Chuyên đề Bài toán cực trị trong vật lý

Nội dung 2
Chuyên đề 
BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG VẬT LÝ
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài
1. Cơ sở lý luận
- Nhiệm vụ nhận thức của học sinh với một khối lượng kiến thức mới và nhiều đòi hỏi các em phải tập trung tư duy cao trong bài học. Với vốn kinh nghiệm giải bài tập còn ít, khả năng nhận thức của học sinh không đều, một số học sinh còn máy móc dập khuôn những lời giải có sẵn chưa phát huy tối đa năng lực giải bài tập của mình.
- Bên cạnh việc phải đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với chương trình và kiến thức sách giáo khoa mới hịên nay thì chúng ta cũng nên chú ý đến kĩ năng giải các bài tập của học sinh. Cần cho học sinh thấy được cái hay trong các bài toán vật lý.
2. Cơ sở thực tế
- Bằng thực tế giảng dạy, bồi dưỡng HSG qua một số năm Tôi nhận thấy “ bài toán cực trị trong vật lý” là một trong những bài toán mà các em học sinh rất hay bắt gặp trong các đề thi HSG cấp huyện, cấp tỉnh và đề thi vào lớp 10 chuyên. Khi gặp bài toán này thực tế cho thấy nhiều học sinh còn gặp khó khăn vì nó là một trong những bài toán khó, để giải được bài toán này không những học sinh phải nắm tốt các kiến thức vật lý mà bên cạnh đó các em còn phải có một kiến thức toán tương đối tốt.
- Mặc dù đây là một dạng toán khó nhưng rất ít các cuốn sách tham khảo viết về dạng toán này, có chăng chỉ đề cập đến một vài bài trong một số đề thi chứ không phân thành dạng cụ thể.
- Trên cơ sở đó Tôi đã mạnh dạn quyết định lựa chọn đề tài này.
II. Mục đích.
- Giúp các em học sinh khi gặp các bài toán thuộc loại này có thể đưa ra được hướng đi để giải quyết một cách nhanh chóng bài toán.
- Là một tài liệu mà các đồng nghiệp có thể tham khảo trong quá trình ôn thi học sinh giỏi cũng như ôn thi vào lớp 10. 
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Phương pháp nghiên cứu.
- Thông qua thực tế giảng dạy, điều tra, trắc nghiệm, thực nghiệm, khảo sát, phân tích so sánh, tổng hợp
- Qua trao đổi, giao lưu, học hỏi các kinh nghiệm của đồng nghiệm, đồng thời tự học, tự nâng cao, tự bồi dưỡng.
- Dự giờ rút kinh nghiệm.
- Trao đổi trực tiếp với các đối tượng học sinh ngoài giờ lên lớp.
II. Tiến trình
1. Các kiến thức cần thiết.
1.1 Bất đẳng thức Côsi.
Bất đẳng thức Côsi cho hai số.
 Cho hai số dương bất kỳ a và b ta luôn có:
Bất đẳng thức này dùng để tìm giá trị nhỏ nhất của một tổng hai số khi tích của chúng là một số không đổi.
 Dấu “=” xẩy ra 
Bất đẳng thức Côsi cho 3 số.
 Cho 3 số dương a, b, c ta luôn có:
 Dấu “=” xẩy ra 
Một số dạng khác của bất đẳng thức Côsi.
Dạng 1: 
Bất đẳng thức này dùng để tìm giá trị lớn nhất của tích hai số khi tổng của chúng là một số không đổi.
Dạng 2: 
1.2. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a0 ) 
Phương trình có nghiệm ( Hoặc )
1.3. Các công thức của phần vật lý lớp 8, 9.
2. Một số lưu ý trong quá trình tư duy tìm lời giải.
Bài toán: Cho một đại lượng vật lý a nào đó biến đổi. Tìm giá trị cụ thể của a để đại lượng vật lý b (a và b có mối liên hệ với nhau) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất?
Hướng chung để giải
B1: Xác định (lựa chọn) một đại lượng vật lý nào đó có mặt trong bài toán làm ẩn nếu đề bài chưa nói rõ. Với bài toán ta đặt ra ở đây ta chọn a làm ẩn.
B2: Dựa vào đề bài tìm mối quan hệ giữa a và b dưới dạng: 
 b = f(a) 
Trong đó a là ẩn, b là hàm của a.
B3: Dựa vào kiến thức toán (bất đẳng thức Côsi, điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, ) để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của b.
3. Một số bài toán cụ thể.
Bài toán 1: Cho điện trở AB có RAB = 27, trên AB người ta mắc thêm 2 con chạy M và N. Nối điện trở AB vào mạch điện theo sơ đồ như hình vẽ. Hiệu điện thế giữa hai đầu mạch không đổi và bằng 9V. Khi M và N dịch chuyển trên AB thì với những giá trị nào của các điện trở RAM, RMN, RNB để cường độ dòng điện qua nguồn đạt cực tiểu?
Định hướng tìm lời giải:
+ Chọn đại lượng làm ẩn số: ta nhận thấy khi M, N di chuyển thì RAM, RMN, RNB thay đổi theo do đó ta chọn RAM, RMN, RNB làm ẩn.
+ Biểu diễn cường độ dòng điện mạch chính I theo RAM, RMN, RNB.
 I = f(RAM, RMN, RNB)
Lời giải chi tiết.
RAM
RMN
RNB
A
N
M
B
Mạch điện được vẽ lại như hình vẽ.
Đặt: RAM = x, RMN = y, RNB = z
Theo bài ra ta có: x + y + z = 27 (*)
Điện trở tương đương của đoạn mạch
Cường độ dòng điện mạch chính
Đến đây ta xét bài toán: Cho x, y, z > 0 thoả mãn điều kiện x + y + z = 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:
 9
 (1) 
Vậy Imin = 3A
Dấu “=” xảy ra (2*)
Từ (*) và (2*) ta có x = y = z = 9
Vậy để cường độ dòng điện qua nguồn đạt giá trị nhỏ nhất là 3A thì ta phải di chuyển M và N sao cho RAM = RMN = RNB = 9.
Bài toán 2: 
Từ hai bến A và B trên cùng một bờ sông có hai ca nô cùng khởi hành. Khi nước chảy do sức đẩy của động cơ, chiếc ca nô từ A chạy song song với bờ theo chiều từ A đến B với vận tốc 24km/h, còn chiếc ca nô từ B chạy vuông góc với bờ có vận tốc là 18 km/h. Quãng đường AB dài 1km. Hỏi khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ca nô trong quá trình chuyển động là bao nhiêu nếu nước chảy từ A đến B với vận tốc 6 km/h. Biết rằng sức đẩy của các động cơ không thay đổi.
A
B
Định hướng tìm lời giải:
+ Khoảng cách giữa hai xe trong quá trình chuyển động thay đổi theo thời gian nên ta có thể chọn thời gian làm ẩn.
+ Lựa chọn giải bài toán trong hệ quy chiếu nào (chọn hệ quy chiếu).
+ Gọi khoảng cách gữa hai xe trong quá trình chuyển động là CD. Biểu diễn độ dài đoạn CD theo t (Tìm mối quan hệ giữa CD với t).
Bài giải chi tiết
Giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với bờ sông.
vAO
A
vB
vBO
vo
vA
vo
B
Vận tốc của mỗi canô đối với bờ sông.
Độ dài quãng đường hai ca nô đi được trong thời gian t. 
Ta có: 
vAO
A
vBO
C
D
H
B
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông CHD ta có:
 CD2 = CH2 + HD2
 CD2 = 
 CD2 = 900t2 – 48t + 1 
 y = 900t2 – 48t + 1 (1)
 (Trong đó CD2 = y)
Đến đây ta gặp bài toán: Tìm t dương để y đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có thể trình bày theo hai hướng.
Hướng thứ nhất: Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
Ta có: (2)
Phương trình (2) có nghiệm 
Hướng thứ hai: Biến đổi VP(1) về dạng A2 + B
Ta có: 
Giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với mặt nước.
Độ dài quãng đường mà hai canô đi được sau thời gian t lần lượt là:
AA’ = v1t = 24t
A
A’
B’’
B
vA
vB
BB’ = v2t = 18t
Áp dụng định lý Pitago 
Trong tam giác vuông A’BB’ ta có:
A’B’2 = A’B2 + BB’2
A’B’2 = ( AB – AA’ )2 + BB’2
A’B’2 = ( 1- 24t )2 + (18t )2
 y = 900t2 – 48t + 1 (1)
Ngoài hai cách chọn hệ quy chiếu trên ta có thể giải bài toán mà hệ quy chiếu gắn với một trong hai canô.
Chọn ca nô đi từ A làm mốc khi đó 
Dòng nước chuyển động ngược lại so với ca nô đi từ A với vận tốc v1.
Vận tốc của ca nô B so với ca nô A là: 
A
B’’
B
v1
v2
v21
H
v21 = 
Ta có: HB’ = BB’.sin
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHB’ ta có:
AB’2 = AH2 + HB’2
AB’2 = ( 1-24t )2 + ( 18t )2
 y = 900t2 – 48t + 1 (1)
Bài toán 3: Cho mạch điện như hình vẽ.
Biết hiệu điện thế giữa hai đầu mạch không đổi là U = 12V, R = 4. Phải điều chỉnh biến trở có điện trở Rb có giá trị là bao nhiêu để công suất tiêu thụ trên Rb lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó?
Định hướng tìm lời giải
+ Do khi điều chỉnh biến trở thì điện trở của biến trở thay đổi kéo theo công suất tiêu thụ trên nó cũng thay đổi nên ta chọn Rb làm ẩn.
Rb
R
U
+ Biểu diễn Pb theo Rb.
Lời giải chi tiết.
Công suất tiêu thụ trên biến trở
Ta có: 
 (Với Rb = x)
Đến đây ta gặp bài toán: Cho biểu thức (với x > 0). Tìm x để Pb đạt giá trị lớn nhất?
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương 4 và x ta được:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 4 hay Rb = 4
Vậy để công suất tiêu thụ trên biến trở đạt giá trị lớn nhất là 9W thì ta phải điều chỉnh biến trở sao cho điện trở của biển trở tham gia vào mạch điện là Rb = 4.
Bài toán 4: Cho mạch điện như hình vẽ
Biết Ro = 6, hiệu điện thế giữa hai đầu mạch không thay đổi và bằng 30V, biến trở có điện trở lớn nhất là R. Vôn kế có điện trở rất lớn và ampekế có điện trở không đáng kể. Khi di chuyển con chạy C của biến trở R ta thấy có một vị trí mà tại đó ampekế chỉ giá trị nhỏ nhất bằng 1A và khi đó vôn kế chỉ 12V. Hãy xác định các giá trị của R1 và R.
A
C
R
R1
Ro
U
V
M
N
Định hướng tìm lời giải:
+ Bài toán dường như có hai ẩn (R1 và R) nhưng thực tế nó còn xuất hiện thêm một ẩn nữa là x (với x là điện trở đoạn MC của biến trở). Như vậy ta phải thành lập được 3 phương trình đại số nói lên mối quan hệ giữa 3 ẩn trên.
+ Ta thấy trong 3 ẩn trên chỉ có x thay đổi còn R1, R không đổi.
+ Tìm mối quan hệ giữa x và số chỉ của ampekế.
Lời giải chi tiết
Đặt RMC = x (Với)
Điện trở tương đương của đoạn mạch
Cường độ dòng điện mạch chính
Số chỉ của ampekế
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương x và (R + 6 + x)
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra x = R + 6 – x (1)
Khi đó IAmin = = 1 (2)
Theo bài ra ta có: 
Từ (1) 
Thay R = 18 vào (2) ta được:
Bài toán 5: Một vật sáng nhỏ AB đặt trên trục chính, vuông góc với trục chính của một thấu kính hội tụ có tiêu cự 20cm. Dịch chuyển AB dọc theo trục chính. Hỏi khi khoảng cách giữa AB và ảnh thật của nó là cực tiểu thì ảnh đó lớn gấp bao nhiêu lànn vật?
Lời giải
A
B
O
A’
I
F’
F
B’
Đặt OA = d; OA’ = d’
Khoảng cách giữa AB và ảnh A’B’ là L = OA + OA’ = d + d’ hay d’ = L – d
Ta có rABO ~ rA’B’O ( g.g )
 (1)
Ta lại có rOIF’ ~ rA’B’F’ ( g.g )
Mà: AB = OI
Do đó: 
 (2)
Từ (1) và (2) ta có: 
Với d’ = L – d 
 (*)
Phương trình (*) có nghiệm 
Hay: 
 ( Do L > 0 )
Vậy Lmin = 4f khi đó phương trình (*) có nghiệm kép 
Do đó ta có: 
Thay d = 2f và d’ = 2f vào (1) ta có:
Vậy khi khoảng cách giữa AB và ảnh thật A’B’ của nó là cực tiểu thì ảnh A’B’ có chiều cao bằng vật AB.
C. Kết thúc vấn đề
1. Hiện nay qua nhiều năm thay sách giáo khoa mới với một chương trình kiến thức rộng mở, đối với chương trình vật lý 8, 9 đã có nhiều học sinh có những lời giải hay độc đáo và chính xác. Đây cũng là bước phát triển mới trong tư duy của học sinh.
2. Tuy nhiên vẫn còn nhiều học sinh chưa tìm ra được các cách giải cho một bài toán vật lý, chính vì vậy các thầy cô giáo là những người tổ chức điều khiển, lựa chọn phương pháp vào một lời giải hay, đảm bảo độ chính xác cao, trình bầy khoa học, phù hợp với những đối tượng học sinh.
3. Trên đây là một số kinh nghiệm của Tôi trong dạy ôn HSG về chuyên đề “bài toán cực trị trong vật lý”. Dù đã rất cố gắng đưa ra được một số hướng để giải bài toán loại này nhưng do tuổi nghề còn trẻ mà kiến thức thì rất rộng lớn nên đề tài này chắc chắn là còn có hạn chế do đó rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng chí, đồng nghiệp và bạn bè để tôi có được nhiều kinh nghiệm hơn trong việc giảng dạy.
	NGƯỜI THỰC HIỆN
 Đinh Tấn Thảo