Chuyên đề Hướng dẫn học sinh vận dụng hằng đẳng thức (a - B)2 = a2- 2ab + b2 vào giải một số bài tập chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của một biểu thức

CHUYÊN ĐỀ
HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC 
(A - B)2 = A2- 2AB + B2 VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC
I. PHẦN MỞ ĐẦU.
 - Như chúng ta đã biết bất đẳng thức và cực trị là một trong những mảng kiến thức khó đối với học sinh THCS và đặc biệt đối với học sinh đại trà ở lớp 8, 9 mới bắt đầu tiếp cận nhưng trong sách giáo khoa chỉ giới thiệu những công thức và bài toán cụ thể đơn giản. Đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi phần đa các là các bài tập là chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị nên gây không ít khó khăn cho cả giáo viễn lẫn học sinh. Bên cạnh đó các bài tập bất đẳng thức và cực trị không hoàn toàn theo một phương pháp giải nhất định như các mảng kiến thức khác nên các em rất lúng túng khi làm Toán về bất đẳng thức và cực trị, các em không biết bắt đầu từ đầu và đi theo hướng nào. Hầu hết học sinh rất ngại khi gặp các bài toán về bất đẳng thức và cực. Do đó để giải một số bài tập bất đẳng thức và tìm cực trị đối với học sinh lớp 8, 9 là một vấn đề khó khăn. 
 - Thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ "Làm thế nào để học sinh có hứng thú hơn đối với những dạng toán này và giúp các em yêu thích môn Toán hơn". Từ những lí do đó tôi muốn trình bày một số kinh nghiệm " Hướng dẫn học sinh vận dụng hằng đẳng thức (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 vào giải một số bài tập chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của một biểu thức".
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐÊ:
a. Kiến thức cơ bản
 Nhận xét: (a - b)2 ³ 0 với mọi a, b
Từ (a-b)2 ³ 0 Þ (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ³ 0
 Þ a2 + b2 ³ 2ab (1)
Từ (1) ta có a2 + b2 + 2ab ³ 2ab + 2ab
 Þ (a+b)2 ³ 4ab (2)
Tương tự từ (1) ta có a2 + b2 + a2 + b2 ³ 2ab + a2 + b2 
 Þ 2(a2 + b2) ³ (a+b)2 (3)
Dấu "=" xảy ra Û a = b 
b. Một số ví dụ minh họa:
Dạng 1: Vận dụng bất đẳng thức (1)
Bài 1: 
Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta có:
a2 + b2 + c2 ³ ab + bc +ca
Giải:
Với mọi a, b, c, d theo bất đẳng thức (1) ta có: 
 a2 + b2 ³ 2ab (1)
 b2 + c2 ³ 2bc (2)
 c2 + a2 ³ 2ca (3)
Từ (1), (2) và (3) Þ 2a2 + 2b2 + 2c2 ³ 2ab + 2bc + 2ca
Hay a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca 
Dấu "=" xảy ra Û a = b =c
Bài 2: 
 Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d ta có:
 a4 + b4 + c4 + d4 ³ 4abcd 
Giải:
Với mọi a, b, c, d theo bất đẳng thức (1) a có:
 a4 + b4 = (a2)2 + (b2)2 ³ 2a2b2 (1)
 c4 + d4 =(c2)2 + (d2)2 ³ 2c2d2 (2)
Từ (1) và (2) 
Þ a4 + b4 + c4 + d4 ³ 2(a2b2 + c2d2) = 2[(ab)2 + (cd)2] ³ 2.2ab.cd = 4abcd
Hay a4 + b4 + c4 + d4 ³ 4abcd với mọi a, b, c, d. 
Dấu "=" xảy ra Û a = b = c =d
 Bài 3: 
 Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta có:
 a4 + b4 + c4 ³ abc(a+ b+ c)
Giải:
Với mọi a, b, c theo bất đẳng thức (1) ta có:
a4 + b4 = (a2)2 + (b2)2 ³ 2a2b2 (1)
b4 + c4 = (b2)2 + (c2)2 ³ 2b2c2 (2)
a4 + c4 = (a2)2 + (c2)2 ³ 2a2c2 (3)
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 2(a4 + b4 + c4) ³ 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
 = (a2b2 + b2c2) + (b2c2 + a2c2) + (a2b2 +a2c2)
 ³ 2ab2c + 2abc2 + 2cba2
 = 2abc(a + b+ c)
Hay a4 + b4 + c4 ³ 2abc(a + b + c)
Dấu "=" xảy ra Û a = b =c 
Bài 4: 
 Trong tứ giác ABCD với diện tích S có điểm O thõa mãn
 OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S
Chứng minh rằng: ABCD là hình vuông nhận O làm tâm.
C
D
A
B
Giải:
O
Nhận xét: 
 - Nếu DABC vuông tại A thì SABC = AB.AC
 - Nếu DABC là tam giác thường thì SABC £ AB.AC (Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh nhận xét trên)
Từ nhận xét trên ta có
 SAOB £ OA.OB (1)
 SAOD £ OA.OD (2)
 SCOB £ OC.OB (3)
 SCOD £ OC.OD (4)
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3) và (4) ta được:
 SABCD £ (OA.OB+ OA.OD+OC.OB+OC.OD)
 £ ( + + + ) (5) (theo bất đẳng thức (1))
 = (OA2+OB2+OC2+OD2)= .2S = S
Từ (1), (2), (3), (4) và (5)
 Dấu "=" xảy ra Û 
Vậy ABCD là hình vuông nhận O làm tâm. 
Bài 5: 
 Cho a, b, c là các số không âm .
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = 
Giải:
Vì a, b, c là các số không âm nên áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
 a2 + 1 ³ 2a Þ £ (1)
 Tương tự ta có: b2 + 1 ³ 2b Þ £ (2)
 c2 + 1 ³ 2c Þ £ (3)
Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta có:
 £ 
Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M bằng Û a = b = c = 1
Dạng 2: Vận dụng bất đẳng thức (2)
Bài 1: 
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
 (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức (a + b)2 ³ 4ab ta có:
(a + b)2 ³ 4ab (1)
(b + c)2 ³ 4bc (2)
(c + a)2 ³ 4ac (3)
Vì a, b, c > 0 nên nhân vế theo vế của (1), (2) và (3) ta có:
 [(a + b)(b + c)(c + a)]2 ³ 64a2b2c2
Þ (a+b)(b+c)(c+a) ³ 8abc (vì (a + b)(b + c)(c + a) ³ 0 và 8abc > 0)
Dấu "=" xảy ra Û a=b=c
Bài 2: 
 Cho a, b, c >0 và a + b + c =1
 Chứng minh rằng: b + c ³ 16abc
Giải:
 Ta có (a+ b+ c)2 = [a + (b+c2]2 ³ 4a(b+c) theo bất đẳng thức (5) 
mà a+ b+ c = 1 nên 1 ³ 4a(b+c) Þ b + c ³ 4a(b + c)2 (vì b + c > 0) (1)
Tương tự theo bất đẳng thức (2) Þ (b+c)2 ³ 4bc (2)
Từ (1) và (2) Þ b+c ³ 4a.4bc = 16abc. Vậy b + c ³ 16abc
 Dấu bằng xảy ra Û Û 
Bài 3: 
 Cho tứ giác ABCD có tổng hai đường chéo bằng d. 
C
D
A
B
B
 Chứng minh rằng: SABCD £ 
Giải:
Lưu ý ta có nhận xét:
 - Nếu AC ^ BD thì SABCD = AC.BD
 - Nếu AC và BD không vuông góc với nhau thì
 SABCD £ AC.BD (Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh nhận xét trên)
Từ nhận xét đó ta có: SABCD £ AC.BD
Theo bất đẳng thức ³ 2ab ta có:
 AC.BD £ mà theo giả thiết AC + BD = d
 Þ AC.BD £ Þ SABCD £ . = 
Vậy SABCD £ 
 Dấu "=" xảy ra Û 
Dạng 3: Vận dụng bất đẳng thức (3)
Bài 1: 
 Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
 a) A = a2 + b2 ³ 
 b) B = a4 + b4 ³ 
Giải: 
a) Áp dụng bất đẳng thức 2(a2+b2) ³ (a+b)2 ta có:
 A = a2 + b2 ³ = vì a + b = 1 
Dấu "=" xảy ra Û a = b = 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng Û a = b = 
b) Tương tự ta có:
B = a4 + b4 = (a2)2 + (b2)2 ³ ³ = vì a2 + b2 ³ 
Dấu "=" xảy ra Û a = b = 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B bằng Û a= b= 
Bài 2: 
Cho a, b > 0 và a + b = 1.
 Chứng minh rằng: (a+ )2 + (b+ )2 ³ 12,5
 Giải:
 Theo bất đẳng thức (3) ta có: (a + )2 + (b + )2 ³ 
 = = (Vì a+b=1) (1) 
Ta lại có:
 a + b ³ 4ab Þ 1 ³ 4ab Þ ³ 4 (vì a, b >0) (2) 
 Từ (1), (2) Þ ³ = 12,5 hay (a + )2 + (b + )2 ³ 12,5
 Dấu "=" xảy ra Û Û 
 c. Bài tập vận dụng:
Bài 1: 
 Cho a + b =2. Chứng minh rằng: a4 + b4 ³ 2.
Gợi ý: Vận dụng bất đẳng thức (3)
Bài 2:
 Cho a và b là các số dương, chứng tỏ + ³ 2
Gợi ý: Vận dụng bất đẳng thức (1)
Bài 3:
 Chứng minh rằng: + + + ³ 2 với mọi a, b, c, d là các số dương.
Gợi ý: Vận dụng bất đẳng thức (1)
Bài 4:
a) Cho các số dương a, b, c và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 N = (a+ 1)(b+ 1)(c+ 1)
b) Cho a, b, c là các số không âm.Chứng minh rằng: 
 (a + 1)(ab + 1) ³ 4ab
Gợi ý: Vận dụng bất đẳng thức (2)