Chuyên đề Các dạng toán về giá trị tuyệt đối

I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
* Cách giải: 
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức (Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm ) 
- Nếu k = 0 thì ta có 	- Nếu k > 0 thì ta có 
Bài 1.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 1.2: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	
Bài 1.3: Tìm x, biết:
a) 	b) c) 	d) 
2. Dạng 2: ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải: Vận dụng tính chất: ta có: 
Bài 2.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	 	d) 
Bài 2.2: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	 	d) 
3. Dạng 3: ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
	(1) Điều kiện: B(x) (*)
(1) Trở thành ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * )
* Cách giải 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Bài 3.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.2: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.3: Tìm x, biết:
a) 	b) 
4. Dạng 4: 
 Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức.
* Cách giải chung: 
B1: Đánh giá: 	B2: Khẳng định: 
Bài 4.1: Tìm x, y thoả mãn: 
a) 	b) 	 c) 
* Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng nhưng kết quả không thay đổi
* Cách giải: (1) ; (2) Từ (1) và (2) 
Bài 4.2: Tìm x, y thoả mãn:
a) 	b) 	c) 
* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự.
Bài 4.3: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) 	b) 	 c) Bài 4.4: Tìm x, y thoả mãn :
a) 	b) c) 
Bài 4.5: Tìm x, y thoả mãn:
a) 	b) c) 
5. Dạng 5: 
* Cách giải: Sử dụng tính chất: Từ đó ta có: 
Bài 5.1: Tìm x, biết:
a) 	 	b) 	c) 
Bài 5.2: Tìm x, biết:
a) 	 	b) 	c) 
II – Tìm cặp giá trị ( x,y) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: với 
* Cách giải: 
* Nếu m = 0 thì ta có 	* Nếu m > 0 ta giải như sau: (1)
Do nên từ (1) ta có: từ đó tìm giá trị của và tương ứng .
Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn:
a) 	b) 	c) 	 d) 
Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x,y) thoả mãn:
a) 	b) 	c) 	 d) 
Bài 1.3: Tìm các cặp số nguyên ( x,y) thoả mãn:
a) 	 	b) 	 	c) 	 d) 
2. Dạng 2: với m > 0.
* Cách giải: Đánh giá (1)	;	 (2)
Từ (1) và (2) từ đó giải bài toán như dạng 1 với 
Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x,y) thoả mãn:
a) 	b) 	c) 	d) 
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: xét khoảng giá trị của ẩn số.
Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x,y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
a) x + y = 4 và 	b) x + y = 4 và 
4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:
* Cách giải : 
Đánh giá: tìm được giá trị của x.
Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: 
a) 	b) 	c) 	
Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x,y) thoả mãn:
a) 	b) 	
5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B 
Đánh giá: 	(1)
Đánh giá: 	(2)	Từ (1) và (2) ta có: 
Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x,y) thoả mãn:
a) 	b) 	c) 
Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x,y) thoả mãn:
a) 	b) 	c) 
III – rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau với a) 	b) 
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau khi x < - 1,3: a) 	b) 
Bài 3: Rút gọn biểu thức:	
IV – Tính giá trị biểu thức:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
a) M = a + 2ab – b với 	 b) N = với 
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức:
a) với 	 b) với 
c) với x = 4 d)	với 
V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:
* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:
Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) 	b) 	c) 	
Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:
Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 2.2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
a) 	b) 	c) 
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức 
Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 3.3: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 3.4: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: