc A chia hÕt cho ®a thøc B.
VÝ dô 6: 	Cho 
CMR:	 víi n lÎ.
Ta cã:	
 => (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc.
 => abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc
	=> (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = 0
	=> bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = 0
	=> (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = 0
	=> (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = 0 => (a + b) (b + c) (a + c) =0
	=> a + b = 0 => a = - hoÆc b + c = 0 => b = - c
HoÆc a + c = 0 => a = - c
V× n lÎ nªn a2 = - bn hoÆc bn = - c2 hoÆc an = - cn
Thay vµo ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
D¹ng 3: Áp dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®Ó gi¶i mét sè d¹ng ph­¬ng tr×nh.
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.
VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh.
3x2 + 10xy + 8y2 = 96
Ta cã: 3x2 + 10xy + 8y2= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2
= x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96
Ta cã: 96 - 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 
Mµ x, y > 0 => 3x + 4y > 7; x + 2y > 3
Ta cã c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau:
(IV)
(III)
(II)
(I)
	x + 2y = 4	 x + 2y = 6	
	 3x + 4y = 24	 3x + 4y = 16	
 x + 2y = 8	 x + 2y = 12
 3x + 4y = 12	 	 3x + 4y = 8
Gi¶i hÖ (I) ta ®­îc x = 16; y = - 6 (Lo¹i).
Gi¶i hÖ (II) ta ®­îc x = 4; y = 1 (Lo¹i)
Gi¶i hÖ (III) ta ®­îc x = 4;	y = 6 (Lo¹i)
Gi¶i hÖ (IV) ta ®­îc x = - 16;y = 14 (Lo¹i)
VËy nghiÖm cña hÖ x = 4; y = 1.
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x= 4; y = 1
VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh:
2x3 + xy - 7 = 0
=> 2x3 + xy = 7 => x (2x2 + y) = 7
=>
=>
=>
=>
	 x = 1	 x = 1
 2x2 + y = 7	 y = 5
HoÆc
	 x = 7 x = 7
	 2x2 + y =1 y = - 97
HoÆc
	 	x = - 1 x = - 1
	 2x2 + y =-7 y - 9
HoÆc
=>
 x = - 7 x = - 7
 2x2 + y = - 1 y = -99
VÝ dô 3: T×m sè nguyªn x > y > 0 tháa m·n
	x3 + 7 y = y3 + 7x
	=> x3 - y3 - 7x + 7y = 0 
	=> (x - y)3 (x2 + xy + y2) - 7 (x - y) = 0
	=> (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = 0 	V× x > y > 0
	=> x2 + xy + y2 - 7 = 0
	=> x2 - 2xy + y2 = 7 - 3xy
	=> (x - y)2 = 7 - 3xy
	=> 7 - 3xy > 0 => 3xy xy < 
	x.y £ 2 => x = 2; y = 1
b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc cao
VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh
 ( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0
Gi¶i: Ta cã:
 ( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0
ó ( 3x - 5 + x - 1 )(3x - 5 - x + 1) = 0
ó ( 4x - 6)(2x - 4) = 0
4x - 6 = 0 ó x = 3/2
hoÆc 2x - 4 = 0 ó x = 2
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ x = hoÆc x = 2
 VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0
Gi¶i : Ta cã 
x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0
ó x3 + x2 + 2x2 + 2x + 2x + 2 = 0
óx2(x + 1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = 0
ó(x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0
hoÆc (x + 1) = 0 => x = -1
hoÆc (x2 + 2x + 2) = 0 kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x Q 
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ x = -1
* Bµi tËp áp dụng:
	Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
	1) x3 - 4x2 + 8x - 8
	2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz
	3) x2 + 7x + 10
	4) y2 + y - 2
	5) n4 - 5n2 + 4
	6) 15x3 + x2 - 2n
	7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b)
	8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b)
	9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1
	10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 9
	11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 2
	12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 3
	13) TÝnh nhanh sè trÞ cña biÓu thøc sau víi.
	a) x = - 5 	P = (x+ 2)2 - 2 (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2
	b) a = 5,75;	b = 4,25
	Q = a3 - a2b - ab2 + b3
	14) CMR biÓu thøc (2n + 3)2 - 9 chia hÕt cho 4 víi mäi n nguyªn.
	15) CM biÓu thøc lµ sè nguyªn víi mäi sè ch½n n.
	16) Chøng minh ®a thøc: x79 + x78 + ... + x2 + x+ 1 chia hÕt cho ®a thøc x19 + x18 + 
 ... + x2 + x + 1
III. Hiệu quả do chuyên đề đem lại: 
 Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y chuyên đề I- m«n ®¹i sè 8 n¨m häc 2018-2019 nµy. Sau khi x©y dùng ®Ò c­¬ng chi tiÕt cña chuyên đề ®­îc rót ra tõ n¨m häc 2017-2018 t«i ®· vËn dông vµo c¸c giê d¹y ë c¸c líp 8B chñ yÕu vµo c¸c tiÕt luyÖn tËp, «n tËp. Qua viÖc kh¶o s¸t chÊm ch÷a c¸c bµi kiÓm tra t«i nhËn thÊy r»ng tØ lÖ bµi tËp häc sinh gi¶i ®óng t¨ng lªn.
1.Khảo sát trước khi áp dụng 
a,Kết quả :Qua khảo sát ,kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 28 học sinh tôi thấy kết quả như sau 
Điểm dưới 5 
Điểm 5 - 6 
Điểm 7 - 8
Điểm 9 -10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12
42,9%
9
32,1%
6
21,4%
1
3,6%
b,Nguyên nhân :Đây là dạng toán mới lạ và tương đối khó với học sinh ,học sinh chưa trang bị các phương pháp giải ,nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi không có lối thoát dẫn đến kết quả còn thấp và đăch biệt đối với học sinh trung bình yếu càng khó giải quyết 
2.Kết quả sau khi áp dụng 
Điểm dưới 5 
Điểm 5-6 
Điểm 7-8
Điểm 9-10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
5
17,9%
9
32,1%
10
35,7%
4
14,3%
Nhận xét :sau khi áp dụng chuyên đề này tôi thấy chất lượng qua bài kiểm tra nâng lên đáng kể đặc biệt là đối tượng học sinh trung bình yếu được nâng lên rõ rệt .
Trên đây là một vài kinh nghiệm mà tôi đã tích lũy trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn học sinh giải toán ,rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng các bạn đồng nghiệp .
Ngô đồng,ngày 1 tháng 3 năm 2019
	 Người viết 
 Hoàng Thị Nghĩa
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
	Kính gửi: Hội đồng Khoa học cấp huyện.
Tôi (chúng tôi):
Số TT
Họ và tên
ngày tháng năm sinh
Nơi công tác
Chức danh
Trình đ