Chuyên đề: Giải phương trình tích lớp 8

 1 
Chuyên đề: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH LỚP 8 
 Người thực hiện: Đỗ Thị Phương Lan 
I. Lý do chọn chuyên đề 
 Chuyên đề "giải phương trình tích" được học khá kỹ ở chương trình lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và 
cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên. 
Bởi vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích là vấn 
đề quan trọng góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong SGK đã 
trình bày các phương pháp phân tích vế trái thành tích của những đa thức bằng các phương pháp đặt nhân tử 
chung; dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử... để làm một số dạng bài tập giải phương trình tích đơn giản. 
Sau đây, tôi xin tổng hợp lại một số dạng biến đổi phương trình đưa về dạng phương trình tích lớp 8. 
II. Nội dung 
1. Dạng biến đổi pt áp dụng phương pháp tách hạng tử để phân tích đưa về dạng phương trình tích. 
Ví dụ 1 : Giải phương trình : 3 23 2 0x x x   
Giải: 
Cách 1: Ta có :  3 2 23 2 0 3 2 0x x x x x x       
 2 2 2 0x x x x     ( tách 3x = x + 2x ) 
    2 2 2 0x x x x       (nhóm hạng tử ) 
   1 2 1 0x x x x       (đặt nhân tử chung ) 
  1 2 0x x x    (đặt nhân tử chung ) 
0 0
1 0 1
2 0 2
x x
x x
x x
  
 
      
     
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  0; 1; 2  
Cách 2: Ta có: 
3 2 3 2 23 2 0 2 2 0x x x x x x x        (tách 2 2 23 2x x x  ) 
       3 2 2 22 2 0 1 2 1 0x x x x x x x x          
      21 2 0 1 2 0x x x x x x        (đặt nhân tử chung) 
1 0 1
0 0
2 0 2
x x
x x
x x
    
 
    
     
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  0; 1; 2  
2. Dạng biến đổi phương trình bậc cao đưa về dạng phương trình tích. 
Ví dụ 1: Giải phương trình : 4 22 7 4 0x x   
Giải: Đặt 2x a , pt trở thành: 
 2a
2
 + 7a - 4 =    2 22 8 4 0 2 8 4 0a a a a a a          
       2 4 4 0 4 2 1 0a a a a a         
4
4 0
1
2 1 0
2
a
a
a a

  
  
    
 + Với a = 4 2 4 2x x     
 + Với a = - 
1
2
  2
1
2
x   Loại 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  2 
Ví dụ 2: Giải phương trình (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 
Giải: 
Đặt x - 7 = y, pt trở thành: (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 
Rút gọn ta được 2y4 + 12y2 + 2 = 16  y4 + 6y2 - 7 = 0 
Đặt y2 = z  0, ta có z2 + 6z - 7 = 0 
Phương trình này cho z1 = 1; z2 = -7 (loại) 
 2 
Với z = 1, ta có y2 = 1 nên y=  1 
Từ đó x1 = 8 ; x2 = 6 
Ví dụ 3: Giải phương trình x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0 (3) 
 Giải: 
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của pt (3). Chia hai vế của (3) cho x2 ≠ 0 ta được: 
 x
2
 + 3x + 4 + 
3
x
 + 
1
x
2 = 0  




x2 + 
1
x
2 +3 





x+ 
1
x
 + 4 =0 
 Đặt x + 
1
x
 = t thì x
2
 + 
1
x
2 = t
2
 - 2, ta được: t2 + 3t + 2 = 0 
Do đó t1 = -1, t2 = -2 
+ Với t = -1, ta có x + 
1
x
 = -1 nên x
2
 + x + 1 = 0, vô nghiệm. 
+ Với t = -2, ta có x + 
1
x
 = - 2 nên (x + 1)
2
 = 0, do đó x = -1 
 Kết luận: S = { }-1 . 
3. Dạng biến đổi các phương trình có chứa ẩn ở mẫu về dạng phương trình tích. 
Đây là dạng phương trình mà khi giải ta cần phải tìm điều kiện xác định của phương trình. 
Điều kiện xác định của phương trình là tìm giá trị của ẩn để mẫu thức khác không. 
Ví dụ 1: Giải phương trình : 3 2 1
2 2
x
x
x x

 
 
 ( I) ĐKXĐ : 2x  
 Giải: Ta có : (I)   2 1 23 2 1 3
2 2 2 2
x x xx
x
x x x x
  
   
   
 23 2 1 2x x x     ( nhân hai vế với x – 2 và khử mẫu ) 
  
22 4 4 0 2 0x x x       
  x - 2 = 0  x = 2 (Loại vì x = 2 không thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình) 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  
Ví dụ 2 : Giải phương trình : 2
2
1 1
x x
x x
   ( II ) 
Giải: ĐKXĐ : 0x  
 ( II ) 
3 4
3 4
2 2
1
1
x x x
x x x
x x
 
      
    3 4 3 41 0 1x x x x x x         
      3 31 1 0 (1 ) 1 0x x x x x         
        22 21 1 1 0 1 1 0x x x x x x x           
 Vì  2 2 2
1 1 3 1 1 3
1 2 . 2. .
2 4 4 2 4 4
x x x x x x
 
          
 
2
1 3
0
2 4
x
 
    
 
nên      2 221 1 0 1 0 1 0 1x x x x x x            (Thỏa mãn điều kiện của bài toán) 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  1 
4. Một số ví dụ về phương trình tích khác 
Tùy theo mỗi dạng phương trình mà ta có thể có những cách biến đổi khác nhau để đưa phương trình đã 
cho về dạng phương trình tích. Sau đây là một dạng phương trình đặc trưng 
 3 
Ví dụ 1: Giải phương trình : 
2 1
1
2001 2002 2003
x x x 
   
Giải: Ta cộng thêm 2 vào hai vế của phương trình và biến đổi phương trình như sau 
2 1 2 1
1 1 1 1
2001 2002 2003 2001 2002 2003
x x x x x x       
           
   
2003 2003 2003 2003 2003 2003
0
2001 2002 2003 2001 2002 2003
x x x x x x     
       
  
1 1 1
2003 0 2003 0 2003
2001 2003 2003
x x x
 
          
 
 (vì 1 1 1 0
2001 2002 2003
   ) 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  2003 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 
5 15 25 1990 1980 1970
1990 1980 1970 5 15 25
x x x x x x     
     
 Giải: 
5 15 25 1990 1980 1970
1990 1980 1970 5 15 25
x x x x x x     
     
5 15 5 1990 1980 1970
1 1 1 1 1 1
1990 1980 1970 5 15 25
x x x x x x                
                      
           
1995 1995 1995 1995 1995 1995
1990 1980 1970 5 15 25
x x x x x x     
      
 1995 1995 1995 1995 1995 1995 0
1990 1980 1970 5 15 25
x x x x x x     
       
  
1 1 1 1 1 1
1995 0
1990 1980 1970 5 15 25
x
 
        
 
 1995 0 1995x x     (vì 1 1 1 1 1 1 0
1990 1980 1970 5 15 25
      ) 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  1995 
III. Bài học kinh nghiệm 
 Qua quá trình thực hiện đề tài, tôi rút ra được bài học kinh nghiệm như sau: 
 - Giáo viên cần nghiên cứu kỹ SGK, SBT và các tài liệu tham khảo, nâng cao. 
 - Trước khi làm bài tập, giáo viên cần nghiên cứu kỹ và giải bằng nhiều cách. 
 - Định hướng giúp học sinh tự suy nghĩ để giải bài tập. 
 - Giáo viên tìm tòi đưa ra hệ thống bài tập từ đơn giản đến phức tạp. 
 - Lưu ý học sinh tránh một số sai lầm hay mắc phải. 
 - Học sinh cần nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 
 - Đứng trước một bài toán giải phương trình cần suy nghĩ, tìm hiểu xem bài toán có thể giải bằng 
những cách nào, vận dụng phương pháp giải nào cho phù hợp, hay nhất. 
IV. Ý kiến nhận xét.