Chuyên đề bồi dưỡng môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 1: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

CHUYÊN ĐỀ 1 – HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. Lý thuyết
1. Bình phương của một tổng
- Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số
thứ nhân nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Ví dụ:  2 2 2 2x 2 x 2.x.2 2 x 4x 4      
2. Bình phương của một hiệu
- Bình phường của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích số
thứ nhất nhân số thứ 2 rồi cộng với bình phương số thứ hai.
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
Ví dụ:  2 2 2 2x 1 x 2.x.1 1 x 2x 1      
3. Hiệu hai bình phương
- Hiệu hai bình phương bằng hiệu hai số đó nhân tổng hai số đó.
A2 – B2 = (A + B)(A – B)
Ví dụ:   2 2 2x 4 x 2 x 2 x 2     
4. Lập phương của một tổng
- Lập phương của một tổng = lập phương số thứ nhất + 3 lần tích bình phương số
thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai +
lập phương số thứ hai.
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
Vú dụ:  3 3 2 2 3 3 2x 1 x 3.x .1 3.x.1 1 x 3x 3x 1        
5. Lập phương của một hiệu
- Lập phương của một hiệu = lập phương số thứ nhất - 3 lần tích bình phương số
thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai -
lập phương số thứ hai.
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
Ví dụ:  3 3 2 2 3 3 2x 1 x 3.x .1 3.x.1 1 x 3x 3x 1        
6. Tổng hai lập phương
- Tổng của hai lập phương bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của
hiệu.
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
Ví dụ:   3 3 3 2x 8 x 2 x 2 x 2x 4      
7. Hiệu hai lập phương
- Hiệu của hai lập phương bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương thiếu của
tổng.
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ:   3 3 3 2x 8 x 2 x 2 x 2x 4      
B. Bài tập
Bài toán 1: Tính
1.  2x 2y
11.
2
x
2y
2
   
2.  22x 3y 12.  22x y
3.  23x 2y
13.
2
3
x 3y
2
   
4.  25x y 14.  22x 8y
5.
2
1
x
4
    15.
2
1
x y 3
6
    
6.
2
1
2x
2
    16.
2
1
x 4y
2
   
7.
2
1 1
x y
3 2
   
17. 2 2
x x
2y 2y
2 2
       
8.   3x 1 3x 1  18.   2 2x 4 x 4 
9. 2 2
2 2
x y x y
5 5
       
19.    2 2x y x y  
10.
x x
y y
2 2
       
20.    2 22x 3 x 1  
Bài toán 2: Tính
1.
3
1
x
3
   
8.   2x 1 x x 1  
2.  322x y 9.   2x 3 x 3x 9  
3.
3
21 1x y
2 3
   
10.   2x 2 x 2x 4  
4.  323x 2y 11.   2x 4 x 4x 16  
5.
3
22 1x y
3 2
   
12.   2 2x 3y x 3xy 9y  
6.
3
1
2x
2
   
13. 2 4 2
1 1 1
x x x
3 3 9
        
7.  3x 3 14. 2 21 1 2x 2y x xy 4y
3 9 3
        
Bài toán 3: Viết các đa thức sau thành tích
1. 2x 6x 9  8.  23x 2 4 
2. 225 10x x  9. 2 24x 25y
3. 2 2 4
1
a 2ab 4b
4
  10. 24x 49
4. 4 8
1 2
y y
9 3
  11. 38z 27
5. 3 3x 8y 12. 49 1x
25 4

6. 38y 125 13. 32x 1
7. 6 3a b 14. 24x 4x 1 
8. 2x 10x 25  15. 2x 20x 100 
9. 3
1
8x
8
 16. 4 2y 14y 49 
10. 2 2x 4xy 4y  17. 3 3125x 64y
Bài toán 4: Tính nhanh
1. 21001 6. 2 237 2.37.13 13 
2. 29,9.30,1 7. 251,7 2.51,7.31,7 31,7 
3. 2201 8. 20,1.19,9
4. 37.43 9. 2 231,8 2.31,8.21,8 21,8 
5. 2199 10. 2 233,3 2.33,3.3,3 3,3 
Bài toán 5: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức
1.    2x 10 x x 80   với x 0,98 5. 29x 42x 49  với x 1
2.    22x 9 x 4x 31   với x 16,2  6. 2 2125x 2xy y
25
  với 1x ,
5
  y 5 
3. 24x 28x 49  với x 4 7.   227 x 3 x 3x 9    với x 3 
4. 3 2x 9x 27x 27   với x 5 8. 3 2x 3x 3x 1   với x 99
Bài toán 6: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tổng hoặc hiệu hai bình phương
1. 2 2x 10x 26 y 2y    6. 2 24x 2z 4zx 2z 1   
2. 2 2z 6z 13 t 4t    7.   x y 4 x y 4   
3. 2 2x 2xy 2y 2y 1    8.   x y 6 x y 6   
4. 2 24x 2z 4xz 2z 1    9.   y 2z 3 y 2z 3   
5. 2 24x 12x y 2y 8    10.   x 2y 3z 2y 3z x   
Bài toán 7: Tìm x, biết:
1. 225x 9 0  6.    23 x 1 3x x 5 1   
Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1. 2x 5x 7 
2. 2x 20x 101 
3. 24a 4a 2 
4. 2 2x 4xy 5y 10x 22y 28    
5. 2x 3x 7 
Bài toán 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1. 26x x 5 
2. 24x x 3 
3. 2x x
4. 211 10x x 
5.  x 4 2 x 4  
Bài toán 10: Cho x y 5  . Tính giá trị của các biểu thức
a) 2 2P 3x 2x 3y 2y 6xy 100     
b)    3 3 2 2Q x y 2x 2y 3xy x y 4xy 3 x y 10         
Bài toán 11:
a) Cho x y 3  và 2 2x y 5.  Tính 3 3x y .
b) Cho x y 5  và 2 2x y 15.  Tính 3 3x y .
2.  2x 3 4 0   7.       2 26x 2 5x 2 4 3x 1 5x 2 0      
3. 2x 2x 24  8.    3 2x 2 x x 6 4   
4.     2x 4 x 1 x 1 16     9.      2x 1 x x 1 x x 2 x 2 5      
5.       2 22x 1 x 3 5 x 7 x 7 0       10.       3 2 2x 1 x 3 x 3x 9 3 x 4 2       
Bài toán 12: Cho x y 7.  Tính giá trị của các biểu thức:
a)  3 3 2 2M x 3xy x y y x 2xy y      
b)      2 2N x x 1 y y 1 xy 3xy x y 1 95        
Bài toán 13: Cho số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi 2n chia cho 7 dư bao nhiêu? 3n chia
cho 7 dư bao nhiêu?
Bài toán 14: Tính
   
   
3
2 2
3
2
1
a) x 2y b) 3x 2y c) 2x
2
x x 1
d) y y e) x f) x 2 x 2x 4
2 2 3
  
     
   
            
Bài toán 15: Viết các đa thức sau thành tích
3 3 6 3 3a)x 8y b)a b c)8y 125  
Bài toán 16: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
   
   
2
2
2
3 2
a) x 10 x x 80 khi x=0,98
b) 2x 9 x 4x 31 khi x=-16,2
c)4x 28x 49 khi x=4
d)x 9x 27x 27 khi x = 5
  
  
 
  
Bài toán 17: Tìm x, biết
 2
2
a) x 3 4 0
b)x 2x 24
  
 
Bài toán 18: Chứng minh:
   
   
     
     
3 3
2 2
3 2 2
3 3 2 2
a) a b b a 
b) a b a b
c) x y x x 3y y y 3x 
d) x y x y 2y y 3x
   
   
    
    
Bài toán 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
22
2 2
2
a)A x 20x 101 
b)B 4x 4x 2
c)C x 4xy 5y 10x 22y 28 
d)D 2x 6x
  
  
     
 
Bài toán 20: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2
2
a)M 4x x 3 
b)N x - x 
c)P 2x 2x - 5 
  

 
C: Bài tập nâng cao cho các hằng đẳng thức
I. Bài tập có đáp án kèm theo
Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong
đó y = x + 1.
Lời Giải
Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1.
A = 2x² – 5x + 3
= 2(y – 1)² – 5(y – 1) + 3 = 2(y² – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10
Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:
a) 127² + 146.127 + 73²
b) 98 .28 – (184 – 1)(184 + 1)
c) 100² – 99² + 98² – 97² + + 2² – 1²
d) (20² + 18² + 16² ++ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² ++ 3² + 1²)
Lời Giải
a) A = 127² + 146.127 + 73² = 127² + 2.73.127 + 73² = (127 + 73)² = 200² = 40000 .
b) B = 98 .28 – (184 – 1)(184 + 1) = 188 – (188 – 1) = 1
c) C = 100² – 99² + 98² – 97² + + 2² – 1²
= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) ++ (2 + 1)(2 – 1)
= 100 + 99 + 98 + 97 ++ 2 + 1 = 5050.
d) D = (20² + 18² + 16² ++ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² ++ 3² + 1²)
= (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²)+ + (4² – 3²) + (2² – 1²)
= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ + (4 + 3)(4 – 3)
+ (2 + 1)(2 – 1)
= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + + 4 + 3 + 2 + 1 = 210
Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?
a) A = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) và B = 232
b) A = 1989.1991 và B = 19902
Lời Giải
a) Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:
A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
Ta áp dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, ta được:
A = 232 – 1.
=> Vậy A < B.
b) Ta đặt 1990 = x => B = x²
Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x² – 1
=> B > A là 1.
Bài 4. Chứng minh rằng:
a) a(a – 6) + 10 > 0.
b) (x – 3)(x – 5) + 4 > 0.
c) a² + a + 1 > 0.
Lời Giải
a) VT = a² – 6a + 10 = (a – 3)² + 1 ≥ 1
=> VT > 0
b) VT = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 ≥ 3
=> VT > 0
c) a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + ¾ = (a + ½ )² + ¾ ≥ ¾ >0.
Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = x² – 4x + 1
b) B = 4x² + 4x + 11
c) C = 3x² – 6x – 1
Lời Giải
a) Ta sẽ biến đổi A= x² – 4x + 1 = x² – 4x + 4 – 3 = ( x- 2)² – 3
Do ( x- 2)² > 0 nên => ( x- 2)² – 3 ≥ -3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(Amin) = -3 khi và chỉ khi x = 2.
b) B = 4x² + 4x + 11 = (2x + 1)² + 10
Vậy Bmin = 10 khi và chỉ khi x = -½.
c) C = 3x² – 6x – 1 = 3(x – 1)² – 4
Vậy Cmin = -4 khi và chỉ khi x = 1.
Bài 6. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng: 2bc + b² + c² – a² = 4p(p – a)
Lời Giải
Ta sẽ đi biến đổi VP.
VP = 2p(2p – 2a) = (a + b + c)( a + b – c) = ( b + c )² – a² = b² + 2bc + c² – a² = VT (đccm)
Bài 7. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36. Tìm hai số ấy.
Lời Giải
Gọi 2 số chẵn liên tiếp là x và x + 2 (x chẵn). Ta có:
(x + 2)² – x² = 36
 x² + 4x + 4 – x² = 36
 4x = 32
 x = 8
=> số thứ 2 là 8+2 = 10
Đáp số: 8 và 10
Bài 8. Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của từng cặp 2 số trong 3 số ấy
bằng 74
Lời Giải
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: x – 1, x, x + 1 ( đk: x>0)
Vậy ta có: x(x – 1) + (x – 1)(x + 1) + x(x + 1)= 74
Ta nhân vào và rút gọn đi ta có:
x² = 25 x = -5 , x = 5
So sánh với Đk: x>o => x = 5 (t/m).
Vậy đáp số: 4, 5, 6.
II/ Bài tập tự giải
Bài 1. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
a) (a² – b²)² + (2ab)² = (a² + b²)²
b) (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad – bc)²
Bài 2. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng:
(p – a)² + (p – b)² + (p – c)² = a² + b² + c² – p²
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) 5 – 8x – x²
b) 4x – x² + 1
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức:
a) x² – 10x + 26 với x = 105
b) x² + 0,2x + 0,01 với x = 0,9
Bài 5. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40. Tim 2 số ấy.
Đ/S: 9 và 11.
Bài 6. Tổng 3 số a, b, c bằng 9, Tổng các bình phương của chúng bằng 53. Tính ab + bc +
ca.
Đ/S: ab + bc + ca = 14.