Casio Chuyên đề Tìm số dư

 + l (mod m)
Điều này chứng tỏ rằng bắt đầu từ vị trí tương ứng với ak các số dư lặp lại tuần hoàn.
Số l được gọi là chu kỳ tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của a cho m.
Sau đây ta xét một số dạng bài tập sử dụng định lí trên:
Bài toán: Xét các luỹ thừa liên tiếp của số 2:
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,...
Tìm xem khi chia các luỹ thừa này cho 5 nhận được các loại số dư nào ?
Giải: Ta có: 
21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 º 3 (mod 5), 24 = 16 º 1 (mod 5) (1)
Để tìm số dư khi chia 25 cho 5 ta nhân cả hai vế phép đồng dư (1) với 2 sẽ được:
25 = 24.2 º 1x2 º 2 (mod 5)
26 = 25.2 º 2x2 º 4 (mod 5)
27 = 26.2 º 4x2 º 3 (mod 5)
...
Ta viết kết quả vào hai hàng: hàng trên ghi các luỹ thừa, hàng dưới ghi số dư tương ứng khi chia các luỹ thừa này cho 5:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
...
(2
4
3
1)
(2
4
3
1)
(2
4
3
...
Þ hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lập lại một cách tuần hoàn: sau 4 số dư (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo đúng thứ tự trên.
Bài 10: Tìm số dư khi chia 22005 cho 5
Giải:
* Áp dụng kết quả trên: ta có 2005 º 1 (mod 4) Þ số dư khi chia 22005 cho 5 là 2
Bài 11: Tìm chữ số cuối cùng của số: 
Giải:
- Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, ta thực hiện theo quy trình sau:
1 2 
 1 ...)
ta được kết quả sau:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
...
(2
4
8
6)
(2
4
8
6)
(2
4
8
...
Þ hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 4 số (2, 4, 8, 6)
ta có 34 = 81 º 1 (mod 4) Þ số dư khi chia cho 10 là 2
Vậy chữ số cuối cùng của số là 2.
Bài 12: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: 
A = 21999 + 22000 + 22001
Giải: Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, thực hiện theo quy trình như bài 11), ta được kết quả sau:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
212
2
(4
8
16
32
64
28
56
12
24
48
96
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
92
84
68
36
72
44
88
76
52)
(4
8
16
Þ các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số 4 đến số 52). Ta có:
1999 º 19 (mod 20) Þ số dư khi chia 21999 cho 100 là 88
2000 º 0 (mod 20) Þ số dư khi chia 22000 cho 100 là 76
2001 º 1 (mod 20) Þ số dư khi chia 22001 cho 100 là 52
88 + 76 + 52 = 216 º 16 (mod 100)
Þ số dư của A = 21999 + 22000 + 22001 khi chia cho 100 là 16 hay hai chữ số cuối cùng của số A là 16.
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Ta có:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là:
.
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Ta tìm số dư của phép chia cho .
Kết quả là .
Tiếp tục tìm số dư của phép chia cho .
Kết quả là .
Vậy số dư của phép chia cho là .
Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Vì là số nguyên tố và .
Nên ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là .
Ví dụ 4: Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Cách 1:
Ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là .
Cách 2:
Ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là .
Bài 13: Chứng minh rằng +10 chia hết cho 11
Giải:
- Ta có: 14 º 3 (mod 11) Þ º (mod 11)
Do 38 = 6561 º 5 (mod 11), nên = 65612004 º 52004 (mod 11)
Xét sự tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của 5 cho 11:
51
52
53
54
55
56
57
58
...
(5
4
9
1)
(5
4
9
1)
...
Þ 52004 = (54)501 º 1501 (mod 11) º 1 (mod 11) (1)
Mặt khác: 10 º 10 (mod 11) (2)
Cộng vế với vế phép đồng dư (1) và (2) có:
+10 º 11 (mod 11) º 0 (mod 11) Þ +10 chia hết cho 11.
Bài 14: Chứng minh rằng số 222555 + 555222 chia hết cho 7.
Giải:
1) Trước hết tìm số dư của phép chia 222555 cho 7:
- Vì 222 = 7 x 31 + 5, nên 222 º 5 (mod 7) Þ 222555 º 5555 (mod 7)
- Xét sự tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của 5 cho 7:
51
52
53
54
55
56
57
58
...
(5
4
6
2
3
1)
(5
4
...
Þ 5555 = 56.92 + 3 = (56)92.53 º 53 º 6 (mod 7) (1)
Vậy số dư khi chia 222555 cho 7 là 6.
2) Tương tự, tìm số dư của phép chia 555222 cho 7:
- Vì 555 = 7 x 79 + 2, nên 555 º 2 (mod 7) Þ 555222 º 2222 (mod 7)
- Xét sự tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của 2 cho 7:
21
22
23
24
25
26
27
28
...
(2
4
1
2
4)
(2
4
1
...
Þ 2222 = 23.74 = (23)74 º 174 º 1 (mod 7) (2)
Vậy số dư khi chia 555222 cho 7 là 1.
Cộng vế với vế các phép đồng dư (1) và (2), ta được: 
222555 + 555222 º 6 + 1 º 0 (mod 7)
Vậy số 222555 + 555222 chia hết cho 7.
7.1 Số có đuôi bất biến với mọi luỹ thừa:
1) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (có đuôi bất biến).
2) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).
3) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến).
4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến).
...
Bài 31: Tìm số dư khi chia số 133762005! cho 2000 (TH & TT T3/ 317)
Giải:
- Giả sử A, B là hai số tự nhiên có tận cùng là 376, thì:
A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106a.b + 3762
= 2000t + 1376; với a, b t Î N
Þ A.B chia 2000 có số dư là 1376.
Với k > 1 khi chia 13376k cho 2000 (thực hiện (k - 1) lần phép nhân 2 số đều có tận cùng là 376 rồi chia cho 2000) thì được dư là 1376. Đề bài ứng với k = 2005!
Bài 32: Tìm 2 chữ số tận cùng của số:
A = 21999 + 22000 + 22001
H.Dẫn:
- Ta có: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 22) = 7 x 29 x 210 x 21980 
 = 7 x 29 x 210 x (220)99
- Ta có (dùng máy): 29 = 512 
 210 = 1024 ;
 220 = 1048576
Nhận xét: số có 2 chữ số tận cùng là 76, luỹ thừa bậc bất kỳ cũng có 2 chữ số tận cùng là 76. Vậy (220)99 cũng có 2 số tận cùng là 76.
Þ 21999 + 22000 + 22001 = 7 x 512 x 1024 x (...76) = .....16.
Vậy 2 chữ số cuối cùng của A là 16
(Xem cách giải khác ở bài 12) Bài 33: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994.
Giải:
- Ta có: 54 = 625
- Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 625
- Do đó:
 51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25(...625) = ...5625.
Vậy bốn chữ số tận cùng của số 51994 là 5625.
7.2 Khai triển nhị thức Newton và bài toán chia hết:
-Ta có khai triển:
- Khi chứng minh về tính chia hết của các luỹ thừa, cần nhớ một số kết quả sau:
1) an - bn chia hết cho a - b (a ¹ b)
2) a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b (a ¹ -b)
3) (a + b)n = BS a + bn (BS a: bội số của a)
Đặc biệt:
(a + 1)n = BS a + 1
(a - 1)2n = BS a + 1
(a - 1)2n + 1 = BS a - 1
Bài 34: Tìm số dư khi chia 2100 cho:
a) 9 b) 5 c) 125
Giải:
a) Luỹ thừa của 2 sát với một bội của 9 là 23 = 8 = (9 - 1)
- Ta có: 2100 = 2(23)33 = 2(9 - 1)33 = 2(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7
Vậy số dư khi chia 2100 cho 9 là 7.
b) Luỹ thừa của 2 sát với một bội của 25 là 210 = 1024 = (BS 25 - 1)
- Ta có: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + 1 
Vậy số dư khi chia 2100 cho 25 là 1
c) Dùng công thức Newton:
Để ý rằng 48 số hạng đầu đều chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết cho 125, hai số hạng kế tiếp cũng chia hết cho125, số hạng cuối là 1. 
Vậy 2100 = BS 125 + 1 Þ Số dư của 2100 khi chia cho 125 là 1
Tổng quát: Nếu một số tự nhiên n không chia hết cho 5 thì chia n100 cho 125 ta được số dư là 1.
Bài 35: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100.
H.Dẫn: - Ta tìm dư trong phép chia 2100 cho 1000.
- Trước hết tìm số dư của phép chia 2100 cho 125. Theo bài 34: 2100 = BS 125 + 1, mà 2100 là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là (dùng máy tính để thử):
 126, 376, 626 hoặc 876.
- Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 8. Bốn số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này. Vậy ba chữ số tận cùng của 2100 là 376.
Tổng quát: Nếu n là số tự nhiên chẵn không chia hết cho 5 thì ba chữ số tận cùng của n100 là 376.
Bài 36: Tìm ba chữ số tận cùng của 3100.
Giải: - Ta phân tích như sau: 
 = BS 1000 + ...500 - 500 + 1 = BS 1000 + 1.
Vậy 3100 tận cùng là 001.
Tổng quát: Nếu n là số tự nhiên lẻ không chia hết cho 5 thì ba chữ số tận cùng của n100 là 001.
Bài 37: Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp:
896 = 496 9 * * 290 961.
H.Dẫn:
- Ta có: (896 - 1) (89 - 1) Þ (896 - 1) 11 
 (896 - 1) (893 + 1) Þ (896 - 1) (89 + 1) Þ (896 - 1) 9
- Đặt A = (896 - 1) = 496 9 x y 290 960. Ta có A chia hết cho 9 và 11.
Ta có tổng các chữ số hàng lẻ (từ phải sang trái) của A bằng: 36 + y ; tổng các chữ số hàng chẵn của A bằng: 18 + x
A chia hết cho 9 nên: 54 + x + y 9 Þ x + y Î {0 ; 9 ; 18}
A chia hết cho 11 nên: [(36 + y) - (18 + x)] 11 Þ x - y Î {-4 ; 7}
+ Nếu x + y = 0 thì x = y = 0 (loại)
+ Nếu x + y = 18 thì x = y = 9 (loại)
+ Nếu x + y = 9 : chú ý rằng (x + y) và (x - y) cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên:
x - y = 7 Þ x = 8 ; y = 1.
Vậy 896 = 496 981 290 961
7.3 Tìm chữ số thứ k (k Î N) trong số thập phân vô hạn tuần hoàn:
Định lí: (Dấu hiệu nhận biết một phân số đổi được ra số thập phân hữu hạn)
Điều kiện cần và đủ để một phân số tối giản có thể viết được thành ra số thập phân hữu hạn là mẫu số của nó không chứa những thừa số nguyên tố ngoài 2 và 5.
* Từ định lí trên ta rút ra nhận xét sau:
Nếu phân số tối giản có mẫu b không chứa các thừa số nguyên tố 2, 5 hoặc ngoài thừa số nguyên tố 2, 5 còn chứa cả thừa số nguyên tố khác thì do các số dư trong quá trình chia bao giờ cũng phải nhỏ hơn b nên các số dư chỉ có thể là các số trong:
{1; 2; 3;...;b-1}
Như vậy trong phép chia a cho b, nhiều nhất là sau (b - 1) lần chia có thể gặp các số dư khác nhau, nhưng chắc chắn rằng sau b lần chia thì thế nào ta cũng gặp lại số dư đã gặp trước. Do đó, nếu ta cứ tiếp tục chia thì các số dư sẽ lặp lại và dĩ nhiên các chữ số trong thương cũng lặp lại.
Từ đó để tìm chữ số thứ k sau dấu phảy của số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta chỉ cần xác định được chu kỳ lặp lại của các chữ số trong thương, từ đó dễ dàng suy ra được chữ số cần tìm.
Bài 38: Tìm chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phảy của số:
H.Dẫn:
a) Số tuần hoàn chu kỳ 3 chữ số 027.
Vì 2005 º 1 (mod 3) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của A là:
b) Số tuần hoàn chu kỳ 5 chữ số 02439.
Vì 2005 º 0 (mod 5) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của B là:
c) Số TH chu kỳ 16 chữ số:1960784313725490
Vì 2005 º 5 (mod 16) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của C là:
d) Số 
tuần hoàn chu kỳ 42 chữ số 020408163265306122448979591836734693877551
Vì 2005 º 31 (mod 42) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của D là:
Bài toán 1. Tìm 2 chữ số tận cùng của số A = 20072008 + 20082009
Bài toán 2: Tìm số dư trong phép chia số: 17762010 cho 2000
Bài toán 3: Tìm số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49
Bài toán 4: Tìm 2 chữ số tận cùng của Tổng 39999 + 29999
Đáp án
Bài toán 1.
1. Ta tìm 2 chữ số tận cùng của 20072008 = 20078 . 20072000
20072 º 49(mod 100) 
Þ(20072)4 º 494(mod 100) º 01(mod 100)
20072000 = (20078)250 º 01(mod 100)
Vậy: 20072008 º 01(mod 100)
2. Tìm 2 chữ số tận cùng của 20082009
Ta có: 20082009 = 2008 . 20088 . 20082000
* 20082 º 64(mod 100)
 Þ(20082)4 º 644(mod 100) º 16(mod 100)
20088 º 16(mod 100) Þ(20088)5 º 165(mod 100) º 76(mod 100)
* 200840 º 76(mod 100) do đó: 20082000 º 76(mod 100)
Þ20088 .20082000º 16.76(mod 100) º 16(mod 100)
Do đó: 2008 . 20082008 º 2008.16(mod 100) º 28(mod 100)
Vậy A có 2 chữ số tận cùng là 29
Bài toán 2.
17761 º 1776(mod 2000)
17762 º 176(mod 2000)
17763 º 576(mod 2000)
17764 = (17762)2 º 976(mod 2000)
17765 = 17762 . 17763 º 176 . 576(mod 2000) º 1376(mod 2000)
17766= 1776 . 17765 º 176 . 1736(mod 2000) º 1776(mod 2000)
17767 º 976(mod 2000)
Vậy chu kỳ được lặp lại sau 5 bước mà: 2010 = 5 . 402 có dạng 5k. 
Do đó số 17762010 chia 2000 cho số dư là 1376.
Bài toán 3.
* Ta t ìm số dư khi chia 182008 cho 49
Ta có: 182008 = 18.182007 
 = (183)669 . 18
183 º 1(mod 49) Þ (183)669 º 1(mod 49)
18. (183)669 º 18(mod 49)
* Ta tìm số dư khi chia 82009 chia cho 49
Ta có 82009 = (87)287
87 º 1(mod 49)	
Þ (87)287 º 01(mod 49)
Kết luận: Vậy số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49 là 19.
Bài toán 5:
* Có 39999 = 320.499.319
319 = 1162261467 º 67(mod 100)
320 = 3486784401 º 01(mod 100)
Þ (320)499 º 01(mod 100)
Do đó (320)499.319 º 67(mod 100)
* Có 29999 = 220.499.219
219 = 524288 º 88(mod 100)
220 = 1048576 º 76(mod 100)
Þ (220)499 º 76(mod 100)
Do đó (220)499.219 º 76.88(mod 100) º 88(mod 100)
Þ39999 + 29999 º (67+88)(mod 100) = 55(mod 100) 
Vậy chữ số tận cùng của tổng là 55
Thuật toán tìm số chữ số của luỹ thừa:
Ví dụ tìm xem có bao nhiêu chữ số. 
Ta có làm tròn thành . 
Như vậy gồm số. 
Lưu ý: ở đây là logarit cơ số 10 của 2
Tìm chu kì của phép chia có dư:
Thí dụ 
Ta nói phép chia có chu kì là . Nhận xét rằng, với phép chia trên, chu kì có thể dễ dàng tìm ra bằng mtbt. Tuy nhiên với những số lớn ví dụ ; việc tìm ra chu kỳ khó khăn hơn nhiều. Phương pháp chung, có lẽ ai cũng biết, là bấm 1*(10^8)/57 để tìm chu kì( là phần nguyên), rồi lấy 1*10^8-phần nguyên vừa tìm được*57; lấy kết quả đó thế vào số 1.... cứ thế ta sẽ tìm ra chi kỳ. 
Tuy nhiên cứ tìm 1 lượt như vậy phải bấm ko dưới 20 phím, để tiết kiệm sức, mình xin nêu 1 cách bấm, sau 1 giải thuật ban đầu, cứ bấm 2 dấu = ta sẽ tìm được khoảng 8 số trong chu kỳ. 
cách bấm như sau: 
A=1 B=57 
(((A*10^8)/B)+9.5)*10^-11+1-1)*10^11-10{ĐỌC CHU KÌ}:A=A*10^8-ANS*B 
C2:nhấn MODE MODE 3 (BASE), rồi nhấn fím x^2( chữ DEC màu xanh đó) 
Chẳng hạn như tìm chu kì của 
1 |shift| |sto| |A| 
(chỉ 7 số 0 thôi) 
Ax10000000-49 x |ans| |shift| |sto| |A| 
ấn dấu mũi tên lên rồi nhấn |shift| |copy| 
chỉ việc nhấn = = =... là ra chu kì của fép chia 
ĐS: ) 
Lưu ý: cứ mỗi phép chia luôn cho ta 7 chữ số thập fân, nếu chỉ hiện 6 hay 5 chữ số, ta hiểu ngầm có 1 hay 2 chữ số 0 ở trước!!!!!
Tìm n chữ số tận cùng của một luỹ thừa:
Để tìm n chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm dư của luỹ thừa đó với 10^n 
Heheh , có phải rất hay không nào . 
Tuy nhiên . Nếu người ta kiu tìm từ 1 đến 3 chữ số tận cùng của một luỹ thừa mà ta làm theo bài học trên thì thật là , quá oải . Chính vì thế , tui xin post một bài như sau : 
Tìm 1 chữ số tận cùng của : 
* Nếu a có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 thì lần lượt có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 . 
* Nếu a có chữ số tận cùng là 2 , 3 hoặc 7 , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0 : 
2^4k đồng dư 6 ( mod 10 ) 
3^4k đồng dư 1 ( mod 10 ) 
7^4k đồng dư 1 ( mod 10 ) 
Do đó để tìm 1 chữ số tận cùng của a^n với a có số tận cùng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 . Giả sử n = 4k + r với r thuộc { 0 , 1 , 2 , 3 } 
Nếu a đồng dư 2 ( mod 10 ) thì a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 ) 
Nếu a đồng dư 3 ( mod 10 ) thì a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 ) 
_ Tìm 2 chữ số tận cùng của a^n 
Ta có nhận xét sau : 
2^20 đồng dư 76 ( mod 100 ) 
3^20 đồng dư 1 ( mod 100 ) 
6^5 đồng dư 76 ( mod 100 ) 
7^4 đồng dư 01 ( mod 100 ) 
Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= 1 
và 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >= 2 
Suy ra kết quả sau với k là các số tự nhiên khác 0 : 
a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) 
a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) 
a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) 
a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) 
Vậy túm lại , để tìm 2 chữ số tận cùng của a^n ta lấy số mũ 2 chia cho 20 
_ Ta có : 
a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) 
a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) 
a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) 
a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) 
Túm lại , để tìm 3 chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ . 
Nhưng dù sao đi chăng nữa thì cái nguyên tắc 
Để tìm n chữ số tận cùng của a^b thì ta tìm số dư của a^b với 10^n
Tìm số dư trong phép chia:
Các dạng thường gặp: 
1) Chia một số có nhiều hơn 10 chữ số cho một số có ít hơn 10 chữ số 
Phương pháp: Chia để trị (divide and conquer) 
chặt số có hơn 10 chữ số thành nhiều số nhỏ hơn có nhiều nhất 10 chữ số 
Ví dụ: 
Lấy từng số nhỏ chia cho số chia, sau khi có kết quả dư nhớ nhân với lũy thừa cơ số 10 đi cùng với nó 
2) Chia một số là một lũy thừa bậc cao cho số khác: 
Phương pháp: quan sát xem có nằm trong dạng Fermat không? 
Nếu không, hãy quan sát chu kỳ số dư 
Nếu không có chu kỳ số dư hãy làm từng bước: lấy cơ số lũy thừa lên vài bậc (không tràn máy), tìm số dư rồi tiếp tục lũy thừa lên cho đến khi số mũ nhỏ dần. Chú ý sử dụng tính chất: phép chia cho b và phép cho b có cùng số dư với để làm nhỏ a lại, tạo điều kiện tính nhanh hơn.
Dạng 1:Tìm số dư khi chia số a cho số b.
-Tuỳ vào số mũ của a để phân tích, tìm một số a’ thích hợp (Không làm tràn máy) rồi tìm số dư của a’ cho b. Tiếp tục làm như vậy cho đến cuối cùng.
VD: Tìm số dư của 1112 cho 2001.
Giải: 
116=1771561 khi chia cho 2001 dư là 676.
Vì 1112=(116)2 chia cho 2001 dư là: 6762:2001 dư là 748
Vậy dư của phép chia trên là 784.
-Cơ sở lý luận:
Để tìm số dư an cho b ta làm như nhau:
-Nếu a chia cho b thương là q; dư là r ta có: a=bq+r 
 (Công thức này không quan tâm đến hệ số của các số hạng khi khai triển.
Vậy chỉ tìm xem rn chia cho b dư là mấy.
Bài tập áp dụng: 
Tìm số dư trong phép chia a cho b:
Đáp số 918
Đáp số 892
1/ a=736; b=2003.	2/ a=7218 ; b=2009.363
Đáp số 170
3/ a= 1318+1320; b=6954
Đáp số 2514
4/ a=1358+2475 ; b= 3311
Dạng 3: Tìm n chữ số cuối cùng:
* Nếu là tìm 1 chữ số cuối cùng: 
-Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng.
-Hạ bậc của cơ số bằng cách áp dụng quy luật trên.
Ví dụ 1: Tìm chữ số cuối cùng của 3202.
Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng.
-Chữ số cuối là 5 thì 5n có chữ số cuối cùng là 5 (n ≥ 1)
-Chữ số cuối là 6 thì 6n có chữ số cuối cùng là 6 (n ≥ 1)
-Ta có 
3202=3200.32=(35)40.32(1)
Vì 35 có chữ số cuối cùng (chữ số ở hàng đơn vị) bằng 3 nên chữ số cuối cùng của (35)40 là 340; 340=(35)8
Và chữ số cuối cùng là 38; 38=35.33 nên chữ số cuối cùng của 38 là 34.
Kết hợp với 1 thì chữ số cuối cùng của bài toán chính là chữ số cuối cùng của 32.34=35.3. Vậy chữ số cối cùng của biểu thức là 9.
Ví dụ 3:
Tìm chữ số cuối cùng của biểu thức A= 3202+3203+3204.
Ta có: A=3202(1+3+9)=3202.13
Theo ví dụ 1 chữ số cuối cùng của 3202 là 9. Nên chữ số cuối cùng của A là chữ số cuối cùng của tích 13.9=27.
*Tìm hai hoặc ba chữ số cuối cùng: Theo nguyên tắc, không có cách giải cụ thể, xong tuỳ từng bài để vận dụng:
Ví dụ 4: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3512.
356=1838265625. Hai chữ số cuối cùng của 356 là 25.
Mà 3512=(356)2 nên hai chữ số cuối cùng của chúng là hai chữ số cuối cùng của (25)2=625. Vậy hai chữ số cuối cùng là 25.
Ví dụ 5: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3523.
Ta có: 315=14248907. Hai chữ số cuối cùng là 07
Và 3523=(315)34.513; và 513=1594323.
Hai chữ số cuối cùng của biểu thức chính là hai chữ số cuối cùng của tích 
(43)4 .49.23 . hai chữ số cuối cùng chính là hai chữ số cuối cùng của tích 01.49.23=1127.
(07)34.23={(07)7}4.(07)6.23
(07)7=823543; 76=117649
	Suy ra
Vậy hai chữ số cuối cùng là 27.
Ví dụ 6: Tìm ba chữ số cuối cùng của biểu thức 64501+64502.
-Trước hết tính ba chữ số cuối cùng của 64501.
Ta có:
645=1073741824. Và 64501=(645)100.64 nên ba chữ số cuối cùng là ba chữ số cuối cùng của tích: (824)100.64.
Vì 8243=559476224; (824)100.64={(824)3}33824.64
 ba chữ số cuối cùng là ba chữ số của tích( 224)33.52736.
Vì 2244=2517630976 nên ba chữ số cuối cùng của tích ( 224)33.52736 là ba chữ số cuối cùng của tích (224)4}8.224.736 và là ba chữ số cuối cùng của (976)8. 164864.
Vì 8963=719323136 nên Ba chữ số cuối cùng của (976)8. 164864. là ba chữ số cuối cùng của (136)2.8962.864=18496.802816.864
Vậy ba chữ số cuối cùng của chúng là ba chữ số cuối cùng của tích 496.816.864=349691904.
Ba chữ số cuối cùng của 64501 là 904.
A=64501(1+64)=65.64501.
Ba chữ số cuối cùng của A là ba chữ số cuối cù